第四章-晶体衍射中的数学处理ppt课件.ppt

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第四章第四章 晶体衍射中的数学处理晶体衍射中的数学处理4.1 取向关系的转换矩阵取向关系的转换矩阵4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 4.2 取向关系的理论预测取向关系的理论预测4.2.1 原理和判据原理和判据4.2.2 HCP/BCC 体系体系4.2.3 HCP/FCC体系体系4.3晶体对称性引起的系统消光晶体对称性引起的系统消光4.3.1对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵4.3.2宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵4.3.4 点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系4.3.5 空间群中的平移对称元素空间群中的平移对称元素4.3.6 等效点系等效点系4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群4.3.8 电子衍射花样的对称性电子衍射花样的对称性4.3.9 系统消光系统消光4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例第四章第四章 晶体衍射中的数学处理晶体衍射中的数学处理经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第四章第四章 晶体衍射中的数学处理晶体衍射中的数学处理本章要点1.电子衍射花样的研究中，最经常涉及取向关系的转换矩 阵，它包括两相取向关系、同一晶体的晶面和晶向在不同 坐标中的表述、晶体间的重位点阵关系以及孪晶取向关系；2.两相取向关系的理论预测有多种方法，本书介绍最近发展 起来的边-边匹配方法，该方法物理概念简单，处理方便；3.晶体的宏观对称性和微观对称性将会引起系统消光，这对于 电子衍射花样的分析是极其重要的，因此掌握系统消光规律 对于研究晶体结构是必需的。

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1 取向关系的转换矩阵取向关系的转换矩阵 • 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测 一、两相正空间和倒空间基矢关系的转换 设基体的正空间坐标基矢为 ，记作 ，相应的倒空间基矢为 ，记作 第二相的正空间坐标基矢为 ，记作 ，相应的倒空间基矢为 ，记作 基体和第二相正空间坐标矢量以矩阵S相关联，即 (4.1)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测基体和第二相在倒空间坐标矢量以矩阵B相关联，即 (4.2)可以证明：S和BT互为逆矩阵，即 S-1=BT, [BT]-1=S B-1=ST, [ST]-1=B (4.3)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证明如下：设基体（M）和第二相（S）取向关系表达式为 (4.4) 式中i=1,2,3。

下面将找出可描述上述取向关系的转换矩阵两相的hkl晶面法线方向分别为两相的倒易矢量 和 的方向，分别各向除以它们的模，则成为单位长度矢量，故两者矢量平行就变为不仅平行而且相等，则得 (4.5) 将 移项后，再对（4.5）式改写成矩阵表达：4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 (4.6) 上式可简写为 (4.7) 所以 (4.8) 和（4.2）式比较，得到转换规律：B = [h’]-1[D][h] (4.9) 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 二、两相平行晶面和平行晶向指数的转换矩阵 1.两相平行晶面的转换矩阵 设两相正空间基矢[ ]和 [ ]存在以下关系： (4.10) 用矩阵表示： (4.11)4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用简写为 (4.12) 而由（4.2）式可知： (4.13)上式两边转置，将（4.11）式左乘上式，即 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 根据倒易基矢的性质： 当 ， ；当 ， 即 所以 SBT=I，即B=[S-1]T，S=[BT]-1 (4.14) 这证明（4.3）式中S和B之间的关系。

4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用设两相对应指数的倒易矢量相等，则有gh’k’l’= ghkl ，上式中倒空间基矢为a1, a2, a3，基体的晶面指数为hkl，第二相晶面指数为h’k’l’，故 将上式分别乘（4.10）式中的三式，得 (4.15) 上式简写为：[h’]=S [h] (4.16) 式中的S矩阵就是两相晶面平行的转换矩阵。

4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.两相中平行晶向指数的转换矩阵 设两相的某晶向矢量相等，即：γ u’v’w’和γ uvw，式中u’v’w’和uvw分别为第二相和基体的晶向指数，它们的基矢为 a1’ a2’ a3’和a1 a2 a3，故 将（4.12）式转置并代入上式得 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由此可得： ， (4.17) 或 ， (4.18) 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用归纳上述的结果： (4.19) (4.20) (4.21)由此表明（4.20）式中晶面指数的变换与（4.19）式中基矢的变换完全相同，而（4.21）式中晶向指数的变换矩阵则为基矢转换矩阵的转置逆阵。

4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用又根据 ，而B为倒易基矢的转换矩阵，得 (4.22) (4.23) (4.24)由上可知：（4.24）式中倒易平面指数的变换与（4.22）式中倒易基矢的变换完全相同，而（4.23）式中倒易矢量指数的转换矩阵为倒易基矢转换矩阵的转置逆阵4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 三、正、倒点阵的指数转换 在立方晶体中（hkl）晶面的法线方向的指数就是与晶面同指数的晶向[hkl], 但在非立方晶体中就不满足上述关系。

为了求非立方晶体中晶面所对应的法向的晶向指数，就需要知道正、倒点阵的指数转换设正空间晶向为[uvw]，与它平行并相等的倒易矢量指数是[hkl]，即为(hkl)晶面法向，可得 (4.25) 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对（4.25）式两边左乘[a b c]T ，则根据图4.1中基矢间夹角的定义，式中图4.1 坐标中基矢间夹角的定义4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对（4.25）式两边左乘 ，则式中：4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 常用晶系的坐标变换矩阵 G G -1正交 (4.26)四方 (4.27)4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 常用晶系的坐标变换矩阵 G G-1立方 (4.28)六方 (4.29)4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 四、取向关系转换矩阵的应用举例 Inconel 718 合金基体γ相是面心立方结构。

从基体中析出的γ’相是有序面心立方结构， γ’’相是体心四方结构， 而δ相是正交结构 它们的点阵常数和结构如表4.1所示相结构点阵常数/nmabcγ(基体)A10. 361 6γ’L120. 360 5γ’’DO220. 36240. 740 6δDOa0. 51540. 42310. 453 4表4.1 点阵常数与结构4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3种析出相与基体的晶体学取向关系如下: γ’-γ {100}γ’∥ {100}γ； <100>γ’∥<100>γγ’’-γ {100}γ’’∥ {100}γ； [001]γ’’∥<100>γ (4.30) δ -γ (010) δ ∥ {111}γ； [100 ]δ∥ <110>γ 由于δ 、 γ’’相与γ’相不同, 它们不具有基体高对称性的面心立方结构, 导致在上述取向关系下的多种变体出现. γ’’相有3 种变体,其定义为: γ’’相的c 轴平行基体相的a 轴称为A变体; 平行b 轴为B变体；平行c轴为C变体。

δ相由于对称性低于γ’’相, 因而有12种变体, 详见书中列出4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一幅具有析出相与基体取向关系的复合电子衍射花样, 可以通过两相一对平行晶面及面上一对平行晶向来预先画出. 一对平行晶向即为两相各自衍射花样的晶带轴方向, 一对平行晶面即对应于该晶带花样中一对平行的衍射斑点如果设(H1K1L1)∥ (h1k1l1), (H2K2L2)∥(h2k2l2), (H3K3L3)∥ (h3k3l3), (HiKiLi)和(hikili) ( i= 1,2, 3)分别表示γ″和γ的三组晶面,则γ″相中[UVW ]方向和γ相中[uvw ]方向具有平行关系的矩阵R (d )可通过两者取向关系式导出:4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用[U V W ]T = R (d ) [u v w ]T 式中： (4.33)如果设R (p)为(HKL)和(hkl)晶面平行的转换矩阵,则有4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用为了简化计算，设两相的点阵常数有以下关系： a (γ″) = a (γ) = 0.3616nm，c (γ″) = 2a (γ), 由(4.31)、(4.33)和(4.34)式可得γ″析出相3种变体的 R(d)和 R(p)具体表达式；同理, 对于δ相12 种变体的转换矩阵, 输入δ相的点阵常数和3 组与基体平行的晶面, 由上述参数, 可获得δ相12 种变体的转换矩阵。

4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.2 在几个基体晶带中三种γ″变体和γ的取向关系:[UVW] γ″// [uvw] γ , (HKL) γ″// (hkl) γ晶带轴变体A变体B变体C4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.2 七种基体低指数晶带并含有γ″相的电子衍射花样示意图4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.3 七种基体低指数晶带并含有γ″相的电子衍射花样经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.4 Quist等人的所示图4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用δ相和基体γ相的取向关系有12种变体，它们具有同样的花样配置，如图4.5所示。

