向量范数与矩阵范数的相容性.ppt

矩阵论教程A矩阵论教程A哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取使用教材《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012其他类参考书（自选）课 程 要 求作业要求矩阵论网站 内积空间与赋范线性空间欧氏空间与酉 空 间 标准正交基与向量的正交化正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 5向量范数与矩阵范数6向量范数与矩阵范数的相容性教 学 内 容 和 基 本 要 求2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；在矩阵范数中,相容性 尤为重要，那么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？若 是 上的矩阵范数， 是上的向量范数，由于 仍是 上的向量，所以：设 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数。

如果对任意的都有：则称矩阵范数 与向量范数 是相容的定义1 向量范数与矩阵范数的相容性§2.6例1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的证明：设 ， 例2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的证明：设 ， ||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果 对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？ 任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？ 给定 上的向量范数 ， 定义则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，称 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向量范数 的矩阵范数从属于向量范数的矩阵范数定理1定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实 值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是 相容的。

证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量x ，使 Ax≠0 ，从而有即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0 (2) 对任意的常数k∈C，即||A||满足齐次性 (3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，即||A||满足三角不等式 (4) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，即||A||满足相容性 上述定义的实值函数||A|| 是矩阵A的范数 再证||A||与|| x ||v的相容性由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不 同的计算公式定理2: 设 是 上的向量范数,则(1) 都是由 诱导出的算子范数(2) 证(1)令(2) 显然由(1)可知，故有，例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n) 列模和之最大者：列和范数为从属于向量2-范数的矩阵范数，也称谱范数为A的最大正奇异值3)为从属于向量∞ – 范数的矩阵范数(2)为从属于向量1 – 范数的矩阵范数(1)行模和之最大者：行和范数证明 (1) 设A的各列向量为αi，即则 ，且有 ，于是另外，设 ，并取单位向量 且即有即||Ax||1在单位球面{ x | ||x||1=1 }上的极大值点为ek，(2) 假设i=k时， 取得最大值，即则对于满足||x||∞=1的任意n维向量x，有取x0的第j个分量xj为则有||x0||∞=1，且Ax0的第k个分量为设与之对应的标准正交特征向量为 ，即有(3) 任取 ，且 || x ||2=1，则作酉阵 ，则有AHA=UHDU，其中令 ，则由于AHA为Hermite阵且正定，故可设AHA的特征值为从而有故得即 ，从而证得因为 ，所以又由x的任意性可得 若取 x=u1 ，则显然有设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数证明：用构造法证明。

取定 ,则就是 上与 相容的向量范数首先, 证明 是 上的范数：与矩阵范数相容的向量范数的存在性1.三角不等式3, 正定性2, 绝对齐性再证 与 的相容性 由矩阵范数定义中的第4条定理3 设A为n阶方阵，则证明 (1) 由于而||A||2为||Ax||2在||x||2=1上的最大值，因此，存在x0， 使得取故(2) 因为又由于且对任意存在故又由于故有(3) 由矩阵范数定义和(2)，有故有(4) 由(2)和(3)，可得故有定义3 矩阵A∈Cn×n的谱半径ρ(A)是是A的特征值}证明 设λ为矩阵A的一个特征值，相应的特征向量为x≠0，则定理4 如果|| ||是任意的矩阵范数，且A∈Cn×n，则若 || ||是任意的矩阵范数，则对上式两边同时取范数，由λ的任意性，我们有尽管谱半径不是Cn×n中的矩阵范数，但对于每 个固定的 A∈Cn×n，它是关于A的所有矩阵范数 的值的最大下界。