能量原理及其应用理想磁流体不稳定性课件.ppt

能量原理及其应用能量原理及其应用理想磁流体(IMHD)不稳定性胡希伟胡希伟核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班2019.8.71总100页等离体不稳定性概述等离体不稳定性概述2总100页不稳定性现象§一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态.§系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况 --扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动; --扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动; --扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动, 或称不稳定性.3总100页不稳定性起因§对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化.§如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动.§在稳定的扰动—波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量.§在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能.4总100页等离体不稳定性分类(1)§宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间) --磁(单)流体不稳定性 ---理想的磁流体(Ideal MHD)不稳定性 ---电阻(耗散)的磁流体不稳定性 --电磁(双)流体不稳定性n微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速度空间)5总100页等离体不稳定性分类(2)§按扰动的极化极化性质分类 --静电型; --电磁型; --静电-电磁混合型.n按不稳定扰动随时间变化特征随时间变化特征分类 --线性不稳定的扰动(A=A0 +A1, A1<0，扰动不稳定(exp[ωIt]); 当ωI<0，扰动衰减; 当ωI<0，扰动是稳定的波. --部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得出色散关系; --微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系.§能量原理能量原理(仅对IMHD系统适用)§初值初值(初始扰动的时间演化)问题7总100页Tokamak中主要的磁流体不稳定性§IMHD不稳定性 --外kink (扭曲)模 --内kink (扭曲)模 --Exchange (交换)模, 特别是Ballooning(气泡)模§电阻MHD不稳定性 --Tearing(撕裂)模, -- Neo-classical Tearing Mode (NTM)§介于IMHD和耗散MHD之中的模 --RWM (Resistance Wall Mode, 电阻壁)模8总100页MHD不稳定性从两个方面不稳定性从两个方面决定了决定了tokamak等离体的等离体的运行性能和极限运行性能和极限9总100页对对Tokamak运行性能的运行性能的第一类限制第一类限制§MHD不稳定性决定了tokamak可达到的 --最大plasma电流电流, --最大plasma压强压强(β)及其梯度, --并在决定plasma的最大密度密度上起重要作用.n这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma性能的三个关键物理基石: β极限极限、密度极限密度极限和能量能量约束时间约束时间中,有二个和MHD不稳定性有关.n而上述三个物理量综合起来决定了 --可以产生的聚变功率: Pfusion --聚变功率增益: Q=Pfusion/Pauxilary --中子在壁上的负荷10总100页对对Tokamak运行性能的运行性能的第二类限制第二类限制§至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度的Burning plasmas中都会不可避免地出现的.§而破裂决定了tokamak某些结构和元件—尤其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元件--的使用寿命.§而这些破裂是这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结不稳定性的直接或最后结果果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果,必须通过对引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了解.11总100页ITER中重要的中重要的IMHD不稳定模式不稳定模式§锯齿(Sautooth)模 --内kink模,在正磁剪切正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果 设置了βN极限值,并使能量约束变坏.§电阻壁模(RWM—Resistance Wall Mode) --自举电流驱动的外kink模,对具有反反(负负)磁剪切磁剪切的等 离体设置了βN极限值.§局域的内MHD模 --存在于具有内部输运垒内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限 制了稳态运行范围.12总100页本讲座内容本讲座内容柱形等离体中理想磁流体力学柱形等离体中理想磁流体力学(IMHD)(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式扰动的能量原理及不稳定模式§准备知识准备知识 --扰动位移矢量ξ的IMHD线性方程 --F算子算子、其自伴性和相应的哈密顿量H --变分原理、能量原理§一维位形一维位形下的IMHD不稳定模式分析§直柱直柱tokamak位形位形中的IMHD不稳定性分析13总100页参考文献参考文献§Progress in the ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 47(June, 2019)Chapter 3.§ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 39(2019)2137-2664.§胡希伟, ‘等离子体理论基础’, 北京大学出北京大学出版社版社, 2019, 第四章.§J. Wesson, ‘Tokamaks’, Second Edition, Clarendon Press – Oxford, 2019,Chapter 6.14总100页IMHD能量原理准备知识能量原理准备知识15总100页能量原理的原理能量原理的原理16总100页IMHD方程和总能量17总100页线性化磁流体方程组§从磁流体力学方程组出发从磁流体力学方程组出发,取平衡解为取平衡解为:§然后令然后令:18总100页引入位移矢量以直接积分二个方程引入位移矢量以直接积分二个方程19总100页位移矢量位移矢量ξ的运动方程,力算子 F20总100页总能量守恒与算子总能量守恒与算子 F F 自伴自伴21总100页位移矢量位移矢量ξ的初值和简正模解22总100页IMHD本征模的三个特点本征模的三个特点§令 , 由F的自伴性可以证明: (1)ω2 为实数, ω 为正负实数或纯虚数. (2) 满足运动方程 -ω2ρ0ξ=F(ξ)的ξ是实矢量, (3)若有分立谱本征值{ωn }(n=1,2,…),则所对应的本征矢{ξn }构成正交集. -ωn2ρ0ξn=F(ξn)23总100页F 算子自伴性的证明算子自伴性的证明§在‘等离子体理论基础等离子体理论基础 ’的第四章中, 对两种情况证明了F算子的自伴性。

