《d66极值与最值》ppt课件.ppt

第六章,第六节,一、二元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,二元函数的极值和最值,四、最小二乘法,一、 二元函数的极值,定义6.7 若函数,则称函数在该点取得极大值,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,,(极小值).,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,,定理6.4 (必要条件),函数,偏导数,,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),,但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,,则有,存在,故,时, 具有极值,定理6.5 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明略 .,时, 不是极值点.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,,且,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,,,,的极值.,求二阶偏导数,,,,,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,,二、最值应用问题,,函数 f 在有界闭域上连续,函数 f 在有界闭域上可达到最值,,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,,为极小值,,为最小值,(大),(大),依据,,例2.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,,还有其它条件限制,例如 ,,,,转化,方法2 拉格朗日乘数法.,分析：如方法 1 所述,,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极,故极值点必满足,记,例如,,值问题,,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,,则极值点满足:,,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,,例3.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,,试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,最省,,推广,拉格朗日乘子法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 y＝f (x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,,不能要求,,四、最小二乘法,偏差,有正有负,,值都较小且便于计算,,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,,找出的函数关系称为经验公式 .,, 它们大体,,特别, 当数据点分布近似一条直线时,,问题为确定 a, b,令,,满足:,使,,得,,称为法方程组,解此线性方程组 即得 a, b,进一步，可以验证,所以,因此直线,确为所求。

例1.,为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解: 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,,列表计算:,故可设经验公式为,,得法方程组,,解得,故所求经验公式为,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘子法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,,解方程组,第二步 判别,• 比较驻点及边界点上函数值的大小,• 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,,4. 最小二乘法,P266 26(2)(4); 27; 28; 30,习题课,作业,P269 11,1.,假设某企业在两个相互分割的市场上出售同,一种产品，,总成本函数为,两个市场的需求函数分别是,其中p1, p2为售价，Q1, Q2为销售量，,(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；,(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两市场上该产品的销售量和统一价格，使企业获得最大利润，并比较两种策略下的最大利润。

思考与练习,解.,(1) 总利润函数为,由,,得 Q1=4, Q2=5，这时 p1=10, p2=7.,因为这是实际问题，,一定存在最大值，且驻点唯一，,因此最大利润为,(2) 若实行价格无差别策略，,由,,得,最大利润为,则p1=p2,,即有约束条件,构造拉格朗日函数,这时 p1= p2=8.,价格差别策略下最大利润更大。