高等数学备课资料：第二章 导数与微分 03 第三节 高阶导数.doc

第三节 高阶导数根据本章第一节的引例1知道，物体作变速直线运动，其瞬时速度就是路程函数对时间的导数，即.根据物理学知识，速度函数对于时间的变化率就是加速度，即是对于时间的导数，于是，加速度就是路程函数对时间的导数的导数，称为对的二阶导数，记为 . 因此，变速直线运动的加速度就是路程函数对的二阶导数，即分布图示★ 高阶导数的定义★ 计算高阶导数的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 高阶导数的运算法则 ★ 例7★ 常用初等函数的高阶导数公式 ★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 2- 3 ★ 返回内容要点 一、 高阶导数的概念定义1 如果函数的导数在点x处可导, 即存在, 则称为函数在点x处的二阶导数, 记为类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为，或.一般地, 的阶导数的导数称为的n阶导数,记为 注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, 称为零阶导数; 称为一阶导数. 二、求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.三、莱布尼茨公式例题选讲高阶导数的概念注：讲义的例1、例3含在文件（计算高阶导数的方法）内.例1 (E02) 设, 求.解 例2 证明: 函数满足关系式证 对求导，得代入原方程,得证毕.例3 (E04) 设，求解 …… 若为自然数则注: 求阶导数时，求出或4阶后，不要急于合并，分析结果的规律性，写出阶导数 ( 利用数学归纳法).例4 (E05) 设，求解 …… 例5 (E06) 设的阶导数.解 ……即同理可得例6 设 为常数), 求 (图示见系统)解 ……例7 (E09) 设, 求.解 设则由莱布尼兹公式知例8 (E07) 设函数, 求.解 例9 (E08) 设求解 因为所以于是，利用高阶导数运算法则和已知高阶导数公式，得 例10设 求 解 例11 (E10)（弹簧的无阻尼振动）设有一弹簧，它的一端固定，另一端系有一重物，然后从静止位置（记作原点）沿x轴向下（记为正方向） 把重物拉长到4个单位，之后松开，若运动过程中忽略阻尼介质（如空气、水、油等）的阻力作用，则重物的位置x与时间t的关系式为：.试求t时刻的速度和加速度，并尝试分析弹簧整个运动过程的详细情况： (1) 物体会在某个时刻停止下来还是会做永不停止的周期运动？ (2) 何时离点最远，最近？(3) 何时速度最快，最慢？(4) 何时速度变化最快，最慢？(5) 据前面问题再加以分析，对无阻尼振动的运动性态作一详细阐述.解 位移：; 速度：; 加速度：.(1) 弹簧和重物构成的系统在整个运动过程中可认为不存在能量的损耗，而只是势能（弹性势能和重力势能）与动能的互相转化，所以物体的运动会永不停止，并据其位移、速度、加速度公式分析知重物作的周期运动.(2) 由易知:当(为非负整数，本题中的同此说明)时，质点达到离原点的最远位置处，正负表示运动的方向（以下同），且正值表示与初始位移方向一致，负值表示与初始位移方向相反；当时，质点达到离原点的最近位置处，即原点处．(3) 由速度公式，知：当时，达到最大绝对速度；当，达到最小绝对速度．(4) 由加速度公式，知：当时，达到最大绝对加速度；当时，达到最小绝对加速度.(5) 根据上面的计算再加以分析我们知道：当重物在原点时，其速度达到最大值，加速度为0，再往上或下继续振动时，速度减慢，且减慢的程度越来越快，这表示加速度的方向与瞬间速度的方向相反且大小越来越大，当到达最大绝对位移处时，加速度达到最大值，同时其速度减为0，这之前的过程可视为四分之一个周期，紧接着瞬间速度方向即将发生改变，但注意此时加速度方向不发生改变也即与瞬间速度方向一致，也就是说，此时加速度反方向给重物加速，直到再回到原点处使重物获得瞬间最大绝对速度，这之间的过程又可视为.剩下的半个周期相仿于前半个周期，故不再重述并请读者自述。

课堂练习1. 求函数的二阶导数.2. 设连续, 且, 求.3. 求函数的n阶导数.。