同时也给出了同时也给出了扰动位势扰动位势δW（（ξ，，ξ）的具体表达式）的具体表达式： --无界磁流体, --柱形，有界（r=a）磁流体.24总100页无限大无限大磁流体力学体系的扰动位能25总100页26总100页力算子力算子 F 自伴性的证明自伴性的证明27总100页自伴性的最后证明自伴性的最后证明§因为 ,而又能证明 ,28总100页自伴性的最后证明自伴性的最后证明(续续)29总100页柱形磁流体力学体系柱形磁流体力学体系其中是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能30总100页磁流体内扰动位能的磁流体内扰动位能的第第IIII 种种表达式表达式这是物理意义最清楚的一种表达式其中第第1项项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波); 第第2项项出自同时压缩了流体和磁场的扰动 (如压缩Alfven波); 第第3项项则代表单独压缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项. 第第4项项是平行电流所驱动平行电流所驱动的不稳定扰动(Kink mode);第第5项项是由压强梯度和磁场曲率联合产生由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于 <0,当 <0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定扰动(Interchange mode). 在整个扰动势能中只有这后两项是解(致)稳项. 31总100页磁流体内扰动位能的磁流体内扰动位能的第第IV IV 种种表达式表达式§这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方便.32总100页变分原理变分原理33总100页能量原理能量原理34总100页如何挑选合适的如何挑选合适的ξ来极小化来极小化δWF35总100页首先选取合适的ξ|| 来极小化来极小化δWF36总100页37总100页δW∥∥取极小与不可压缩性取极小与不可压缩性38总100页39总100页IMHD不稳定性分类不稳定性分类40总100页41总100页External Kink Mode42总100页Internal Kink Mode43总100页Interchange Mode44总100页Ballooning Mode45总100页46总100页一维位形下的IMHD不稳定性§θ-Pinch§Z-Pinch§Screw Pinch及其定域内模的Suydam判据47总100页 θ-Pinch48总100页49总100页50总100页51总100页Z-Pinch52总100页53总100页54总100页55总100页56总100页57总100页58总100页Screw Pinch59总100页60总100页极小化极小化δWF (1): (1):检验不可压缩性检验不可压缩性61总100页极小化极小化δWF (2): (2):对对ηη取极值取极值62总100页63总100页引入环向波数 n = -kR064总100页原始表面原始表面δWs65总100页真空真空δWv66总100页67总100页Screw Pinch δWF的最后表达式的最后表达式68总100页从从δWF 表达式可得的一般性结论表达式可得的一般性结论69总100页定域内模的定域内模的Suydam判据判据70总100页直柱直柱tokamak的IMHD不稳定模不稳定模71总100页直柱马克的直柱马克的δW 表达式表达式72总100页73总100页直柱马克典型的直柱马克典型的IMHD模式模式§定域定域(在有理面附近)的内交换模内交换模—Mercier判据§非定域的内非定域的内(kink, interchange)模模 -- m=0 和 m≥2的内模总是稳定的 -- m=1, n=1的内模在q(0)<1时,是不稳定的.§m=1的外的外kink模模 — Kruskal-Shafranov极限§m≥2的外的外kink模模 -– 扭曲模的稳定图74总100页定域内模只出现在定域内模只出现在 rq’/q≈0 处处 75总100页Mercier判据判据,q(0)>1稳定充分条件稳定充分条件76总100页非定域内模非定域内模，，m ≥ 2 情况情况77总100页m = 0 非定域内模总是稳定的非定域内模总是稳定的78总100页m = 1, n = 1/q(rs)共振面共振面不在不在等离体等离体中中79总100页m = 1, n = 1/q(rs)共振面共振面在在等离体中等离体中80总100页81总100页反剪切反剪切 q(r) 位形下的位形下的m = 1内模内模82总100页ITER Design Scenario 4中的反剪切位形中的反剪切位形83总100页外扭曲模的物理机制和扰动位能外扭曲模的物理机制和扰动位能84总100页外扭曲模的扰动位能外扭曲模的扰动位能, m=1 模模85总100页m = 1 外扭曲模的稳定条件外扭曲模的稳定条件86总100页m ≥ 2 的外扭曲模的外扭曲模87总100页m ≥ 2模的稳定条件与电流分布有关模的稳定条件与电流分布有关88总100页均匀电流剖面下的稳定判据均匀电流剖面下的稳定判据89总100页90总100页91总100页92总100页93总100页环形环形tokamak中的中的新新IMHD不稳定模不稳定模§Ballooning Mode(气泡模) 由压强梯度驱动的,位于tokamak外侧(坏曲率区)的非常局域的不稳定模式→对β的限制的限制§Vertical instabilities (轴对称模) 垂直不稳定→垂直位移事件(Vertical Displacement Events -- VDEs) →破裂破裂94总100页气泡模的机制气泡模的机制95总100页96总100页97总100页气泡模给出的气泡模给出的β limit§或用tokamak运行参量写成:§但实际上决定β极限的不稳定模式还很多.目前公认的极限是 其中其中g被称为被称为Troyon因子因子, 当当g=2.8时时,相应的相应的% β值被称为值被称为Troyon极限极限.(详见详见:Wesson,‘Tokamaks’, §6.16)98总100页描述Sawtooth的扰动势能§δW = δWMHD +δWKO + δWfast δWKO: Kruskal-Oberman项, 代表无碰撞热约束离子效应.§δWMHD§F. Porcelli et al. 2019 Plasma Phys. Control. Fusion 38, 2163.99总100页100总100页101总100页。