测量误差理及数据处理.docx

第2章 测量误差理论及数据处理2.1测量误差的基本概念教学目的1. 掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、粗大误差的概念和来源2. 了解准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差、总误差的关系教学重点及难点1. 根据误差的性质，将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三类，给出了这三类 误差的概念和来源2. 与测量结果有关的三个术语：准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差和 总误差的关系教学方式：讲授教学过程：2.1.1测量误差的定义.分类根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类1. 随机误差随机误差的定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器 都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号 都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成这些因素 主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测 量人员感官的无规律变化等5, = x - x_ x + x +A + x 1 芝n n .=1 1 (n t 3 )(3 — 1)随机误差的新定义：随机误差（5,.）是测量结果七与在重复性条件下，对同一被测量 进行无限多次测量所得结果的平均值元之差。

即（3—2）定义的意义：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性 随机误差愈小，精密度愈高2. 系统误差系统误差的定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符 号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有：1） 测量仪器方面的因素:仪器机构设计原理的缺点;仪器零件制造偏差和安装不正确； 电路的原理误差和电子元器件性能不稳定等如把运算放大器当作理想运放，而被忽略的输 入阻抗、输出阻抗等引起的误差2） 环境方面的因素：测量时的实际环境条件（温度、湿度、大气压、电磁场等）对标 准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差3） 测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差，4) 测量人员方面的因素：由于测量人员的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于 某一方向；动态测量时，记录快速变化信号有滞后的倾向七(n * )的平均值X与被测量的真值气之差即系统误差3)的定量定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结 果X， X，…，£= X - A0 (3 — 3)在去掉随机因素(即随机误差)的影响后，平均值偏离真值的大小就是系统误差。

系差越小，测量就越准确所以，系统误差经常用来表征测量准确度的高低3. 粗大误差粗大误差是一种显然与实际值不符的误差，又称疏失误差产生粗差的原因有：(1) 测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆 忙实验等2) 测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压，用 普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等3) 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等 引起测量仪器示值的剧烈变化等含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉4.系差和随差的表达式测量中发现了粗差，数据处理时应将其剔除，这样要估计的误差就只有系统误差和随机 误差两类将式(3 — 1)和式(3—2)等号两边分别相加，得(3—4)£ + 5, = x — A + x — x = x — A = Ax即各次测得值的绝对误差等于系统误差£和随机误差5i的代数和在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在 绝对的界限2.1.2测量结果的表征准确度——表示系统误差的大小系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符 合的程度越高。

精密度——表示随机误差的影响精密度越高，表示随机误差越小随机因素使测量值 呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响精确度越高，表示正确度和精密 度都高，意味着系统误差和随机误差都小小结：本结应重点掌握随机误差、系统误差、粗大误差、准确度、精密度、精确度2.2测量误差的估计和处理教学目的1. 了解随机变量的数字特征的意义和估算方法2. 掌握算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念3. 灵活应用随机误差满足正态分布、均匀分布和t分布时的处理方法4. 掌握系统误差的分类、发现方法和消除方法5. 掌握粗大误差的判断方法和消除方法6. 掌握等精度时测量结果的处理，了解不等精度时测量结果的处理教学重点及难点1. 算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念2, 系统误差的分类、发现方法和消除方法；粗大误差的判断方法和消除方法教学方式：讲授教学过程：2.2.1随机误差的统计特性及减少方法1.随机误差的分布规律测量值和测量误差都是随机变量在很多情况下，测量中随机误差的分布及测量数据的 分布大多接近于服从正态分布随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同(都为。

)，只是横坐 标相差H这一常数值随机误差具有以下规律：① 对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同② 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大③ 有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过 定界限④ 抵偿性：当测量次数n-8时，全部误差的代数和趋于零标准偏差的意义：代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数值越小，则曲线形状尖锐，说明数据越集中；越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散2. 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值在实际测量中只能进行有限次测量，不能准确地求出被测量的数学期望和标准偏差本 节讨论如何根据有限次测量结果估计被测量的数学期望和标准偏差1) 有限次测量的数学期望的估计值一一算术平均值被测量X的数学期望就是当测量次数n-8时，各次测量值的算术平均值E(X) = £x 1 = 1 Ex(3-13)=1 i n ni=1 1 当 n-8 时实际等精度测量时，测量次数n为有限次，各次测量值为气』1，2,A ,n)，规定使用算 术平均值x为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果即：X =1 ^^x.n i=1 1 (3-14)算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。

