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总结 离散数学知识点第二章 命题逻辑1. →，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2. 主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3. 求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4. 求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5. 求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6. 真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7. n个变元共有个极小项或极大项，这为(0~-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8. 永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9. 推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章 谓词逻辑1. 一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2. 全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3. 既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章 集合1. N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2. 基：集合A中不同元素的个数，|A|；3. 幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4. 若集合A有n个元素，幂集P(A)有个元素，|P(A)|==；5. 集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6. 集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章 关系1. 若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；2. 若集合A有n个元素，则|A×A|=，A上有个不同的关系；3. 全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4. 前域(domR)：所有元素x组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5. 自反闭包：r(R)=RU; 对称闭包：s(R)=RU; 传递闭包：t(R)=RUUU……6. 等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7. 偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8. covA={|x,y属于A，y盖住x}；9. 极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)； 极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)； 最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)； 最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10. 前提：B是A的子集 上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)； 下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)； 上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)； 下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章 函数1. 若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系，有种不同的函数；2. 在一个有n个元素的集合上，可以有种不同的关系，有种不同的函数，有n!种不同的双射；3. 若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有种不同的单射；4. 单射：f:X-Y，对任意,属于X,且≠，若f()≠f()； 满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应； 双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5. 复合函数：fºg=g(f(x));6. 设函数f:A-B，g:B-C，那么 ①如果f,g都是单射，则fºg也是单射； ②如果f,g都是满射，则fºg也是满射； ③如果f,g都是双射，则fºg也是双射； ④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章 代数系统1. 二元运算：集合A上的二元运算就是到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为==16种；3. 判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4. 同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章 群1. 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2. 群没有零元；3. 阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4. 循环群中幺元不能是生成元；5. 任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章 格与布尔代数1. 格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2. 格的基本性质： 1) 自反性 a≤a 对偶: a≥a 2) 反对称性 a≤b ^ b≥a => a=b 对偶:a≥b ^ b≤a => a=b 3) 传递性 a≤b ^ b≤c => a≤c 对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c 4) 最大下界描述之一 a^b≤a 对偶 avb≥a A^b≤b 对偶 avb≥b 5）最大下界描述之二 c≤a,c≤b => c≤a^b 对偶c≥a,c≥b =>Þc≥avb 6) 结合律 a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7)   等幂律 a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律 a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9)    a≤b <=> a^b=a avb=b 10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd 11) 保序性 b≤c => a^b≤a^c avb≤avc 12） 分配不等式 av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13）模不等式 a≤c <=>Û av(b^c)≤(avb)^c3. 分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4. 分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6. 全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一) 全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7. 有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8. 补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9. 有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10. 有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11. 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章 图论1. 邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2. 关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3. 平凡图：只有一个孤立点构成的图；4. 简单图：不含平行边和环的图；5. 无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6. 无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7. r-正则图：每个节点度数均为r的图；8. 握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9. 任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10. 任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11. 每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12. 可达：对于图中的两个节点,，若存在连接到的路，则称与相互可达，也称与是连通的；在有向图中，若存在到的路，则称到可达；13. 强连通：有向图章任意两节点相互可达； 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达； 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14. 点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集； 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15. 关联矩阵：M(G)，是与关联的次数，节点为行，边为列； 无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2； 有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1， 关联矩阵的特点：无向图： ①行：每个节点关联的边，即节点的度； ②列：每条边关联的节点；有向图： ③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，是邻接到的边的数目，点为行，点为列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+(G)+(G)+(G) 可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18. 布尔矩阵：B(G)，到有路为1，无路则为0，点为行，点为列；19. 代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20. 生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21. 构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先； 深度优先： ①选定起始点； ②选择一个与邻接且未被访问过的节点； ③从出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先： ①选定起始点； ②访问与邻接的所有节点,,……,,这些作为第一层节点； ③在第一层节点中选。