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比的应用综合讲义一、 基础知识整理1. 比的意义：两个数相除又叫两个数的比它表示两个量之间的倍比关系2. 求比值的方法：用比的前项除以比的后项得到一个数，这个数就是比值比值可以是整数，也可以是分数或小数3. 比与除法、分数的关系：比的前项相当于被除数、分子；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值；比号相当于除号、分数线因为除数和分母不能为0，所以比的后项也不能为0.4. 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项的最大公因数是15. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变6. 化简比的方法：①整数比的化简；②分数比的化简；③小数比的化简7. 化简比的注意事项：在化简比的过程中必须保证比值不变，且最后结果仍然是两个数的比8. 化简比和求比值的区别：化简比的最终结果是一个比；求比值的结果是一个数，可以是整数、分数和小数9. 按比分配：根据两个数的比，可以先求出其中一个数占这两个数总和的几分之几，然后用乘法来求出每个部分量的具体数量10. 三角形内角度数比与三角形形状的关系：① 1:1:1 等边三角形 （60° 60° 60°）② 1:2:3 直角三角形 （30° 60° 90°）③ 1:2:2 等腰三角形 （36° 72° 72°）④ 1:1:2 等腰直角三角形 （45° 45° 90°）注意：我们只可以利用上面的内角度数比得出三角形的形状，但不可以利用三角形的形状得出三角形的内角度数比。

二、 重点题型演练例1.甲数的 13 与乙数的 12 相等，求甲数和乙数的比？解析：由题意可知：甲×13=乙×12 可以假设它们的积为1，则甲=3，乙等于2 则甲数与乙数的比为3:2小提示：在做这类题型时，可以把它们的积假设为一个数，然后求出甲、乙具体的量例2.甲、乙两个数的和是140，甲、乙两数的比是3:2，求甲、乙两数各是多少？解析：①归一法：因为甲、乙两数的比是3:2，那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份，也就是说把甲、乙两数的和平均分成5份，每一份的值为140÷5=28甲数占了其中的3份，则甲数为28×3=84；乙数占了其中的2份，则甲数为28×2=56②分数法：因为甲、乙两数的比是3:2，那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份其中甲数占了总数的35，乙数占了总数的25则甲数为140×35=84 乙数为140×25=56例3.甲、乙两数的比是5:3，甲数比乙数大16甲、乙两数分别是多少？解析：因为甲、乙两数的比是5:3，则可以把甲数看作5份，乙数看作3份，那么甲数比乙数多（5-3）=2份又因为甲数比乙数大16，则每一份为16÷2=8 甲数占了5份，则甲数为8×5=40 ；乙数占了3份，则甲数为3×8=24 。

例4.一个长方形的周长是480米，它的长和宽的比是2:1，这个长方形的长和宽各是多少？解析：长方形的周长公式为（长+宽）×2 ，要计算长方形的长和宽各是多少，首先要计算出一条长和一条宽的和是多少，即用周长除以2，然后按比分配一条长与一条宽的和：480÷2=240（米）长与宽的比是2:1 ，则可以吧长和宽的和看作1+2=3（份）240÷3=80（米） 长：80×2=160（米） 宽：80×1=80（米）例5. A和B的比是7:6 ，B和C的比是5:4 求A、B、C的比？解析：此题是考察将两个单比化成连比的方法两个含有公共部分的单比我们可以写成三个量的连比方法：找出公共部分两个量的最小公倍数，在两个单比中，根据比的性质，将公共部分换成所求出来的最小公倍数的这个数（要注意前项和后项的位置）；两个单比中公共部分的量相一致时，就可以直接将两个单比写成连比形式公共部分的量为B，在两个比中分别对应的是6和5，则6和5的最小公倍数为30.A：B=7:6=（7×5）：（6×5）=35:30 B：C=5:4=（5×6）：（4×6）=30:24则A：B：C=35:30:24例6.甲校和乙校的人数比是3:5，如果从甲校转入乙校150人，则甲校和乙校的人数比是3:7，求原来甲、乙两校各多少人？解析：在解决此类问题时，我们首先要明确不管甲校转入乙校多少人，两个学校在转入前和转入后总人数没有发生变化。