Sundararaman等用迹线方法确定了δ相析出的惯习面为基体的{111}面，而四个{111}面上存在三个可能的不同变体并没有实验证明我们预测了每个{111}面上三种变体的合成花样，它们是相同的，如图4.6所示的基体<111>晶带衍射花样示意图该花样实际上是三个δ单变体绕基体某一个<111>方向互相旋转60°构成的图4.7是InconelInconel 718合金从γ相中析出的三个变体δ相的复合衍射花样，由此可见，预测花样和实际衍射花样完全相符4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.5 基体<111>晶带衍射花样示意图4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.6 γ相和δ析出相具有取向关系花样示意图 图4.7 γ相和三种δ变体的复合花样 4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测基体任意位向下两相取向花样的预测经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵• 一、HS和HCP的晶向指数和晶面指数的矩阵变换 图4.8 HS和HCP的几何关系小黑点为氮原子，大黑点为铁原子经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用HS的a的轴顺时针旋转30°取为HCP的a0轴，令[u]和[u0]分别为HS的晶向指数和HCP的晶向指数的列矩阵，A是两者的变换矩阵，A-1是A的逆矩阵，根据图4.8所示的几何关系可导出： [u]=A1[u0]或[u0]=A1-1[u]由上图中的几何关系可得 a1’=a1+(a1+a2)=2a1+a2 a2’=a2+(-a1)=-a1+a2 (4.37) c1’=c14.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用写成矩阵形式： （4.38）根据晶面指数的变换与基矢的变换完全相同，晶向指数的变换矩阵为基矢转换矩阵的转置逆阵。

4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用故两者的晶面转换矩阵为 (4.39)两者的晶向转换矩阵： (4.40)4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 二、面心立方点阵和其简单点阵之间晶向指数和晶面指数的矩阵变换 图4.9 面心立方晶胞中取出简单晶胞4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　设面心立方点阵的三个基矢分别为a, b, c，由面心立方点阵中取出的简单点阵的三个基矢分别为A, B, C，则有 A=a/2+b/2 a=A+B-C B=a/2+c/2 b=A-B+C C=b/2+c/2 c=-A+B+C4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用所以面心立方点阵与取出的简单点阵的晶面转换矩阵为 (4.41)晶向转换矩阵为 (4.42)4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 三、六方点阵与菱形点阵间晶面和晶向的转换矩阵 图4.10 六方点阵单胞与菱形点阵单胞的关系4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵俯视图立体图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用设六方点阵单胞基矢为ah、bh、ch，菱形点阵单胞基矢为ar、br、cr ，由图4.11可得 即4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用所以晶面转换矩阵为 （4.43）晶向转换矩阵为4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵数的转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵 　　晶界两侧的晶粒, 当一个晶粒的某(h k l) 晶面以另一晶粒同指数晶面的法线方向为轴(l) 旋转某个特殊角度(θ), 两者不仅公共的原点重合，其他的某些阵点也重合而构成的超点阵就是重位点阵。

例如, 选择简单立方的两个晶体, 以 作为旋转轴, 然后画出与之垂直的两个 晶面点阵图，如图4.11所示 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵图4.11 简单立方双晶(110) 晶面旋转70. 53°的重位点阵单胞经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵图4.12 绕公共轴<111>旋转38°的两个面心立方晶体间晶界的Frank 模型经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵　　Warrington等人给出重位点阵数学和物理意义的描述, 具体如下: 令R 是两立方晶体之间对应的CSL 旋转矩阵, 该矩阵的三个列矢量表示B晶体基矢在A晶体基矢中的坐标。

每一个列矢量必须具有h/n , k/n , l/n 的形式, h, k , l 和n 均是整数, 并有h2+ k2+ l2= n2，或 ，即每个列矢量指数的模是归一化指数, 则旋转矩阵的形式表示如下: (4.44)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵　 上式中, h3k3 l3= h1k1l1×h2k2 l2. 当h, k , l 和n 没有公因子时, 则n≡Σ以图4.11为例来说明，在图中寻找两个合适的重合阵点矢量, 分别标出晶体A和B对应的矢量,最后得到旋转矩阵R的三个列矢量，即 从上式中可得Σ= 3值得指出的是，Σ必须是奇数，如果是偶数，必须连续除2 直至为奇数，这样才能获得最小单胞。

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵　　附录8中的CLS特征参数之间的关系可通过下面方程计算得到令旋转轴为u=[u1 u2 u3]并规一化，即 u1u1＋u2u2＋u3u3＝1，旋转角为θ，则旋转矩阵为 (4.45)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵其中， ， ，旋转角为 (4.46) 即 (4.47) 旋转轴为 (4.48)即 (4.49)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵根据（4.45）式就可通过计算机计算出CSL的特征参数，具体方法如下。

设置初始旋转角θ＝15°（因为大于15°为大角度晶界），逐次增加0.01°,直到180°，再设置旋转轴u=[u1 u2 u3]，从低指数[100]开始直到所需的高指数知道θ和u就可得到（4.45）式中的旋转矩阵4.45）式中的Jij（i,j=1,2,3）是小数，将它们试探乘以可能的Σ值：3,5,7,…,（2n+1）奇数，一旦 Jij（2n+1）=整数，则此时的（2n+1）＝Σ这样就得附录8中的θ，Σ，u1, u2, u3 , （即附录中的HKL）和 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.3 晶体间的重位点阵晶体间的重位点阵 例如当θ ＝26.53°, u=[110]= = [u1 u2 u3] (归一化), 代入（4.45）式，得到这样就得到附录8中的特征参数：θ＝26.53°，HKL=[110]，Σ＝19， 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 •　 一、任意晶系180°旋转孪晶的转换矩阵　　以孪晶要素中的孪晶轴和孪晶面来说明孪晶倒易点阵的几何特征，如图4.13所示。

图中符号表示：　　 (HKL)－孪晶面，[uvw]－孪晶轴指数　　　　 gHKL－孪晶面法线方向　　　　 gm－基体坐标中的倒易矢量，其指数为[hmkmlm]　　　　 gt－孪晶坐标中与基体同指数[htktlt]的孪晶倒易矢量例如， gm＝[110]，则gt＝[110]　　为了显示180°旋转孪晶的特征，当基体坐标系中某一倒易矢量（ ）与孪晶坐标系某一倒易矢量（ ）以孪晶轴呈180°旋转对称，特定义两者在各自的坐标系中具有相同的指数下面推导的目标就是要获得与基体同指数的孪晶倒易矢量在基体坐标系中表示的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.13 基体与180°孪晶倒易矢量的关系由图4.13可知，基体倒易矢量gm绕孪晶轴旋转180°与孪晶倒易矢量gt重合，同时，gm gt ruvw三个矢量共面， ruvw与 gm 和ruvw与 gt之间的夹角相等则将gm和gt两矢量合成，其合成矢量一定在gHKL方向，但数值不一定等于gHKL，，故引入比例系数S故有gm+ gt＝＝S·gHKL (4.50)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用展开上式并化简得：由图4.12可知：展开后求得S值 ，并对（4.50）式移项得 (4.52) 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将上式逐步写成矩阵形式： (4.53)进一步推导可得 (4.54)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用上式大括弧中的项为孪晶中晶面指数转换矩阵，用T表示，称为任意晶系孪晶的变换矩阵： (4.55)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 二、立方晶系中孪晶衍射花样的特征 1.孪晶斑点在基体中的两种位置 对于FCC，孪晶面(HKL)指数为{111}，孪晶轴方向[uvw]为<111>，因此(4.52)式中的Hu+Kv+Lw=3，故(4.52)式简化为 (4.56)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 对于BCC，孪晶面指数{112}，孪晶轴方向<112>，故Hu+Kv+Lw=6，则(4.52)式变为 (4.57)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 若hmu+kmv+lmw=3n，n为包括零的任意整数，则(4.56)式和(4.57)式可分别写成下列形式： FCC: (4.58) BCC： (4.59) 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 　此时无论FCC或BCC，孪晶斑点均和基体斑点重合，因为每个[htktlt]都在(hmkmlm)整数倍的位置上。

实际上满足hmu+kmv+lmw=3n这个反射条件还是很多的，例如FCC，(111)孪晶面，则下列晶面反射满足上述条件： 而对于BCC的( )孪晶面，则有： ，在特定条件下，整个倒易面上的所有孪晶斑点均和基体斑点相重 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用若hmu+kmv+lmw=3n＋1，n为包括零的任意整数，则FCC: ， (4.60)BCC: ， (4.61)4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用在立方晶系孪晶面{HKL}与其法向的孪晶轴是同指数，因此孪晶斑点位于在孪晶轴[uvw]方向上两个基体斑点的1/3处，因此得出如下重要结论：在立方晶系中，孪晶斑点的位置有两种可能：与基体斑点相重；或者位于两个基体斑点的1/3处。

