高等数学下册第八章课后习题解答-50页.pdf

习题 8- 1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集 )和边界.(1)( x, y)|x 0, y 0;解 开集, 无界集 , 导集为 R2, 边界为 ( x, y)|x=0 或y=0 .(2)( x, y)|1x2;解 开集, 区域, 无界集 , 导集为 ( x, y)| y x2, 边界为 (x, y)| y=x2 .(4)( x, y)|x2+(y- 1)2 1( x, y)|x2+(y- 2)2 4.解 闭集, 有界集 , 导集与集合本身相同 ,边界为 (x, y)|x2+(y- 1)2=1( x, y)|x2+(y- 2)2=4.2. 已知函数yxxyyxyxftan),(22-+=, 试求 f(tx, ty). 解)(tan)()()()(),(22tytxtytxtytxtytxf?-+=),(tan2222yxftyxxyyxt=?-+=.3. 试证函数 F(x, y)=ln x? ln y 满足关系式 :F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v).证明 F(xy, uv)=ln(x, y)? ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v) =ln x? ln u+ln x? ln v+ln y? ln u+ln y? ln v=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v).4. 已知函数 f(u, v, w)=uw+wu+v, 试求f(x+y, x- y, xy).解f(x+y, x- y, xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x- y) =(x+y)xy+(xy)2x.5. 求下列各函数的定义域 :(1)z=ln(y2- 2x+1);高等数学下册第八章习题解答解 要使函数有意义 , 必须y2- 2x+10,故函数的定义域为 D=( x, y)|y2- 2x+10 .(2)yxyxz-+=11;解 要使函数有意义 , 必须 x+y0, x- y0,故函数的定义域为 D=( x, y)|x+y0, x- y0.(3)yxz-=;解 要使函数有意义 , 必须y 0,0-yx即yx, 于是有 x 0 且x2 y,故函数定义域为 D=(x, y)| x 0, y 0, x2 y .(4)221)ln(yxxxyz-+-=;解 要使函数有意义 , 必须y- x0, x 0, 1- x2- y20,故函数的定义域为 D=(x, y)| y- x0, x 0, x2+y2r0);解 要使函数有意义 , 必须R2- x2- y2- z2 0 且x2+y2+z2- r20,故函数的定义域为 D=(x, y, z)| r20, 取=2, 当+220yx时恒有=0, 取0, 当|x- x0|时,有|f(x)- f(x0)|.作(x0, y0)的邻域 U(x0, y0),), 显然当 (x, y) U(x0, y0),)时, |x- x0|, 从而|F(x, y)- F(x0, y0)|=|f(x)- f(x0)|0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.证明 设azyxzyxF-+=),(, 则)21,21,21(zyx=n.在曲面上任取一点 M(x0, y0, z0), 则在点 M处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-zzzyyyxxx,即azyxzzyyxx=+=+000000.化为截距式 , 得1000=+azzayyaxx,所以截距之和为azyxaazayax=+=+)(000000.习题 8- 7 1. 求函数 z=x2+y2在点(1, 2)处沿从点 (1, 2)到点)32, 2(+的方向的方向导数解 因为从点 (1, 2)到点)32, 2(+的向量为)3, 1 (=l, 故)cos,(cos)23,21(|=llel.又因为22)2, 1 ()2, 1(=?xxz,42)2, 1()2, 1(=?yyz,故所求方向导数为321234212coscos+=?+?=?+?=?yzxzlz.2. 求函数 z=ln(x+y)在抛物线 y2=4x上点(1, 2) 处, 沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y2=4x两边对 x求导得 2yy= 4, 解得yy2=.在抛物线 y2=4x上点(1, 2)处, 切线的斜率为 y (1)=1, 切向量为 l=(1, 1) , 单位切向量为)cos,(cos)21,21(=le.又因为311)2, 1() 2, 1(=+=?yxxz,311)2, 1()2, 1(=+=?yxyz,故所求方向导数为3221312131coscos=?+?=?+?=?yzxzlz.3. 求函数)(12222byaxz+-=在点)2,2(ba处沿曲线12222=+byax在这点的内法线方向的方向导数 .解 令1),(2222-+=byaxyxF, 则22axFx=,22byFy=.从而点 (x, y)处的法向量为)2,2(),(22byaxFFyx=n.在)2,2(ba处的内法向量为)2,2()2,2()2,2(22babyaxba-=-=n,单位内法向量为)cos,(cos),(2222=+-+-=baababne.又因为aaxxzbaba22)2,2(2)2,2(-=-=?,bbyyzbaba22)2,2(2)2,2(-=-=?,所以222222222coscosbaabbaabbabayzxznz+=+?+?=?+?=?.4. 求函数 u=xy2+z3- xyz在点(1, 1, 2)处沿方向角为3=,4=,3=的方向的方向导数 .解 因为方向向量为)21,22,21()cos,cos,(cos=l, 又因为1)()2, 1 , 1(2)2, 1 , 1(-=-=?yzyxu,0)2()2, 1 , 1 ()2, 1 , 1(=-=?xzxyyu,11)3()2, 1 , 1(2)2, 1 , 1(=-=?xyzzu,所以5211122021) 1(coscoscos=?+?