泛函分析知识点（2021年整理）.pptx

泛函分析知识点,知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设 X 是非空集合，若存在一个映射d：XXR，使得 x,y,z X,下列 距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)0，d(x,y)=0 x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y); 则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离，X 为以 d 为距离的距离空间，记作（X，d） 2.几类空间 例1离散的度量空间 例2序列空间S 例3有界函数空间 B(A) 例4可测函数空 M(X) 例5Ca,b空间 即连续函数空间 例6l2 第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间 开球 定义设（X,d）为度量空间，d 是距离，定义 U(x0, )x X | d(x, x0) 为 x0 的以 为半径的开球，亦称为 x0 的 一领域. 极限,n,定义若xn X, xX, s.t. lim d xn , x 0,则称 x 是点列xn 的极限,3.有界集,定义,x, yA,若d A sup d x, y ，则称 A 有界,稠密集 定义设 X 是度量空间，E 和 M 是 X 中两个子集，令 M 表示 M 的闭包，如果 E M , 那么称集 M 在集 E 中稠密，当 E=X 时称 M 为 X 的一个稠密集。

可分空间 定义如果 X 有一个可数的稠密子集，则称 X 是可分空间 第三节连续映射,1,1.定义设 X=(X,d),Y=(Y, d )是两个度量空间，T 是 X 到 Y 中映射，x0 X ,如果对于任 意给定的正数 ，存在正数 0 ，使对 X 中一切满足d x, x0 的 x，有,d Tx,Tx0,2,则称 T 在 x0 连续,Y, d,x0 X,连续的充,2.定理 1设 T 是度量空间（X,d）到度量空间 中的映射，那么T 在 要条件为当 xn x0 n 时，必有Txn Tx0 n,3.定理 2度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意 开集M 的原像T 1M 是 X 中的开集. 第四节柯西（cauchy）点列和完备度量空间 定义设 X=(X,d)是度量空间，xn 是 X 中点列，如果对任意给定的正数 0 ， 存在正整数 N N ,使当 n,mN 时，必有 d xn , xm ， 则称xn 是 X 中的柯西点列或基本点列如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在 （X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间. 【注意】（1）Q 不是完备集 Rn 完备 cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列. （4）Ca,b完备 定理完备度量空间X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为 M 是 X 中的闭子空间. 第五节度量空间的完备化 1.定义设（X,d）,( X , d )是两个度量空间，如果存在 X 到 X 上的保距映射 T,X , d )等距同构，此时 T 称为 X 到 X 上,即 d Tx,Ty d x, y ，则称（X,d）和( 等距同构映射,2.定理 1（度量空间的完备化定理）设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完 备度量空间 X =( X , d )，使 X 与 X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且 X 在等距同,构意义下是唯一的，即若( 等距同构，则( X , d )与,X , d )也是一完备度量空间，且 X 与 X 的某个稠密子空间 X , d )等距同构,3.定理 1设 X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间 X =( X , d,使X 为 X 的稠密子空间。

第六节压缩映射原理及其应用 1.定义设 X 是度量空间，T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数 ，0 1，使得对,3,所有的 x, y X , d Tx,Ty d x, y , 则称 T 是压缩映射 定理 1（压缩映射定理）（即 Barnach 不动点定理） 设 X 是完备的度量空间，T 是 X 上 的压缩映射，那么 T 有且只有一个不动点（就是说，方程 Tx=x,有且只有一个解）. 补充定义：若 Tx=x,则称 x 是 T 的不动点 x 是 T 的不动点 x 是方程 Tx=x 的解 定理 2设函数 f x, y 在带状域 a x b, y,y,中处处连续，且处处有关于 y 的偏导数 fx, y .如果还存在常数 m 和 M 满足,y,0 m f x, y M , m M,则方程 f x, y 0 在区间a,b 上必有唯一的连续函数 y x 作为解： f x, x 0, x a,b 第七节 线性空间 1.定义 1设 X 是一非空集合，在 X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与 X 中元 素的乘法运算，满足下列条件： （1）关于加法成为交换群，即对任意 x,yX，存在 uX 与之相对应，记为 u=x+y,称为 x 和 y 的和，满足 1） x y y x ； 2） x y z x y z任何x, y, z X ； 在 X 中存在唯一元素 ，使对任何 x X ,成立 x x ，称 为 X 中零元素； 对 X 中每个元素 x，存在唯一元素 x X ，使 x x ，称 x 为 x 的负元素，记为x ； （2）对于 X 中每个元素 x X ，及任意实数（或复数）a，存在元素 u X 与之对应，记 为u ax ，称为a 与 x 的数积，满足 1）1x x ； a(bx) ab x 对任意实数（或复数）a 和 b 成立； a b x ax bx, a x y ax by ， 则称 X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。

