2022年导数知识归纳 2.docx

精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 1）导数的概念：1．导数的定义：对函数 y=f〔x〕，在点 x=x0 处给自变量 x 以增量 x，函数 y相应有增量 y=f〔x0+ x〕－f〔x0〕，如极限lim yx 0 xlimx 0f 〔 x0x〕 fx〔 x0 〕存在，就0此极限称为 f〔x〕在点 x=x0 处的导数，记为 f’〔x0〕，或 y’| x x ；2．导函数：假如函数 y=f〔x〕在区间 〔a， b〕内每一点都可导，就说 y=f〔x〕在区 间〔a，b〕内可导．即对于开区间 〔a， b〕内每一个确定的 x0 值，都相对应着一个确定的导数 f’x〔0〕，这样在开区间 〔a，b〕内构成一个新函数，把这一新函数叫做 f〔x〕在〔a，b〕内的导函数．简称导数．记作 f’x〔〕或 y’.即 f’〔x〕=y’=limy = limf 〔x x〕f 〔 x〕 ；x 0 x x 0 x3．导数的几何意义：函数 y=f 〔x〕在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f〔x〕在 P〔x0，f〔x0〕〕 处的切线的斜率，即曲线 y=f〔x〕在点 P〔x0，f〔x0〕〕 处的切线斜率为 k＝ f’x〔0〕．函数 y＝ f〔 x〕在点 P〔x0， f〔x0〕〕处的切线方程为 y －y0=f ’x〔0〕 ·〔x－ x0〕．函数 y=f〔x〕在点 P〔x0 ，f〔x0〕〕 处的法线方程为 y－ y0＝－1f '〔 x0 〕〔x－x0〕或 x＝ x0.（2）常见函数的导数：〔c〕’=0, 〔c 为常数 〕；〔xm〕’=mx m1 ； 〔sinx〕’=cosx；〔cosx〕’=－ sinx；〔ex〕’=ex；〔ax〕’=ax·lna；〔lnx〕’= 1x；〔lig ax〕’= 1 log e .ax（3）导数的运算：1．函数的和或差的导数法就：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即 〔u±v〕 ’＝ u’±v’.2．函数的积的导教法就：两个函数的积的导数， 等于第一个函数的导数乘以其次个函数， 加上第一个函数乘以其次个函数的导数，即 〔uv〕 ’＝ u’v+v’u.3．函数的商的导；法就：两个函数的商的导数， 等于分子的导数与分母的积， 减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即 〔 uv〕’= u ' v v 'uv2〔v≠0〕；4．复合函数的导数法就：设函数 u＝g〔x〕在点 x 处有导数 u’x＝ g’〔x〕，函数 f〔u〕在点 x 处的 u 处有导数 y’u=f’u〔〕；就复合函数 y=f[〔 x〕] 在点 x 处也有导数，且 y’x＝y’u·u’x，也可简述为：复合函数对自变量的导数， 等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（4）函数的单调性设函数 y=f〔x〕在某个区间内可导，假如 f’x〔〕>0 时，就函数 y=f〔x〕为增函数；假如 f’x〔〕<0 时，就函数 y＝ f〔x〕为减函数；假如恒有 f ’x〔 〕＝0，就 y=f〔x〕为常函数 .（5）函数的极值1．设函数 y=f〔x〕在 x0 邻近有定义，假如对 x0 邻近的全部点 x 都有 f〔x〕＜ f〔x0 〕， 就称 f〔x0〕是函数 f〔x〕的一个极大值，记作 y 极大值 =f〔x0〕；2．假如对 x0 邻近的全部点 x，都有 f〔x〕＞f〔x0〕称 f〔x0〕是函数 f〔x〕的一个微小值，记作 y 微小值 =f〔x0 〕，极大值与微小值统称为极值；3．判定法就：①对于在 x0 处连续的函数，假如在 x0 邻近的左侧 f’x〔〕>0，右侧 f ’x〔〕<0，那么 f〔x0〕是极大值；②假如在 x0 邻近的左侧 f’x〔〕<0，右侧 f’x〔〕>0，那么 f〔x0〕是微小值．（6）函数的最大值与最小值1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向 〔 或定义域 〕内全部函数值中最大的值或最小的值， 最大数值叫最大值， 最小的值叫最小值， 通常最大值记为 M，最小值记为 m.2．存在性：在闭区间 [ a，b] 上连续函数 f〔x〕在[a，b] 上必有最大值与最小值．3．求最大（小）值的方法：函数 f〔x〕在闭区间 [ a， b] 上最值求法：①求出 f〔x〕在〔a，b〕内的极值；②将函数 f〔x〕的极值与 f 〔a〕，f〔b〕比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值 .（一）学习方法点拨1．导数的概念：设 f〔x〕在点 x=x0 邻近有定义，如极限limf 〔 x〕 f 〔 x0 〕存在，就称其为 f〔x〕x x0x x0在点 x=x0 处的导数 f’〔x0〕．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的．