+?-=?+?+?=?zuyuxulu.5. 求函数 u=xyz在点(5,1,2)处沿从点 (5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解因为 l=(9- 5, 4- 1, 14- 2)=(4, 3, 12),)1312,133,134(|=llel, 并且2)2, 1 , 5()2, 1 ,5(=?yzxu,10)2, 1 , 5()2, 1 ,5(=?xzyu,5)2, 1, 5()2, 1 , 5(=?xyzu,所以139813125133101342coscoscos=?+?+?=?+?+?=?zuyuxulu.6. 求函数 u=x2+y2+z2在曲线 x=t, y=t2, z=t3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向 (对应于 t增大的方向 )的方向导 .解 曲线x=t, y=t2, z=t3上点(1, 1, 1)对应的参数为 t=1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为) 3, 2, 1 ()3,2, 1 (12=tttl,)143,142,141(|=llel,又22) 1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(=?xxu,22) 1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(=?yyu,22) 1 , 1, 1 () 1 , 1 , 1(=?zzu,所以1412143214221412coscoscos)1 , 1 , 1(=?+?+?=?+?+?=?zuyuxulu.7. 求函数 u=x+y+z在球面 x2+y2+z2=1 上点(x0, y0, z0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数 .解 令F(x, y, z)=x2+y2+z2- 1, 则球面 x2+y2+z2=1 在点(x0, y0, z0)处的外法向量为)2,2,2(),(000),(000zyxFFFzyxzyx=n,)cos,cos,(cos),(|000=zyxnnne,又1=?=?=?zuyuxu,所以000000111coscoscoszyxzyxzuyuxunu+=?+?+?=?+?+?=?.8. 设f(x, y, z)=x2+2y2+3z2+xy+3x- 2y- 6z, 求grad f(0, 0, 0)及grad f(1, 1, 1).解32+=?yxxf,24-+=?xyyf,66 -=?zzf.因为3)0, 0, 0(=?xf,2)0,0 , 0(-=?yf,6)0,0 , 0(-=?zf,6) 1, 1 , 0(=?xf,3)1 , 1 , 0(=?yf,0) 1 , 1 ,0(=?zf,所以grad f(0, 0, 0)=3i- 2j- 6k,grad f(1, 1, 1)=6i+3j.9. 设 u, v 都是 x, y, z的函数 , u, v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad(u+v)=grad u+ grad v;解kjizvuyvuxvuvu?+?+?+?+?+?=+)()()()(gradkji)()()(zvzuyvyuxvxu?+?+?+?+?+?=)()(kjikjizvyvxvzuyuxu?+?+?+?+?+?=vugradgrad+=.(2) grad (uv)=vgrad u+ugrad v;解kjizuvyuvxuvuv?+?+?=)()()()(gradkji)()()(zvuzuvyvuyuvxvuxuv?+?+?+?+?+?=)()(kjikjizvyvxvuzuyuxuv?+?+?+?+?+?=vgrad u +ugrad v.(3) grad (u2)=2ugrad u.解kjizuyuxuu?+?+?=2222)(gradkjizuuyuuxuu?+?+?=222uuzuyuxuugrad2)(2=?+?+?=kji.10. 问函数u=xy2z在点p(1, - 1, 2) 处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值 .解kjikji222xyxyzzyzuyuxuu+=?+?+?=grad,kjikji+-=+=-42)2()2, 1, 1 ()2, 1, 1(22xyxyzzyugrad.grad u(1, - 1, 2)为方向导数最大的方向 , 最大方向导数为211)4(2| )2, 1, 1 (222=+-+=-ugrad|.习题 8- 8 1. 求函数 f(x, y)=4(x- y)- x2- y2的极值 .解 解方程组, 求得驻点为 (2,- 2), 由于?=-=-=024),(024),(yyxfxyxfyxA=fxx(2, -2)=- 20,所以在点 (2, -2)处, 函数取得极大值 , 极大值为f(2, - 2)=8.2. 求函数 f(x, y)=(6x- x2)(4y- y2)的极值 .解 解方程组,?=-=-=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22yxxyxfyyxyxfyx得,.?=23yx?=00yx?=40yx?=06yx?=46yx因此驻点为 (0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为fxx(x, y)=- 2(4y- y2), fxy(x, y)=4(3- x)(2- y), fyy(x, y)=-2(6x- x2).在点(0, 0)处, fxx=0, fxy=24, fyy=0, AC- B2=- 2420, 所以f(0, 0)不是极值 ;在点(0, 4)处, fxx=0, fxy=- 24, fyy=0, AC- B2=- 2420, 又A0, 所以f(6, 0)不是极值 ;在点(6, 4)处, fxx=0, fxy=24, fyy=0, AC- B2=- 2420, 所以f(6, 4)不是极值 .综上所述 , 函数只有一个极值 , 这个极值是极大值f(3, 2)=36.3. 求函数 f(x, y)=e2x(x+y2+2y)的极值。