由于孪晶斑点在两个斑点的1/3处，也可以所在2/3处，因此hmu+kmv+lmw=3n＋1，与若hmu+kmv+lmw=3n＋2是等同的4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 下面举例说明孪晶斑点的位置有两种可能 (1) 体心立方(BCC) 晶带，取[uvw]= [(HKL)= ] ，则故（4.56）式中的n=1，则即与基体同指数的 孪晶斑点与基体（110）斑点相重，见图4.14图4.14 孪晶斑点与基体（110）斑点相重4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 (2)面心立方(FCC) 晶带，如取[uvw]= ,则hmu+kmv+lmw=3，故（4.58）式中的n=1，则即与基体同指数的 孪晶斑点与基体 相重。

4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 如取 ，则hmu+kmv+lmw=0，n=0，则即与基体同指数的（220）孪晶斑点与基体 相重，见图4.15图4.15 和（220）孪晶斑点分别与 基体的 和 斑点重合4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.16 奥氏体（FCC）和马氏体（BCC）的孪晶花样4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 FCCBCC经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.立方晶系中孪晶转换矩阵 对于面心立方，孪晶面{111}有四个，孪晶轴<111>方向也有四个，对于(111)孪晶面和[111]孪晶轴方向，即 4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用同理可列出 : : :4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 对于体心立方，孪晶面{112}有12组： 例如：孪晶面(112)，4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.孪晶衍射花样标定举例 图4.17 实际拍摄的孪晶花样 Fe-30Ni孪晶马氏体衍射花样粗看为具有矩形的单晶花样。

但按小的矩形标定发现，由斑点最小距离计算出的点阵常数远大于合金马氏体的点阵常数仔细看衍射花样，由强斑点构成的矩形符合马氏体的[011]晶带花样，其余的斑点是孪晶斑点和二次衍射斑点具体标定如图4.18所示4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.18 孪晶马氏体电子衍射标定4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 (a)衍射照片示意图 (b)基体斑点的标定 (c)指数标定[011]，[0 ]T (d)验证孪晶斑点经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(1) 分别确定两套花样，可任取一套花样为基体花样，通常取强斑点为基体，弱斑点为孪晶 ;(2) 先标出基体斑点的指数，求出其晶带轴方向，如图4.18(b)所示为[uvw]m=[011];(3) BCC的孪晶面为{112}类型，故 或 为孪晶面，其既属于基体，又属于孪晶为公共斑点，分别标为 ；(4) 根据孪晶轴方向为二次旋转轴，故绕其转180°，即得到与基体同指数的孪晶斑点指数，如图4.18(c)中的200T， ，由此确定孪晶花样晶带轴为[ ]。

5) 在图4.18(c)中000与 之间的斑点，无法用米勒指数标定，经分析，孪晶斑点是由二次衍射所产生4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 (6) 用孪晶矩阵验算 确定与基体同指数的 孪晶斑点在基体中的位置，即(hmkmlm)为( )，并由 变换矩阵可得即 孪晶斑点应处在基体 斑点矢量的1/3处[见图4.18(d)]，与实验相符4.1.4 孪晶关系的转换矩阵孪晶关系的转换矩阵 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2 取向关系的理论预测取向关系的理论预测 面心立方结构（FCC）﹑体心立方结构（BCC）和密排六方结构（HCP）是金属和合金中最常见的三种晶体结构材料相变过程的母相和析出相经常是以上三种结构中的两种在过去的半个世纪中，人们不断研究以上三种结构之间的晶体学关系。

其中，FCC/BCC体系是人们研究最多，最成熟的体系，相比之下，对HCP/BCC，HCP/FCC体系的研究却较少近期，M.X. Zhang（张明星）和Kelly提出了“边-边匹配”晶体学模型（Edge to edge matching model），列举了HCP/BCC体系中所有可能的位向关系，并且最终归纳为被实验所证实的四种位向关系（OR），即： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2 取向关系的理论预测取向关系的理论预测The Burgers OR: The Potter OR:The Pistch-Schrader OR:The Rong-Dunlop (R-D) OR:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.1 原理和判据原理和判据 材料的母相和析出相之间要构成位向关系，两者必须满足一定的匹配条件：析出相中存在一组晶面和母相中的一组晶面平行，同时这两组晶面上存在一对晶向彼此平行而且通常这些晶面和晶向是密排面和密排方向,如图4.19所示。

图4.19 边-边匹配原理图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.1 原理和判据原理和判据　 需要指出的是：原子匹配方向上的原子有两种可能的排列方式：直线型原子排列（straight row）和之字型原子排列（zigzag row）通常情况下，一个相的直线型排列原子将和另一个相中的直线型排列原子匹配；一个相的之字型排列原子将和另一个相中的之字型排列原子匹配，对于之字型原子排列的情况，原子间距指的是“有效原子间距”（effective atomic spacing），如图4.20所示 图4.20 直线型原子排列和之字型原子排列方式示意图Case a: 直线型原子排列方式Case b: 之字型原子排列方式Case aCase b经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.1 原理和判据原理和判据一个晶向上的原子构成之字型排列的条件是所有的原子必须“碰到”直线，即从偏离直线的原子中心到该直线的垂直距离必须小于原子半径，以确保沿匹配方向的直线穿过所有以之字型方式排列的原子，如图4.21所示。

假设原子A﹑B和C构成之字型原子排列，r表示原子半径，那么以下经验条件必须满足：(a) 至少两个原子（原子A和C）接触，另外两 个原子（原子C和B）接触或几乎接触；(b) 连线AC和AB的夹角小于等于30°；(c) 连线CA和CB的夹角β大于等于120 °；(d) 连线CD必须小于等于原子半径r；(e) 形成之字型的原子必须在直线（AB）方向的同一侧经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.1 原理和判据原理和判据图4.21 之字型原子排列的满足条件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系 • 一、HCP/BCC体系位向关系的推测 1.晶向的匹配对HCP结构来说，有三个可能的密排或是接近密排方向： < >H, < >H 和< >H 第一个密排方向是直线原子排列，另外两个是之字型原子排列。

这些可能的匹配方向上的原子间距可以用点阵常数aH和cH来表示如果用fH和fB分别表示HCP和BCC结构中直线排列原子的间距，用f’H和f’B表示两种结构的之字型原子排列的有效原子间距，那么经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系 对 晶向， ；对 晶向， ；对 晶向，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系 对BCC结构而言，也有四个可能的原子密排或接近密排方向，即<111>B、<100>B、<110>B、<113>B前三个是直线型原子排列，最后一个是之字型原子排列<112>B方向看似之字型原子排列，但形成之字型原子在<112>B方向的两侧，故这个方向不满足上述之字型原子排列的条件。

图4.22反映了( ) B晶面上的这两个晶向沿着这四个方向上的原子间距分别是 <111>B <100>B <110>B <113>B 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.22 ( ) B 晶面上<113>B之字型原子排列示意图4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用根据“边-边匹配”晶体学模型，HCP和BCC结构之间将会有五组晶向配对组合，它们是最有可能的匹配方向即：< >H / <111>B, < >H / <100>B, < >H / <110>B, < >H / <113>B 以及 < >H / <113>B。

如果母相结构是BCC，新相结构是HCP，又知道每个晶向对的aH/aB比值，就能计算出沿着这些晶向对方向的原子间距错配度 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　假设BCC是母相结构，HCP是析出相结构原子错配度的计算公式是 (4.62)4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　 以上四组晶向对的错配度δ只随aH/aB比值的不同而变化，其变化规律如图4.23(a)所示；而对于晶向对< >H / <113>B，其错配度同时取决于aH/aB和cH/aH两个变量，即：其变化规律如图4.23(b)所示目前，aH/aB的比值范围从0.7到1.2，cH/aH的比值范围从1.5到1.7。

这包括了绝大多数的真实HCP/BCC体系4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.23 晶向对错配度随比值aH/aB的变化情况4.2.2 HCP/BCC 体系体系 包括< > H 和< > H 晶向并且与c H /a H比值无关在不同cH/aH比值情况下< >H / <113>B晶向对的变化情况经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 　可以看到每组晶向对的最小错配度对应于一个特定的aH/aB值如果取10%作为原子间距错配度的临界值，对于给定的cH/aH aH/aB比值，可能的匹配晶向可以从图4.22中确定表4.3对其进行了罗列选10%作为临界值是基于van de Merwe 的FCC结构和BCC结构之间沿密排方向的能量计算他的计算结果指出，为获得沿这些方向的最小应变能，Kudjmov-Sachs（OR）的临界错配度是9%，Nishiyama-Wassermann OR的临界错配度是7%。

另外，在40多个实验观察所得的不同体系的位向关系中，又对沿平行方向上的原子间距错配度进行计算，结果显示所有的原子间距错配度小于10%因此，取10%作为临界值是合理的4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系表4.3 给定aH/aB和cH/aH比值范围下可能的匹配晶向对 Any 1.51.61.70.7~0.8NoneNone0.8~0.90.9~1.01.0~1.1NoneNoneNone1.1~1.2NoneNoneNoneNone经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.晶面的匹配 推测匹配晶面对的方法和晶向的方法类似，同样先要找出HCP和BCC结构中的原子密排面，然后根据给定的cH/aH aH/aB比值进行校核在HCP结构中，密排面或接近密排面包括 {0002}H,{ }H 和{ }H 在BCC结构中，也有三个密排面或接近密排面，即{110}B, {200}B 和{111}B。