2) 算术平均值的标准偏差因为是等精度测量，并假定n次测量是独立的，那么这一系列测量就具有相同的数学期 望和方差，又根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之 和”的定理，进行下面推导b 2(x) = b 2(— Ex ) = — b 2(Ex ) = 1[b 2(X ) +b 2(x ) +A+b 2(X )]〃 "n2 『孔2 1 2 ^=—nb 2( X) = - b 2( X)n2 nb (X)=些贝 g -：n (3-15)式(3-15)说明，n次测量值的算术平均值的方差比总体或单次测量值的方差小n倍， 或者说算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小，•匚倍这是由于随机误差 的抵偿性，在计算X的求和过程中，正负误差相互抵消；测量次数越多，抵消程度越大，平 均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差3) 有限次测量数据的标准偏差的估计值以算术平均值代替真值，以测量值与算术平均值之差一一残差v来代替真误差，即(3-16)(3-17)V i = X. — X显然，残差的代数和为零，即Z V i = 0贝塞尔公式：，(X) =i 出乙2 =沽 E (X/-X )2 f i=1 f i=1式中，s(X)为测量值标准偏差的估计值，通常又称为实验偏差。

MX)作为算术平均值标准偏差b (X)的估计值s( X) s( X) =•、n (3-19)2.2.2粗大误差及其判断准则大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测 量值剔除粗大误差的产生原因① 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；② 客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失 效等1.防止和消除粗大误差的方法对粗大误差，除了设法从测量数据中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是采取各种措施， 防止产生粗大误差① 要加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；② 保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件激烈变化时进行测量③ 在等精度条件下增加测量次数，或采用不等精度测量和互相之间进行校核的2.粗大误差的判别准则根据统计学的方法来判别可疑数据是否是粗大误差这种方法的基本思想是：给定一置 信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除常 用的方法有：1） 莱特检验法若n」> &，则该误差为粗大误差，所对应的测量值七为异常数据使用时要求测量次数充分大2） 格拉布斯检验法最大残差、axl = max（5 —、m，、ax—5），若 \ax卜G，" 则判断对应测量值为粗大误 差，其中，G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定（一般4 = 95%和Pc = 99%），见表3 —6。

3） 应注意的问题① 所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定这些检验法又都是以正 态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响特别是测量次数少时更不可靠② 若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算[和s，再行 判别若有两个相同数据超出范围时，也应逐个剔除③ 在一组测量数据中，可疑数据应很少反之，说明系统工作不正常因此剔除异常数 据需慎重对待要对测量过程和测量数据进行分析，尽量找出产生异常数据的原因2.2.3系统误差的判断及消除方法1 .系统误差的特征系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，误差按一定的规律变化在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有低偿性2.系统误差的发现方法（1） .不变的系统误差校准、修正、实验比对法（2） 变化的系统误差① 残差观察法残差观察法是将所测得的数据及其残差按测得的先后次序列表或作图，观察各数据的残 差值的大小和符号的变化情况，从而判断是否存在系统误差及其规律但此方法只适用于系 统误差比随机误差大的情况② 马利科夫判据马利科夫判据是判别有无累进性系统误差的常用方法。

把n个等精度测量值所对应的残 差按测量先后顺序排列，把残差分成两部分求和，再求其差值若D近似等于零，则上 述测量数据中不含累进性系差，若D明显地不等于零（与，•值相当或更大），则说明上述测 量数据中存在累进性系差③ 阿贝一赫梅特判据通常用阿贝赫梅特判据来检验周期性系差的存在把测量数据按测量顺序排列，将对 应的残差两两相乘，然后求其和的绝对值，再与实验标准方差相比较，若式3-22）成立， 则可认为测量中存在周期性系统误差n^ 1 [ 乙 uu +1 >Un-1 -s2(3-22)• •I=。