微分方程实验指导.doc

实验四 种群数量的状态转移——微分方程一、实验目的及意义[1] 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；[2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；[3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；[4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的二、实验内容1． 微分方程及方程组的解析求解法；2． 微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；3． 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4． 利用图形对解的特征作定性分析；5． 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据微分方程求解步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）基础实验1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0

在其前后两边的中央都开有一个洞，可供老鼠自由进出并在右边放置鼠粮，左边未放鼠粮老鼠在笼子里面只能够沿着笼子边沿（正方形的四条边）沿左边或从右边向前通过沿左边则吃不到鼠粮，只有沿右边才能够吃到鼠粮在每个鼠笼子里，老鼠随机地选择左右之一向前行进1)奖励型：如果老鼠沿右边吃到鼠粮后，则下次将毫不犹豫地沿右边，如果沿左边未吃到鼠粮，则下次将以1-a 的概率向左2)奖惩兼顾型：如果向右吃到鼠粮后，则下次向右的概率为1-b；如果向左未吃到鼠粮，则下次向左的概率为1-a就这两种情况，分别建立并求解老鼠在第n次进入鼠笼子时向右能够吃到鼠粮的概率并考察其无穷趋势7. 两种生物种群竞争模型两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从 Logistic 规律，即有其中x1(t), x2(t)分别为两种生物种群在时刻t的数量，λ1，λ2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为甲对乙的阻滞作用设为 由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。

生物种群的相互竞争模型为 1）m2(m1)为种群乙(甲)占据甲(乙)的位置的数量，并且 m2=αx2; m1=βx1计算x1(t), x2(t), 画出图形及相轨迹图解释其解变化过程2）改变λ1，λ2, N1, N2, 而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果由此能得到什么结论综合实验8．最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益    考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：    假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).    渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的８个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比比例系数不妨称捕捞强度系数通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1渔业上称这种方式为固定努力量捕捞    １）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）    ２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高海水中提取淡水——综合实验目的和要求：通过海水中提取淡水问题，1. 了解可以用微分方程的基础知识来解决这种类型的重要问题；2. 了解霍特霍夫获得诺贝尔化学奖的伟大贡献；3. 体验利用高等数学的思想、方法，图形来分析和解决实际问题的过程；4. 接受写作研究报告的初步训练；5. 激发学生学习数学以及进行探究性学习的兴趣知识点：微积分 微分方程 方向场 必备技能：1. 建立带有初始条件的常微分方程模型；2. 画微分方程的方向场图像；3. 通过分离变量解常微分方程。

主要内容1． 应用场景2． 脱盐微分方程模型的建立3． 任务1：数量分析和图形分析4． 任务2：微分方程的显式解及其分析5． 任务3：你推荐的设计是什么？1． 应用场景清水公司计划设计一个全新可携带的净化水装置，用于从海水中分离盐分他们已经设计了一台装置，如图1所示；但是在花费资金建立该装置样机之前，他们希望你能够对他们的设计进行理论分析你的任务是分析该机器的设计参数值的变化如何影响其性能，该机器必须是可以携带的该如何选择半透膜系数φ、半透膜面积A、分离盐分装置的体积V、压力ΔP的取值，使得该装置既高效又经济呢？清水公司指望你设计出一个好产品，所以不要让他们失望哦！图1 清水公司的海水淡化设备2. 脱盐微分方程模型的建立当两个区域的水（或其他溶剂）被半透膜隔开时，水分子会从低溶质浓度的一方流向高溶质浓度的一方，这种现象被称为渗透（见图2）当向高溶质浓度的一方施加压力时，溶剂通过半透膜的流动现象可能会停止甚至反向，这个过程叫做逆渗透（见图3）用霍特霍夫方程对渗透现象建立模型雅各布斯·亨里克斯·霍特霍夫认为渗透压Π可由以下公式给出:其中，c 为溶液浓度，R 为通用气体常数，T 为绝对温度。

上述公式中c = n /V ，其中n 为溶质的物质的量，V为溶液的体积虽然霍特霍夫公式好像是对理想气体定律（PV = nRT ）的重新表述，但是它的特殊之处在于该公式应用对象是液体而非气体该公式是一个巨大的发展；1901 年霍特霍夫获得诺贝尔化学奖，评审委员会的评价是：“通过发现化学动态学定律和溶液渗透压，他做出了伟大的贡献图2 渗透 图3 逆渗透考虑图2 的情形：外部压力ΔP 施加到半透膜高浓度溶质的一方通过半透膜的溶剂量和渗透压与压力的差成正比也就是说，如果用x 代表从溶液中提取的水的体积，那么有以下公式：其中φ代表水渗透性常数，A 代表同水流方向垂直的半透膜面积值得注意的是Π在这里不是常数假设溶液体积的初始值为V，在t 时刻有x体积的水被从溶液中提取出来，那么有：将上式代入公式(1)中，可以得到提取盐分的微分方程：3. 任务1：数量分析和图形分析1）为脱盐微分方程画一个向量场图像，其中t(单位为天）的取值范围是0到5，x（单位为升）的取值范围是0 到4物理常数可取为c=0.103moles/L，T = 293 K， R=0.082L·bar/mole·K，设计参数暂时取为φ=0.1m3/m2·day·bar， A=1.5 m2, ΔP=15bars, V=4L。

同时，画出x 通过点（0，0）的曲线根据你的向量场图像，该设备从4L 海水中能提取多少淡水？该设备提取2L 淡水大约需要多少时间？随着时间的进展，该设备提取淡水的速率将会如何变化？你理解这种变化吗？你能想出一种导致这种变化的原因吗？2）假设我们改变了设备的体积例如，假设海水初始体积为6L 而不是4L我们能提取多少淡水呢？提取2L 淡水需要多少时间？如果初始体积改为8L会怎么样呢？对于不同的海水初始体积，提取2L 淡水所需时间变化大吗？海水初始体积和能够提取出的淡水体积之间有什么关系？3）固定V 的值为6L，然后研究其他参数值的变化对设备性能有怎样的影响对于确定的海水体积，当增加或减少A 时，对提取的淡水量有怎样的影响？对提取2L 淡水所需时间有怎样的影响？对于参数φ和ΔP 回答同样的问题这三个变量哪个变量改变时，对提取的淡水量影响最大？对提取2L 淡水所需时间影响最大？4）当dx/dt=0 时，脱盐微分方程的平衡解是什么？讨论设计参数如何影响平衡解，并把你的结论同前面部分的解进行比较4. 任务2：微分方程的显式解及其分析5）用分离变量法求脱盐微分方程在初值条件x=0 当t= 0下的解提示：把t当做关于x的函数。

6）根据微分方程的解确定参数φ, A, 和ΔP 对清水公司脱盐装置的工作性能的影响你的结果同前面用向量场画出的结果一致吗？5. 任务3：你推荐的设计是什么?7）准备一份写给清水公司工程师的报告其中重要的一点是这种机器能以多快的速度产生2升的淡水，在报告中，你要分析设计参数φ, A, ΔP和海水体积V是如何影响时间的据清水公司的市场营销人员的报告，他们的产品要想在市场上有竞争力，每天必须产生两升以上的淡水要想便于携带，还要求一次性所装海水体积不能超过八升而且压力容器的器壁很薄，外力产生的压强不能超过30 巴此装置的过滤器非常昂贵，因此，过滤器的面积将不超过1.2 平方米还有，可用的最好的过滤器的渗透系数φ=。