另外，如 limx ag 〔 x〕 0 ，且存在 a 的邻域（ α， β），当 x∈〔α, x0〕∪〔x0, β〕时，有 g〔x〕≠0，就f '〔x〕 limx af 〔 x0g 〔 x〕〕 g 〔x〕f 〔 x0 〕，又如limx ag〔 x〕x0 ，且存在 a 的邻域〔α，β〕，当 x∈ 〔α, x0〕∪ 〔x0, β〕时，有 g〔x〕≠ x0，就f '〔 x0〕 limx af [ g〔 x〕]g〔 x〕f 〔 x0 〕 .x0精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -设 f〔x〕=g〔 x〕h〔 x〕x≥ a, x a,那么 g〔a〕=h〔a〕=A，且limx ag〔 x〕 A x alimx ah〔 x〕 ABx a为 f〔x〕在点 x＝ a 处可导的充要条件，此时 f’〔a〕 ＝B．由此可知，如分段函数 f〔x〕的表达式中的 g〔x〕、h〔x〕可分别看做含有 a 的区间〔α，β〕上的函数，且 g〔a〕＝h〔a〕，g’〔a〕=h’〔a〕，就 f〔x〕在点 x=a 处可导；且有 f’〔a〕=＝ g’〔a〕＝h’〔a〕．2．曲线的切线：设曲线 S：y=f〔x〕，如 f’〔x0〕存在，就 S 在点 P〔x0，f〔x0〕处的切线方程为 l ：y－f〔x0 〕＝f’〔x0〕〔x－x0〕．可见 l 的方程被 x0 所唯独确定；如 f〔x〕在区间 〔α，β〕内可导，就当点 x0 在〔α，β〕内变动时，点 P〔x0，f〔x0〕〕在 S 上变动，而 l“贴着”曲线 S 转动．所以要求具有某种性质的切线，可转化为这种性质对点 x0 的要求，解出 x0，即可求出对应的切线方程．应当明白可能一曲线在某点处不行导； 但在这一点的切线仍是存在的， 例如1曲线 y= x3 在点 x＝0 处不行导，但在原点处有切线 x＝0．3．导数运算要娴熟把握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法就．对复合函数求导法就， 应第一搞清晰函数的复合过程， 方法是讨论运算次序， 例如给定函数 y＝ln〔sinex〕，所谓运算次序是指对自变量 x，应先运算 u=ex，再运算 v=sinu，最终算出 y＝lnv，然后倒过来即得复合过程 y＝ lnv， v=sinu，u＝ex，从而有 y’= 1vcos u ex1sin〔 ex 〕cos〔ex 〕 exex cot〔 ex 〕 ．对复合函数求导法就的把握， 要娴熟到可以不写出复合过程而直接写出求导结果．4．函数的单调性应当懂得函数的单调性与可导性并无本质的联系， 甚至具有单调性的函数并不肯定连续． 我们只是利用可导来讨论单调性， 这样就将讨论的范畴局限于可导函数．f〔x〕在区间 I 上可导，那么 f’〔x〕> 0 是 f〔x〕为增函数的充分条件，例如 f〔x〕=x3 是定义于 R 的增函数，但 f ’0〔〕=0，这说明 f ’x〔〕>0 非必要条件．我们也可利用导数来证明一些不等式．如 f〔x〕、g〔x〕均在[a、b]上连续， 〔a，b〕上可导， 那么令 h〔x〕＝f〔x〕－g〔x〕，就 h〔x〕也在[a，b]上连续， 且在〔a，b〕上可导， 如对任何 x∈ 〔a，b〕有 h’〔x〕>0 且 h〔a〕≥0，就当 x∈〔a，b〕时 h〔x〕>h〔a〕=0，从而 f〔x〕>g〔 x〕对全部 x∈〔a， b〕成立．精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -5．可导函数的极值从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必定联系．如 f〔x〕=|x－1|，易见当 x=1 时 f〔x〕取得微小值， 但 f’〔1〕不存在． 所以用讨论导数的方法探求函数的极值，实际上是将讨论的范畴局限于可导函数．对可导函数 f〔x〕，在 x=x0 取极值的必要条件是 f〔x0〕＝0．又设 f〔x〕在点 x=x0处取得微小值，是否肯定存在 x0 的邻域 〔 α，β，〕使当 x∈〔α，x0〕时 f ’x〔〕<0，且当 x∈〔x0，β〕时 f ’x〔〕>0，答案是否定的，即 f ’x〔〕在 x0 的“左侧邻近”为负，且在 x0“右侧邻近”为正仅是 f〔x0〕为微小值的充分条件，为说明这一情形，我们考察2 1函数 f〔x〕=x 〔2 sin 〕xx 0，由于limf 〔 x〕f 〔0〕limx〔2 sin1〕 0 , 故有0 x 0x 0 x 0 x 0 xf '〔x〕2x〔2 sin1 〕 cos 1x xx 0 ，0 x 0即 f〔x〕在 R 上可导．又当 x≠0 时 f〔x〕>0，而 f〔0〕=0，故当 x＝0 时 f〔x〕取得极小值 0，但对任何 α<0，总可取到充分小的 k∈Z，使 x1＝ 12k4∈ 〔α，0〕，且1f’〔x1〕=2k1 >0，又对任何 β>0，总可取到充分大的 k∈Z，使 x2=2k∈〔0，β〕，且 f’〔x2〕= 4 1 <0．2 k6．函数的最大值与最小值函数的极值是。