因此，总共有9组可能的晶面对由于(200)B晶面的间距和其他的晶面间距差距较大，故实际只有6组可能的晶面对 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系 每个晶面的面间距(d值)计算如下：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用d值错配度的计算公式如下： (4.63)由于晶面间距(d值)取决于cH，aH 和aB这些晶面对的d值错配度随cH/aH aH/aB比值参数而变化，如图4.24所示 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.24 晶面对d值错配度随aH/aB比值的变化规律4.2.2 HCP/BCC 体系体系 cH/aH=1.5与cH/aH比值无关的晶面对cH/aH=1.6cH/aH=1.7经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 从图4.24中可看出，每组晶面对的最小错配度对应于一个特定的aH/aB比值。

取6%作为临界值，对于特定的cH/aH aH/aB比值，可能的匹配面(互相平行或是和这些面上的匹配晶向存在一个小的旋转角)可以被确定下来它们以0.1为间隔显示在表4.4中，aH/aB变化范围从0.7到1.2，并且取了三个cH/aH比值4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.4 晶面对错配度小于6%，给定aH/aB和cH/aH比值范围下可能的匹配晶面对 Any 1.51.61.70.7~0.80.8~0.90.9~1.0None1.0~1.1None1.1~1.2NoneNoneNoneNone经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.匹配晶面对和晶向对的校核 　根据匹配晶向必须位于匹配晶面内的规则，HCP结构和BCC结构之间的位向关系可以通过“边-边匹配”模型从表4.3和表4.4中预测得到将表4.3中的晶向对和表4.4中的晶面对进行比较，如果表4.3中的一个匹配晶向正好位于表4.4中的一个匹配晶面内，那们它们就能构成一组位向关系，将所有比较得到的结果以aH/aB，cH/aH的取值范围为条件，列于表4.5中。

在表4.5中，错配度小于6%的晶面对的位向关系被写成平行对否则，它们以斜体字的格式被列出 　在表4.5中，一共罗列了11个位向关系，并在表4.6中予以归纳由于目前的研究包括了更广的cH/aH aH/aB比值范围，所以预测所得的位向关系的数量多于实际观察数量在绝大多数真实体系中，aH/aB比值范围在0.9到1.05之间，cH/aH比值范围在1.55到1.65之间在这样的条件下，表4.5列出了6个位向关系，包括了Burgers OR, Potter OR, P-S OR以及一个未知的位向关系，它近似于R-D OR，两者在[ ]H//[1 0 0]B晶向对上有10°的偏转 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.51.61.70.7~0.80.8~0.9表4.5 简单密排六方/体心立方（HCP/BCC）体系中可能的位向关系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.51.61.70.9~1.01.0~1.11.1~1.2NoneNoneNone续表4.5 简单密排六方/体心立方（HCP/BCC）体系中可能的位向关系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.2 HCP/BCC 体系体系 表4.6 根据“边-边匹配”模型预测所得的HCP/BCC体系中的位向关系（ aH/aB=0.9~1.05， cH/aH =1.55~1.65）OR Expression of ORComments(1)Dyson-Andrews OR(2)Burgers OR(3)Close to the Crawley OR(4)Potter OR(5)Near Burgers OR(6)Near Burgers OR(7)P-S OR(8)Close to the R-D OR(9)Close to the P-S OR(10)Close to the R-D OR(11)Near Burgers OR经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、Zr-Nb合金对“边-边匹配”模型的验证 1.Zr-Nb合金的晶体学数据 研究表明，经过在1000ºC的溶解处理，从HCP结构的Zr固溶体母相中将形成不同类型的BCC结构沉淀物。

在500ºC进行热处理后，只有富含Nb的BCC结构的β2 相沉淀析出在550ºC进行热处理后，BCC结构的富Nb的β1相和富Nb的β2相的混合物沉淀析出Zr母相以及析出相β1和β2的晶体学常数如下：Zr（HCP）：aH= 0.322nm, cH= 0.5123nmβ1（BCC）：aB = 0.351nm ； β2(BCC)：aB= 0.331nm 通过数据(aH/ aB = 0.917 β1, aH/ aB = 0.973 β2 以及cH /aH = 1.591 母相)，从表4.5中可以看出有6个可能的位向关系它们是Burgers OR, Potter OR, P-S OR和第5，6，8 OR，如表4.6所示 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 通过数据(aH/ aB = 0.917 β1, aH/ aB = 0.973 β2 以及cH /aH = 1.591 母相)，从表4.5中可以看出有6个可能的位向关系它们是Burgers OR, Potter OR, P-S OR和第5，6，8 OR，如表4.6所示。

沿< >H / <111>B, < >H / <100>B < >H / <113>B 和 < >H / <113>B的原子间距错配度(包括β1相和β2相)列于表4.7中取10%作为位向关系的临界值） 表4.7 Zr-Nb合金中β1和β2相沿晶向对的原子间距错配度4.2.2 HCP/BCC 体系体系 Precipitates5.98.34.04.212.32.710.21.6经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2. 衍射花样图分析 　　　 张文征等提出的Δg平行法则等价于准O线条件，即相变系统需满足以下两个条件： (1) 正空间存在不变应变线x，使得Ax=x, 这时︱T︱=0其中A为相变矩阵，T = I-A-1） (2) 倒空间的不变应变线n, (A-1)T n = n, 必须垂直于晶体的某个低指数矢量b 在上述条件下，以b为晶带轴的某个g和相关的g形成的Δg，必然平行于其他相关点形成的Δg。

这些平行的Δg很可能定义了析出相惯习面的法线这就是Δg平行法则 4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.25 Zr-Nb合金晶带轴< >H / /< >B模拟衍射花样4.2.2 HCP/BCC 体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对 晶向， ；对 晶向， ；对 晶向，4.2.3 HCP/FCC体系体系 一、晶向的匹配 对HCP结构来说，存在三个可能的密排或是接近密排方向：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(a)HCP (0001)面原子排列示意图 (b) FCC[ ]面原子排列示意图图 4.26 两种晶体结构的晶向匹配4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　对FCC结构而言，有6个可能的密排方向和近似密排方向，其中<110>F , <100>F , <112>F , <111>F 为四个直线型原子排列，而<120>F ，<113>F 这两个方向不满足之字型原子排列的条件，其原因是形成之字型的原子不在直线方向上的同侧，如图4.26(b)所示的<113>F 方向上的原子排列。

4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用根据“边-边匹配”晶体学模型，以上的7个位向互相比配（直线型原子列之间互相匹配，之字型原子列之间互相匹配），总共可以得到4组可能的匹配关系根据原子错配度的计算公式： (4.64) 可以分别计算这4组晶向关系的错配度 4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.3 HCP/FCC体系体系 对于 ， 对于 ， 对于 ， 对于 ， 　可以看到，这4个匹配关系的原子间距错配度只取决于aH/aF的比值。

取aH/aF的比值范围从0.7到1.2，表4.8中列出了所有配对晶向的错配度 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.3 HCP/FCC体系体系 表4.8 HCP/FCC体系五种匹配晶向的错配度随变量aH/aF的变化关系（与cH/aH无关）0.70.80.91.01.11.2 1.0013.1427.2841.4255.5669.713020100102042.8534.6826.5218.3510.192.0259.5853.8148.0442.2636.4930.72经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.3 HCP/FCC体系体系 图4.27 方向原子间距错配度随比值aH/aF的变化关系（由于 错配度过大，故上图中没有显示）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.3 HCP/FCC体系体系 表4.9 给定aH/aF比值范围下可能的匹配晶向对aH/aF可能的匹配晶向对0.7~0.80.8~0.90.9~1.0无1.0~1.11.1~1.2经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、晶面的匹配 4.2.3 HCP/FCC体系体系 　 匹配晶面的预测和晶向完全类似，首先找到HCP结构和FCC结构中的原子密排面和近密排面，分别计算每个面的面间距(d值)，然后再计算匹配面的错配度，以6%作为临界值，得出最后可能的匹配晶面对。