如果数积 运算只对实数（复数）有意义，则称X 是实（复）线性空间 例 1 Rn,对 Rn 中任意两点 x=(1,2,n ),y=(1,2,n)和任何实(复)数 a,定义 x+y=(1 +1,2 +2,n +n), ax=(a1 ,a2,an,容易验证Rn 按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间. 2.定义 2设x1 ,x2,xn 是线性空间X 中的向量,如果存在n 个不全为零的数 1,2,n,使 1 x1 +2 x2 +nxn =0, (1) 则称x1,x2 ,xn 线性相关,否则称为线性无关,n,不难看出,x1,x2,xn 线性无关的充要条件为,若i xi 0 , i1,必有1 =2 =n =0. 定义 3 设 M 是线性空间 X 的一个子集,如果 M 中任意有限个向量都线性无 关,则称 M 是 X 中线性无关子集.设 M 和 L 为 X 中两个子集,若 M 中任何向量 与 L 中任何向量都线性无关,则称M 和 L 线性无关. 定义 4 设X 是线性空间, M 是X 中线性无关子集,如果spanM= X,则称M 的 基数为X 的维数,记为dim X, M 称为X 的一组基.如果M 的基数为有限数,则称 X 是有限维线性空间,否则称 X 是无限维线性空间.如果 X 只含零元素,称 X 为零 维线性空间. 第八节 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间 1.定义 1 设X 是实(或复)的线性空间,如果对每个向量xX,有一个确定的实数, 记为x与之对应,并且满足: 1x0,且x=0 等价于x=0; 2x=|x其中为任意实(复)数; 3x+yx+y,x,yX, 则称x为向量x 的范数,称X 按范数x成为赋范线性空间,2. 引理 1(Hlder 不等式) 设p1,pq,1 1 1，f Lp a,b, g Lq a,b 那么f(t)g(t,b,p,a,f t g t dt fg q,在a,b上L 可积,并且,3 引理 2(Minkowski 不等式) 设 p1,f,gLpa,b,那么 f+gLpa,b,并且成立不等式 f+gp fp +gp 定理 1 当p1 时,Lpa,b按(6)中范数fp 成为赋范线性空间. 定理 2Lp a,b(p1)是Banach 空间. 定理 3 设X 是n 维赋范线性空间,e1,e2,en是X 的一组基,则存在常数M 和 M,使得对一切,n,x kek k 1,成立,1 2,4,n,2,M x,k,k 1,M x,7.推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和x1 ,那么必存在常数 M 和 M,使得,Mxx1 Mx. 8. 定义 2 设(R1,x1 )和(R2 ,x2 )是两个赋范线性空间.如果存在从 R1 到 R2 上的线性 映射和正数 c1 ,c2,使得对一切 xR1,成立 c1 x2 x1 c2 x2 则称(R1 ,x1)和(R2,x2 )这两个赋范空间是拓扑同构的. 8.推论 2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼 此拓扑同构. (二)有界线性算子和连续线性泛函 第一节有界线性算子和连续线性泛函 定义 1 设 X 和 Y 是两个同为实(或复)的线性空间,D 是 X 的线性子空间,T 为 D 到 Y 中的映 射,如果对任何 x,yD,及数,有,T(x+y)= Tx+ Ty, T(x)=Tx,1) (2,则称 T 为 D 到 Y 中的线性算子,其中 D 称为 T 的定义域,记为 D(T),TD 称为 T 的值域,记为 R(T),当T 取值于实(或复)数域时,就称 T 为实(或复)线性泛函. 定义 2 设X 和Y 是两个赋范线性空间,T 是X 的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存 在常数 c,使对所有 xD(T),有 Txcx,(3) 则称T 是D(T)到Y 中的有界线性算子,当D(T)= X 时,称T 为X 到Y 中的有界线性算子,简称 为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子. 定理 1 设 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子,则 T 为有界算子的充要条 件为 T 是X 上连续算子. 定理 2 设X 是赋范线性空间,f 是X 上线性泛函,那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零 空间 N(f)是 X 中的闭子空间 定义 3T 为赋范线性空间X 的子空间 D(T)到赋范线性空 间 Y 中的线性算子,称,Tx x,x0,T sup xDT,4,为算子 T 在D(T)上的范数. 引理 1 设 T 是 D(T)上有界线性算子,那么,T sup xDT x 1,5,Tx sup Tx xDT x 1,6,有界线性算子和连续线性泛函的例子 例 6 赋范线性空间X 上的相似算子Tx=x 是有界线性算子,且T=|,特别IX =1, O=0. 第二节有界线性算子空间和共轭空间 . 有界线性算子全体所成空间 定理 1 当Y 是Banach 空间时,B(XY)也是 Banach 空间. . 共轭空间 定义 1 设 X 是赋范线性空间,令 X表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间,称 为X 的共轭空间,6,定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach 空间. 定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间,T 是 X 到 Y 中的线性算子,并且对所有 x X,有 Tx=x, 则称 T 是 X 到 Y 中的保距算子,如果 T 又是映射到 Y 上的,则称 T 是同构映射, 此时称X 与Y 同构。