那么我们就要抓住这一特点进行分析，只要计算出两个学校的总人数，然后再按比分配转入前：因为甲校和乙校的人数比是3:5，则甲校占两校总人数的38转入后：因为甲校和乙校的人数比是3:7，则甲校占两校总人数的310则转入前和转入后甲校减少了两校总人数的（38 - 310）因为甲校在转入前和转入后人数减少了150人，则两校总人数：150÷（38 - 310）=2000（人）原来甲校人数：2000×38=750（人） 原来乙校人数：2000×58 =1250（人）例7.一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段的路程比是1:2:3，走这三段路所用的时间比是4:5:6已知上坡速度是每小时3千米，这段路全长12千米，走完这段路一共用多少小时？解析：要计算走完这段路一共用了多少小时，只要计算出每段路所用的时间，把它们相加就行要计算每段路的时间，就先要计算出每段路的路程和速度，那么我们就要从题目中已知的量入手因为上坡、平路、下坡各段的路程比是1:2:3，全长是12千米，可先算出每段路的路程又知道上坡的速度，可以算出上坡的时间，再根据三段路的时间比，可算出一共用的时间解题过程：1+2+3=6 12÷6=2（千米）上坡路程为：2×1=2（千米） 平路路程：2×2=4（千米） 下坡路程：2×3=6（千米）则上坡时间为：2÷3=23（小时） 因为三段路的时间比是4:5:6则 平路时间为：23÷4×5=56（小时） 下坡时间为：23÷4×6=1（小时）总时间为：上坡时间+平路时间+下坡时间=23 + 56 + 1=2.5（小时）例8.两个盒子里都装有水果糖和奶糖，且两盒糖的质量相等。

一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3:2，另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1:5，若把两个盒子混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少？解析：要计算混合后水果糖和奶糖的质量比，首先要计算出两盒糖在混合之前水果糖和奶糖的质量各是多少，但是题中并没有告诉我们两盒糖的质量具体是多少，从题中现有的已知量中我们是无法计算出结果的，但是我们又发现题目所求的结果是两个量之间的比，跟这两个量的具体数量是没有关系的，这时候我们就可以采用设数法，将题目中缺少的量设成一个已知的量，然后再作答解题过程：设每盒糖的质量都是30千克第一盒：水果糖：30×35=18（千克） 奶糖：30×25=12（千克）第二盒：水果糖：30×16=5（千克） 奶糖：30×56=25（千克）混合后： 水果糖的质量：18+5=23（千克） 奶糖的质量：12+25=37（千克）则混合后水果糖和奶糖的质量比是 23:37设数法：在解一些数学题时，常常会遇到一些看起来好像缺少条件的题目，按照常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时我们就可以采用“设数法”，即对题目中“缺少”的条件先设一个数代入（设的这个数要尽量方便计算，在此题中选用两个比的份数和的最小公倍数），再解答。

例9.小强的速度比小刚慢110，小刚的速度比小林慢110，求他们三人的速度比？解析：因为小强的速度比小刚慢110，则小强的速度是小刚的（1- 110）=910 则小强和小刚的速度比是9:10 又因为小刚的速度比小林慢110，则小刚的速度是小林的（1- 110）=910 则小刚和小林的速度比是9:10 所以小强、小刚、小林的速度比为 81:90:100三、 习题演练（每一个例题配一道练习，参照例题仔细思考，保证每题掌握）1. 甲数的 23 与乙数的 34 相等，求甲数和乙数的比？2. 甲、乙两数的和是1200，甲数和乙数的比是1:19，求甲、乙两数各是多少？3. 一个减法算式中，减数与差的比是4:3，已知被减数是14，减数和差各是多少？4. 一个长方体框架的棱长总合是36分米，长、宽、高的比是3:2:1，求这个长方体的长、宽、高各是多少分米？5. A和B的比是4:7，B和C的比是5:8，求A、B、C的比是多少？6. 甲校和乙校的人数比是2:3，如果从甲校转入乙校200人，则甲校和乙校的比是3:7.求原来甲、乙两校各多少人？7. 一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段的路程比是4:5:6，走这三段路的速度比是4:5:8，已知上坡速度是8千米/时，这段路总长是36千米，走完这段路共用多少小时？8. 甲、乙两班人数相同，甲班男生与女生人数的比是3:4，乙班男生与女生的人数比是4:5，求甲、乙两班总人数中男、女生的人数比是多少？9. 甲走的路程比乙多 14 ，而乙走的时间比甲多 110 ，求甲和乙的速度比？。