在HCP中晶面的三指数（hkl）与四指数（hkil）的关系为i = -(h+k),由此得出这六个晶面的面间距（d值）如下：对 晶面对 晶面对 晶面对 晶面对 晶面对 晶面经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　因此总共可以组成9组匹配面对，如下：　　计算得到这9组匹配面对的错配度列于表4.10中 4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.10 HCP/FCC体系匹配晶面的错配度随变量aH/aF和cH/aH的变化关系 （单位：%）aH/aF0.70.80.91.01.11.214.272.0210.2322.4734.7246.9721.2438.5655.8873.2090.52107.8552035506580cH/aH =1.525.7515.154.546.0716.6727.2852035506580经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用9.073.9216.9129.9042.8955.8825.7515.154.546.0716.6727.28520355065809.073.9216.9129.9042.8955.88cH/aH =1.620.809.491.8213.1424.4535.76122844607692续表4.10经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.0010.8524.7138.5752.4366.2924.5613.793.017.7618.5429.326.6821.9237.1652.4067.6482.887.665.5318.7231.9245.1258.32cH/aH =1.715.853.838.1920.2132.2344.251936537087104续表4.10经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.0617.7832.5047.2261.9476.6623.6112.691.789.1320.0530.968.0423.4738.9154.3469.7785.216.446.9320.2933.6547.0160.37续表4.10经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.28 晶面间距错配度δ随aH/aF比值的变化关系4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.11 给定aH/aF和cH/aH比值范围下可能的匹配晶面对aH/aFcH/aH任意值1.51.61.70.7~0.80.8~0.90.9~1.0无1.0~1.1无无无无1.1~1.2无无无无经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•三、匹配晶向对和对应晶面对的组合 　　　 根据匹配晶向必须位于匹配晶面的规则，对表4.10和表4.11中的 晶向对和晶面对进行校核。

经计算得到所有的位向关系，如表4.12所示表4.12 理论推导HCP/FCC体系中的位向关系4.2.3 HCP/FCC体系体系 aH/aFcH/aH1.51.61.70.7~0.8经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用0.8~0.9无无无0.9~1.01.0~1.1无无无1.1~1.2无无无续表4.12经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•四、“边-边匹配”模型的应用 1. “边-边匹配”模型在Fe-30Mn-6Si中的应用 　　 Fe-Mn-Si形状记忆合金是一个典型的HCP/FCC体系面心立方（FCC）结构的奥氏体母相发生位移型相变得到密排六方（HCP）结构的马氏体Fe-30Mn-6Si形状记忆合金中奥氏体的点阵常数为aF = 0.360 nm, 密排六方（HCP）马氏体的点阵常数为 aH = 0.255 nm, cH = 0.416 nm由aH/aF = 0.708，cH/aH = 1.631和表2.6中的范围进行对比，可以看到存在5组可能的位向关系。

进一步计算在aH/aF = 0.708，cH/aH = 1.631条件下密排晶向对和密排晶面对的错配度，得到的结果列于表4.13中 4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.13 Fe-30Mn-6Si 特定晶向和晶面的错配度（单位：%）4.2.3 HCP/FCC体系体系 晶向0.110.110.110.110.11晶面6.213.30.0046.28.4经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 　　图4.29(a)为预测的HCP和FCC具有[ ] H // [ ] F ， (0002) H //( ) F取向关系的示意图图4.29(a)中，实心圆点代表奥氏体FCC结构的衍射斑点，用带“F”的数字表示每个斑点对应的晶面指数；实心菱形代表析出相－马氏体HCP结构的衍射斑点，用不带“F”的数字表示每个点对应的晶面指数(用三指数表示)。

可以看到，代表母相 ( ) F晶面的斑点和代表析出相(0 0 0 2) H晶面的斑点相互重合，说明该晶面对几乎完全匹配4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 　在Fe-30Mn-6Si合金中母相和析出相只存在一种取向关系的电子衍射花样，如图4.29(b)所示，将该衍射花样和标准花样进行对照，确定衍射花样具有< >  //< > ，{111} // {0001}的取向关系，图中和分别代表奥氏体和马氏体在HCP中，（0001）是禁射的，如图4.29 (a)所示因此，图4.29 (b) 中的（0001）斑点是二次衍射所致4.2.3 HCP/FCC体系体系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.29 HCP和FCC具有取向关系的衍射花样预测图和Fe-30Mn-6Si合金中母相和析出相的衍射花样4.2.3 HCP/FCC体系体系 (a)(b)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3 晶体对称性引起的系统消光晶体对称性引起的系统消光•4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵 在晶体的宏观对称中，只有以下8种基本的对称元素：旋转轴：1，2，3，4，6，反演中心：i（对称中心），镜面:m和旋转-反演: ，可用图4.30分别表示如下：图4.30 点群中基本对称元素的示意图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•一、旋转轴 若以晶体结构中一固定直线作为旋转轴，整个晶体绕轴旋转2π/n角度后能复原，则称此晶体具有n次旋转对称。

n为旋转操作的次数，设θ＝2π/n，称为基转角，则 n＝2π/θ 当晶体绕晶体坐标系（Oxyz）的原点O顺时针旋转θ角n次后能复原时，上述操作也可看做原晶体坐标系统绕原点逆时针旋转θ角，此时得到一个新坐标系（Ox’y’z’），则晶体中某固定点M的新坐标（x’y’z’）参照旧坐标的表达式为4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.31 新旧坐标绕x轴旋转的对应关系4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　当坐标系绕x轴逆时针旋转θ角时(见图4.31)，则变换矩阵为 (4.65) 若晶体点阵中的a轴定为x轴，且当a轴分别为2、4、3、6次轴时，它们的旋转θ角分别为则相应的对称变换矩阵分别为180°，90°，120°和60°，则相应的对称变换矩阵依次为 (4.66)4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、 镜面 　　 晶体内部每一点通过该晶体中的一个平面反映，在平面的另一侧等距离处都能找到相应的等同点，即图形互为镜像而又不能叠合（见图4.32），这种对称操作称为反映。

施行对称操作的元素称为镜面，记为m该对称操作有：m、m2＝1（表示经二次反映后与未经对称操作一样），故阶次是2图4.32 具有镜面对称的图案4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　 当晶体点阵中垂直于a轴的bc面为镜面，则晶体点阵中某一点M的反映对称操作相当于新旧坐标系中的a轴相互旋转了180°而b、c轴保持不变，因此，对称变换矩阵为：Ø 当bc面为镜面时的操作矩阵： (4.67) 4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用Ø当ab面为镜面时的操作矩阵： (4.68) Ø当ac面为镜面时的操作矩阵： (4.69) 4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 三、反演 　　　若通过晶体中心的任一直线上，离中心等距离处均能找到相应等同点，则晶体具有对称中心，称此对称操作为反演，记为“I” 。

反演操作矩阵为 (4.70)4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 四、 反演轴（旋转-反演） 　　 晶体绕某个固定轴 旋转角度后再经反演，晶体复原，称这种对称操作为旋转-反演，或称反演轴，也称非普通旋转轴　　　　在晶体中最容易混淆，它是一个基本对称元素，若a轴为 轴，其对称变换矩阵为 (4.71) 　　 应该指出的是，在反演轴中， 中，在考虑了镜面、旋转和反演对称元素后，只有 是独立的，其余可由这些对称元素的组合而得到。

4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　　综上所述，在晶体的宏观对称中，只有八种基本的对称元素为了用图直观地表示出对称元素及其组合的含义，为此用简明的作图符号来表示是非常方便的表4.14 列出对称元素的国际符号与其对应的作图符号表4.14 对称元素的国际符号与其对应的作图符4.3.1 对称元素及其对应操作的矩阵对称元素及其对应操作的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 • 一、旋转轴与旋转轴的组合 在任何两个旋转轴的交点处可以找到一个或一个以上的新旋转轴，这个新旋转轴是派生出来的，故不是独立的一个m次旋转轴与一个n次旋转轴相交时，则有n个m次旋转轴绕着n次旋转轴，并交于一点同时也有m个n次旋转轴绕着m次轴，并交于一点而且任意两个相邻旋转轴的交角服从欧拉定理，即： 或 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用式中α、β、γ分别为A、B、C三个轴的旋转角， 为A、B轴的夹角。

例如，若一个2次轴和一个3次轴垂直相交，则有3个2次轴同时与3次轴垂直相交，两个相邻2次轴的交角等于3次轴基转角的一半(60°)，详见图4.33 [ 图中大圆表示极射赤面投影面，空心小圆表示在投影面的上方（或下方），实心小圆表示在投影面的下方（或上方）]：设三次轴为A轴(α=120°)，二次轴为B轴(β=180°)，派生出的二次轴为C轴(γ =180°)，则 ，即相邻2次轴的交角为60°，它是三次轴基转角的一半 图4.33 二次轴与相垂直的3次轴的组合4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、镜面与镜面的组合（万花筒定理） 　　　两个对称面的交线必为一个旋转轴，其基转角为两个镜面交角的两倍，例如二个镜面以60°相交，则镜面的交线必为一个旋转角，其基转角为二个镜面交角的2倍，即为120°，故为3次轴，用图4.34表示如下：图4.34 二个镜面的组合4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•三、镜面和旋转轴的组合 　　　一个镜面通过n次旋转轴则有n个对称面同时通过这n次轴，两相邻对称面交角应等于该旋转轴的基转角的一半。

