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随机过程作业题及参考答案第一章 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞），其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量试求 ()X t 的一维分布密度 解： ()X t 的一维分布函数为： ()(){}{}{}1ln ln -?? =≤=≤=-≤=≥-???? ；Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t 111ln 1ln ???? =-） ()()()()1212 1212X t t Xt Xt X R t t E X t X t E e e E e -+--????==?=???????? ， () ()()()1212120 012111T T x t t x t t e dx e d x t t T T t t T -+-+=?=-?-+??? ?+?? () () ()()12120 12121 11x t t T t t T e e T t t T t t -+-+??=- =- -? ?++ ()()121211T t t e T t t -+??= -? ?+. 9. 给定随机过程(){} X t t -∞??，， 试证：()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x ）。

证明：设()1f x t ，和()21212f x x t t ，；，分别为()X t 的一维和二维概率函数，则 ()()()()()()111x Y m t E Y t y t f x t dx f x t dx F x t +∞ -∞ -∞ ====????? ? ，，，. ()()()()1212122121212Y R t t E Y t Y t y y f x x t t dx dx +∞ +∞ -∞ -∞ ==????? ? ，，；， ()()12 212121221212x x f x x t t dx dx F x x t t -∞-∞ ==? ? ，；，，；，. 若考虑到对任意的t T ∈，()Y t 是离散型随机变量，则有 ()()(){}(){}(){}()11100Y m t E Y t P Y t P Y t P X t x F x t ==?=+?==≤=????，. ()()()1212Y R t t E Y t Y t =????， ()(){}()(){}121211111010P Y t Y t P Y t Y t =??==+??==，， ()(){}()(){}121202210000P Y t Y t P Y t Y t +??==+??==，， ()(){}()112221212P X t x X t x F x x t t =≤≤=，，；，. 因此，()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数。

P41 14. 设随机过程()X t X Yt =+，t -∞<<+∞，而随机矢量()X Y τ ，的协方差阵为 2122σγγσ?? ?? ?? ，试求()X t 的协方差函数 解：依定义，利用数学期望的性质可得 ()12X C t t ， ()()()(){} 1122X Y X Y E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+???????? ()()()(){ } 1122X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-???????? ()()()()2X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--???????? ()()()()112Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--???????? 2112XX XY YX YY C t C t C t t C =+++ ()22112122 t t t t σγσ=+++. 15. 设随机过程()2X t X Yt Zt =++，t -∞<<+∞，其中X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1。

试求()X t 的协方差函数 解： ()()()()(){} 121122X X X C t t E X t m t X t m t =--????????， ()()()(){} 2222 11112222X Y Z X Y Z E X Yt Zt m m t m t X Yt Zt m m t m t ????=++-++++-++???? ……………………… ① X ，Y ，Z 的数学期望均为0，即0X m =，0Y m =，0Z m =，将其代入①式，得： ()()()22 121122X C t t E X Yt Zt X Yt Zt ??=++++??， ()222222222221121211212E X XYt XZt XYt Y t t YZt t XZt YZt t Z t t =++++++++ ()()()222222222121212121212E X XY t t XZ t t Y t t YZ t t t t Z t t ??=++++++++?? ………… ② ()()()22D X E X E X =-， ()()()222101E X D X E X ∴=+=+=. 同理，() 21E Y =，() 21E Z =. X ，Y ，Z 相互独立， ()()()0E XY E X E Y ∴==. 同理，()0E XZ =，()0E YZ =. 将上述结果代入②式，得 ()12X C t t ， ()()()()()()()()()222 222222121212121212E X t t E XY t t E XZ t t E Y t t t t E YZ t t E Z =++++++++ 2212121t t t t =++. 。