例如一个镜面通过一个2次轴，则有2个镜面通过2次轴，两个镜面的夹角为2次轴基转角180°的一半，即90 °，如下图4.35所示：图4.35 镜面与二次轴的组合4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用• 四、产生对称中心的组合 　　　偶次轴和垂直于它的镜面组合，必产生一个对称中心(反演中心)，例如：一个2次轴与之垂直的镜面组合，则产生一个对称中心，如下图4.36所示：　　　奇次反演轴必存在对称中心，例如3次反演轴必存在一个对称中心，如下图4.37所示：图4.36 2次轴与垂直于它的镜面组合图4.37 奇次反演轴必存在对称中心4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　　偶次反演轴不存在对称中心，例如垂直于纸面2次反演轴（c轴），不存在对称中心，而是等价于垂直2次反演轴的镜面（纸面），如图4.38所示；同样，若2次反演轴为a轴（b轴），等价于垂直于a轴（b轴）的镜面。

图4.38 2次反演轴等价于垂直它的镜面4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•五、偶次反演轴与垂直它的2次轴组合 偶次（n）反演轴与垂直它的2次轴组合，必产生n/2个垂直反演轴的2次轴和n/2个包含n次反演轴的镜面，例如一个4次反演轴和垂直于它的2次轴组合，必产生4/2=2个垂直反演轴的2次轴和2个包含反演轴的镜面，如图4.39所示：图4.39 4次反演轴与2次旋转轴的组合4.3.2 宏观对称元素的组合规律宏观对称元素的组合规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　　点群的国际符号按一定的次序表示其中的各种对称元素，一般的情况下包括三位每位代表与a,b,c三轴形成确定的方向在某个方向上出现的旋转轴和反演轴是指与该方向平行在某个方向上出现镜面是指与该方向垂直当某个方向同时出现旋转轴(或反演轴)和镜面时，可将旋转轴或反演轴写在分子位置，而镜面写在分母位置，如2/m表示与2次轴垂直方向上有一个镜面。

各晶系中与国际符号相应的方向列于表4.15中 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用晶 系国际符号中三位的方向备注立方晶系c a+b+c a+b六方晶系c a 2a+b四方晶系c a a+b三方晶系c a也可按六方晶系正交晶系a b c单 斜 系b三 斜 系a表4.15 各晶系的国际符号中三位对称元素依次代表的方向 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•一、一个旋转轴或一个反演轴与反演中心的组合 例如：3＋i，如图4.40所示图4.40 3＋i的组合例如：2+i ，如图4.41所示 图4.41 2＋i的组合4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例如： ，如图4.42所示 图4.42 的组合 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用　　 综合基于一个旋转轴(含反演轴)与反演中心的组合可共得13个点群，如表4.16所示。

表中括号内产生的点群已存在，故不是新的点群一个普通轴12346一个非普通轴旋转轴＋i2/m4/m6/m表4.16 旋转轴(含反演轴)与反演中心的组合所得13个点群4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、非平行旋转轴的组合 　　 当普通轴与非普通轴组合时，必须遵守一个条件，即三个轴中一点要有两个非普通轴(组合定律1)在组合时，三个轴次上的符号可以相互对调在这些组合得到的点群中，某些点群不含反演中心，将它们再与反演中心组合可产生新的点群由此共产生19个点群，具体列于表4.17中 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、非平行旋转轴的组合 　　 当普通轴与非普通轴组合时，必产生一个非普通轴，因此三个轴中必有两个非普通轴在组合时，三个轴次上的符号可以相互对调在这些组合得到的点群中，某些点群不含反演中心，将它们再与反演中心组合可产生新的点群。

由此共产生19个点群，具体列于表4.17中 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.17 基于非平行旋转轴组合成的19个点群4.3.3点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵非平行普通轴的组合 无对称中心有对称中心加上对称中心222322422622233432经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 　下面以表中第一行的点群为例说明19个点群导出的过程通过非平行（正交）的三个2次轴组合得到222点群，由2次轴与其分别垂直的二个2次反演轴组合得到 点群(写为2mm),由于偶次轴组合没有对称中心，故其再与反演中心组合得到2/m2/m2/m，具体如图4.43 所示如下： 222 2mm 2/m 2/m 2/m图4.43 222，2mm和 2/m2/m2/m三种点群的图示4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•三、32点群的矩阵和极图表示 　　 32个点群均有相应的转化矩阵。

当点群中只包含一个对称元素时，则对称元素的坐标转换矩阵即为点群的转换矩阵；当点群是由两个或两个以上对称元素组合而成时，则把相应的转换矩阵相乘即得该点群的转换矩阵但必须指出，其中不包括由组合定律推演出来的对称元素的转换矩阵，因为它们不是独立的表4.18列出了32个点群的转换矩阵： 4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.18 32个点群的转换矩阵4.3.3 点群的推导和转换矩阵点群的推导和转换矩阵晶系国际符号在正交坐标中的转换矩阵三斜triclinic1单斜monoclinic2m经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用正交orthorhombic222mm2mmm四方tetragonal4422续表4.184mm经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用四方tetragonal三方trigonal in rhombohedral axes3323m续表4.18经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用六方hexagonal66226mm续表4.18经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用立方cubic23432续表4.18经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.4 点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系 表4.19简明地表示出7个晶系，14种布拉菲点阵。

特征对称元素和晶系的最高对称性的点群之间的关系七个晶系在晶体宏观对称元素上显示出明显的对称性差异，三斜、单斜、正交三个晶系属低对称性晶系三斜晶系中晶体无2次旋转轴和镜面，它的特征对称元素是反演中心；单斜晶系的特征对称元素是一个2次旋转轴；正交晶系的特征对称元素是三个2次旋转轴菱形（三方）、四方和六方晶系属于中等对称性晶系，它们的特征对称元素分别只有一个：3，4和6次旋转轴而立方晶系属于高对称性晶系，它的特征对称元素是四个3次旋转轴七个晶系的特征对称元素在表4.19中的最后一栏标出 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.19 七大晶系和 14种布拉菲点阵 4.3.4 点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系 晶系初基(P)底心(C)体心(I)面心(F)含有的对称元素、特征元素和所容纳的最高对称性的点群＊三斜单斜正交三方经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用晶系初基(P)底心(C)体心(I)面心(F)含有的对称元素、特征元素和所容纳的最高对称性的点群＊四方六方立方续表4.19＊方框内的为特征对称元素，括号内的是最高对称性的点群（熊夫利斯符号）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•一、国际符号的用法和意义用数字n表示n次旋转轴；用 表示n次反演轴。

例如4， 分别为4次旋转轴和4次反演轴用n/m和nm分别表示镜面与n次旋转轴垂直和平行例如，3/m和3m分别表示镜面与3次旋转轴垂直和平行用n2表示2次旋转轴垂直于n次旋转轴；n3和m3后面的“3”表示有四个斜交的3次旋转轴在表4.19中，nm表示有n个镜面，如正交晶系中的3m表示有3个镜面，并不表示3次轴和镜面平行4.3.4 点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、熊夫利斯（Schönflies）符号的用法和意义 用Cn表示有一个n次竖立的旋转轴；Cnn和Cnv表示除了有一个n次旋转轴外，还有一个与该轴垂直和平行（包含）的镜面，即相当于水平和垂直的镜面Dn表示存在n次旋转轴以及与其垂直的n个2次旋转轴；Sn表示具有n次转动的反演轴，例如S4表示4次反演轴，S6表示6次反演轴i表示反演中心；d表示有镜面通过的对角线V＝D2，两者是等价的T表示存在四个3次轴和三个2次轴；O表示有三个4次轴、四个3次轴和六个2次轴4.3.4 点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.5 空间群中的平移对称元素空间群中的平移对称元素 　　 描述晶体宏观对称性的点群与晶体结构内部的平移对称性组合起来形成了描述晶体内部结构对称性的空间群。

由于点群中的各个对称元素必须通过或至少相交一点(点群中心)，此点必为固定的点，显然，只有当这些点群中心与同一晶系的布拉菲点阵的阵点重合时，空间点阵中的其它阵点才服从点群中的对称元素操作因此，布拉菲点阵的每个阵点均可看做点群中心这样，置于某一特定空间点阵阵点上的结构基元必须具有该空间点阵所属晶系中的任一点群的对称性，否则，就不能自洽经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•一、螺旋轴 一个n次螺旋轴，表示绕该轴旋转2π/n角度后，再沿轴的方向平移T/n，则点阵复原，其中n为整数，T为沿轴方向的周期矢量点阵也只有1，2，3，4，6次螺旋轴当1次旋转轴与平移(T)组合时，旋转360°后沿旋转轴平移一个周期(T)，由于1次旋转轴和平移(T)都是周期复原的主动作(1)，任何对称元素与主动作组合不会产生新的对称元素当2次轴与平移组合时，即2次轴与平移(T/2)组成，记为21；2次轴与平移（T）组合，仍为2次轴，即22＝2同理，当3次轴与平移组合时，将产生对称元素:31(即沿3次轴平移1/3)，32(平移2/3)；33＝3。

4.3.5 空间群中的平移对称元素空间群中的平移对称元素 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用当4次轴与平移组合时，产生3种新的对称元素：41(即每旋转90°沿4次轴平移1/4，旋转4次和平移4次后点阵复原)，42(平移2/4)， 43(平移3/4)，如图4.45所示当6次轴与平移组合时，产生5种新的对称元素：61，62，63，64，65 图4.45 4次螺旋轴4.3.5 空间群中的平移对称元素空间群中的平移对称元素 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、滑移面 　 由镜面和平移结合而形成的对称元素为滑移面，即晶体中某一点凭借一个镜面反映之后，紧接着平行于镜面再施行平移操作t，晶体复原，如图4.46所示　　在晶体中可以存在的滑移面有a滑移面(t=a/2)，b滑移面(t=b/2)，c滑移面(t=c/2),n滑移面[t=(a+b)/2,(b+c)/2,(c+a)/2]和d滑移面[t=(a+b)/4,(b+c)/4,(c+a)/4]图4.46 的滑移 4.3.5 空间群中的平移对称元素空间群中的平移对称元素 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.20 各种对称操作图示符号 符号垂直于投影面平行于投影面符号垂直于投影面符号垂直于投影面3a,b6cnd42经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.6 等效点系等效点系利用一个空间群所有的对称操作用于一个起始点，可得到无限个完全等同的点系，而无限个等效点在一个晶胞内将是有限的数目。

习惯上称这些点在该空间群的等效点系也就是说可以用等效点系描述空间群 •一、一般等效点系 当起始点不在空间群的任一对称元素上时，通过空间群的全部对称元素操作而重复得到的点系称为一般等效点系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用•二、特殊等效点系 　　 当起始点在空间群的某一对称元素上时，通过空间群中全部对称元素操作而重复得到的点系称为特殊等效点系显然，特殊等效点数比一般等效点数少许多，但要求这些起始点本身必须具有不低于它放置上去的那个对称元素所具有的对称性现以空间群Pmm2( )为例加以说明，见图4.47，一般等效点和特殊等效点对应的等效点的数目和坐标示于表4.21中4.3.6 等效点系等效点系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.47 Pmm2( ) 空间群，当起始点在不同位置时的等效点系的分布4.3.6 等效点系等效点系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用等效点数目Wyckoff符号点对称性坐 标4i12hm2gm2fm2em1dmm1cmm1bmm1amm表4.21 Pmm2( ) 空间群的数据4.3.6 等效点系等效点系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图4.48 不同起始点（i，a）的等效点数目及其坐标4.3.6 等效点系等效点系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群 　　 为了能唯一地确定基胞地选法，一种作法是加入人为的规定，如约化胞，即在二维点阵中，选最短的点阵矢量为初基矢量a，，不与它在一条线上的次最短的点阵矢量为初基矢量b. 约化胞的选法是唯一的，因此用它来表征一个二维点阵平面或倒易点阵平面上阵点分布的特征，这对电子衍射花样的分析是有用的，详细的内容可阅读文献[23]。

　　　 另一种确定基胞或多重胞（单胞中包括一个以上的阵点）的选法是利用点阵的点对称关系，如布拉菲胞，它共有五种二维布拉菲点阵， 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群　 由于点对称和平移对称的互相协调和彼此制约，使旋转对称操作只有1，2，3，4，6 五种平面中的另一种对称关系是镜线（对应于三维的镜面）镜线和镜线反映操作用m表示把五种旋转对称与镜线反映操作结合起来就得出十种点对称群或称平面点群如图4.49所示，它们是： 1，2，3，4，6，m, 2mm, 3m, 4mm, 6mm根据前述的宏观对称元素组合规律可知，当旋转轴是偶次轴时，除了原有的一套镜线外，还产生另外一套新的镜线，如2mm, 4mm,6mm中的第三列m当旋转轴为2，4，6次时，两套镜线mm间的夹角分别为90°，45°，30°经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群图4.49 十种平面点群经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群图4.50 五种平面点阵及与其正交的旋转轴经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群表4.22 五种二维布拉菲点阵图点阵惯用单胞轴与夹角晶系点对称4.51a斜交点阵p平行四边形a≠b,γ≠90°斜交1，24.51d矩形点阵p长方形a≠b,γ=90°矩形1m，2mm4.51e c4.51b正方点阵p正方形a=b,γ=90°正方4，4mm4.51c六角点阵p六角形a=b,γ=120°六角3，3m，6，6mm注：≠表示有可能相等经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群 考虑旋转和镜面对称元素对点阵的约束。

如果不考虑点群对称，即平移对称和平面点阵不受任何约束，基胞的边长和夹角可以是任意值，这是一个斜交的平行四边形 [ 图4.50（a）] 平面点阵本身具有2次旋转对称，因此1或2 次旋转对称能容纳在这种点阵中（表4.22），如图4.50（a）所示但是3，4和6次旋转对称与这种平移对称不相容，为了能容纳4次旋转对称就需要有一个正方点阵，两个初基平移矢量长度相等，交角为90°，由此不但在每个阵点处有4次旋转对称，并且在正方形的中心诱导出一个新的4次轴，在两个阵点之间诱导出新的2次轴 [ 图4.50（b）]显然，为了能容纳3和6次旋转对称就需要一个等边三角形构成的六角点阵，单胞的两个边长相等，交角为120°[ 图4.50（c）]交角为120°本是3次旋转对称特征，由于点阵本身具有2次旋转对称，因此它也显示6次旋转对称 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群　　　与旋转对称一样，镜线反映这种点对称也对点阵的平移对称有一定的约束，镜线m和mm能容纳在正方及六角点阵中，因此点群4mm,3m,6mm也能分别容纳在这些点阵中。

显然m和mm与斜交点阵是不相容的m和mm对平移对称的约束只能产生以下两种新的矩形点阵：在一列阵点中引入镜线m只有两种可能性 [ 如图4.51（a）所示] 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群图4.51 镜线受平移对称约束后的分布及其与点列的组合 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群　　 一是通过阵点 A﹑A′，另一是在两个阵点 A﹑A′的中垂面位置，由此才能同时满足点阵的平移对称和镜线的反映对称把两种情况结合起来所构成平面点阵不外是如图4.51（c）、（d）两种组合，前者是简单矩形点阵p [ 图4.51（c）] , 后者是菱形点阵，但更常用的是非初基的c心矩形点阵 [ 图4.50（e）]c心矩形点阵一方面能明显地显示m或2mm点群对称特征，另一方面其交角为90°，点阵几何关系比较简单，因此选用这个有两个阵点（坐标是0，0和1/2，1/2）的非初基点阵，而不是菱形初基点阵，这在三维布拉菲点阵也通常是这样处理。

在表4.23中概括五种二维布拉菲点阵的特征 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.23 二维点阵、平面点群和平面群晶系和点阵符号点群平面群符号平面群序号完全的简短的斜交p1p1p112p211p22矩形p及cmp1m1pm3p1g1pg4c1m1cm52mmp2mmpmm6p2mgpmg7p2ggpgg8c2mmcmm9正方p4p4p4104mmp4mmp4m14p4gmp4g12六角p3p3p3133mp3m1p3m114p31mp31m156p6p6166mmp6mmp6m17经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群图4.52 P2gg平面群（No.8）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群No.3 pm(p1m1) m 矩形原点在m等效点的坐标21 x，y； ，y1m ½，y1 m 0，y图4.53 pm平面群举例说明平面群推导的过程。

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群No.4 pg(p1g1) m 矩形原点在g等效点的坐标21 x，y； ， ½ ＋y图4.54 pg平面群经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.7 二维点阵、平面点群和平面群二维点阵、平面点群和平面群No.5 cm(c1m1) m 矩形原点在m等效点的坐标4 1 x ，y； ，y；½－x， ½＋y；½＋x， ½＋y2 m 0，y；½， ½＋y 图4.55 cm平面群 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.8 电子衍射花样的对称性电子衍射花样的对称性 　　 单晶电子衍射花样的对称性取决于晶体二维投影的对称性由于对称入射的电子衍射花样本身具有2次旋转轴，故从电子衍射花样种不能区分10种平面点群，只能区分6种平面劳厄群，即平面点群1和2的电子衍射花样的对称性都是2，平面点群m和2mm的电子衍射花样对称性都是2mm,平面点群3和6的电子衍射花样对称性都是6，平面点群3m和6m的电子衍射花样对称性都是6mm,而平面点群4和4mm的电子衍射花样对称性仍是4和4mm。

表4.24列出了电子衍射花样的斑点分布图形及其对应的点群和可能的晶系经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.24 电子衍射图的对称性二维倒易单胞电子衍射图及相应的点群可能所属晶系平行四边形三斜、单斜、正交、六方、四方、立方、三方矩形单斜、正交、六方、四方、立方、三方有心矩形单斜、正交、六方、四方、立方、三方四方形四方、立方正六边形六方、立方、三方经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.9 系统消光系统消光 前面我们已强调了电子衍射的条件包括几何条件和物理条件:几何条件是满足布拉格方程,物理条件就是满足结构因子不等于零. 我们已知道,对一种晶体结构有多种选取晶胞的方法,通常选取晶胞的方法是,要求晶胞具有尽可能高的对称性,因此我们通常选取高对称性的有心点阵取代低对称性的初基胞.例如,我们选取面心立方点阵,而不选取初基菱形点阵.由于选取了有心的面心立方点阵,有些倒易阵点的指数将系统消光. 在面心立方点阵中h,k,l为奇数、偶数相间时,这些指数对应的衍射就不发生. 在有心点阵中,倒易阵点指数不出现的规律已列于表4.25中,这些消光规律可由结构因子的计算得出.这种因选非初基点阵而引起的系统消光一般称为点阵消光.除点阵消光外,若晶体结构中存在微观对称元素,由于这种附加的平移作用,也会产生系统消光.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.9 系统消光系统消光表4.25 非初基点阵的倒易点阵非初基点阵基矢变化矩阵允许的hkl阵点不存在的hkl阵点倒易点阵底心(C)底心(C)面心(F) 或体心(I)体心(I)面心(F)菱面体(R)用六角坐标菱面体(R)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.9 系统消光系统消光图4.56 (100)滑移反映(b/2)及投影图4.57 面对角线滑移反映n在(100)面上的投影 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.9 系统消光系统消光首先讨论a,b,c滑移面引起的消光. 以(100)为滑移反映平面,以b为滑移方向,则滑移矢量为b/2(图4.56).若铅垂投影在(100)面上,就会使b方向的平移矢量减半.显然,这仅适用于h=0的0kl指数,因为只有投影在(100)面上才有这种点阵平移减半的现象. 从结构因子的计算也可证实这一点. 图4.56中两个等效点的坐标分别是x,y,z; -x,y+1/2,z,则结构因子为 F(hkl)=fexp[2πi(hx+ky+lz)]+fexp[2πi(-hx+ky+k/2+lz)]如果指数h不为零,将不会有任何有规律的消光出现. 但当h=0,上式简化为：F(0kl)=f[1+exp(πik)]exp[2πi(ky+lz)]当k=2n，exp(πik)＝1，F≠0，而当k≠2n，exp(πik)＝－1，F=0。

因此在0kl衍射中，k为奇数的衍射均消光同理, 对称面仍然是(100), 但滑移矢量是c/2,消光规律是0kl衍射中l为奇数的衍射均不出现.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.9 系统消光系统消光　　图4.57是对角线滑移反映n在(100)面上的投影图,滑移矢量是b/2+c/2,有如c心点阵一样.从结构因子来看,两个等效点的坐标分别为x,y,z;-x,y+1/2,z+1/2. 同样的方法,我们可得到h=0的0kl的结构因子表达式: 　　　　F(0kl)=f{1+exp[πi(k+l)]}exp[2πi(ky+lz)]当k+l≠2n时，exp[πi(k+l)]＝－1，F=0, 因此只有k+l=2n的0kl衍射出现同样的方法可用于金刚石滑移反映d在(100)面上的分析除(100)面外，还有(010),(001),(110)滑移面,消光规律列于表4.26中 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用衍射不消光的条件（n=整数）消光的解释对称元素符号hklh+k+l=2n体心点阵Ih+k=2nC心点阵Ch+l=2nB心点阵Bk+l=2nA心点阵A h+k=2n h,k,l h+l=2n 全奇或 k+l=2n 全偶面心点阵F-h+k+l=3n菱面体点阵用六角坐标系指数Rh+k+l=3n六角点阵用菱面体坐标系指数C0klk=2n(100)滑移面，滑移分量b/2b(P,B,C)l=2n(100)滑移面，滑移分量c/2c(P,C,I)k+l=2n(100)滑移面，滑移分量b/2+c/2n(P)k+l=4n(100)滑移面，滑移分量b/4±c/4d(F)表4.26 系统消光与对称元素间的关系 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用h0lh=2n(010)滑移面，滑移分量a/2a(P,A,I)l=2n(010)滑移面，滑移分量c/2c(P,A,C)h+l=2n(010)滑移面，滑移分量a/2+c/2n(P)h+l=4n(010)滑移面，滑移分量c/4±a/4d(F)hk0k=2n(001)滑移面，滑移分量a/2a(P,B,I)k=2n(001)滑移面，滑移分量b/2b(P,A,B)h+k=2n(001)滑移面，滑移分量a/2+b/2n(P)h+k=2n(001)滑移面，滑移分量a/4±b/4d(F)hkll=2n(110)滑移面，滑移分量c/2c(P,C,F)h=2n(110)滑移面，滑移分量a/2+b/2b(C)h+l=2n(110)滑移面，滑移分量a/4+b/4+c/4n(C)2h+l=4n(110)滑移面，滑移分量a/4+b/4+c/4d(I)续表4.26经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用h00h=2n(100)螺旋轴，滑移分量a/221,42h=4n(100)螺旋轴，滑移分量a/441,430k0k=2n[010]螺旋轴，滑移分量b/221,42k=4n[010]螺旋轴，滑移分量b/441,4200ll=2n[001]螺旋轴，滑移分量c/221,42,62l=3n[001]螺旋轴，滑移分量c/331,32,62,64l=4n[001]螺旋轴，滑移分量c/441,42l=6n[001]螺旋轴，滑移分量c/661,63hk0k=2n[110]螺旋轴，滑移分量a/2+b/221续表4.26经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例 对于点阵类型相同，点阵常数相近的不同结构，我们借助电子衍射花样的几何信息是难以区分这些不同的结构类型，例如前述的ε-Fe3N、ε-Fe2N和ε-Fe2-3N的鉴别。

因此，必须借助它们的电子衍射强度信息，包括某些特殊的消光规律不同结构类型具有不同的晶体对称性，从而导致它们具有不同的结构消光规律，因此，从不同结构的晶体对称性着手，不仅能鉴别出不同的结构类型，而且能真正理解它们衍射花样不同特征的原因下面以ε-Fe3N、ε-Fe2N和ε-Fe2-3N的鉴别为例，说明晶体对称性在结构分析中的应用 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例•一、等效点系所确定的原子坐标 通过对称元素的分析证实了ε-Fe3N和ε-Fe2N的空间群分别为P6322和P312，与文献报道结果一致值得一提的是，在ε-Fe2N中，由于所有等同于000位置上的氮原子具有6次旋转对称而不具有其他铁、氮原子的63螺旋对称，导致ε-Fe2N的c轴不是63螺旋轴，而降低为3次旋转轴，这将使它与ε-Fe3N在衍射上产生不同的消光规律 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(a)ε-Fe3N（P6322）以氮原子为基的六方超点阵单胞(b) 中的原子在 面的投影 (b) ε-Fe2N(P312)以氮原子为基的六方超点阵单胞 中的原子在 面上的投影(c) ε-Fe3N原子的晶体学对称元素分布空间群P6222(No.182) (d) ε-Fe2N原子的晶体学对称元素分布空间群P312(No.149) 图4.58　ε-Fe2N和ε-Fe3N 投影面上原子配置和对称元素的分布 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例 对ε-Fe2N， ；ε-Fe3N， ，z为国际X射线晶体学表中在ｃｃ轴方向上的高度。

根据铁、氮原子所处的对称位置，可确定出它们的特殊等效点系位置ε-Fe3N中6个铁原子在： 6g2： ； ； ； ； ； 因 所以6个原子的坐标为： ； ； ； ； ；经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例 2个氮原子在： 2d32： ; 因 ，所以它们的坐标为： ； （ ,根据晶体的周期性，即 =0） 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例ε-Fe2N中6个铁原子的一般等效点系位置：6l1： ； ； ； ； ； ，式中z取 。

由图4.58可知： ， ，因 ，故6个铁原子坐标： ； ； ； ； ； 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例 三个氮原子分别在三个不同的特殊等效点系位置：1b32： ；1d32： ；1e32： ， 因 ，故它们的原子坐标分别为： ； ； 比较ε-Fe3N和ε-Fe2N的原子坐标可知，两者的差异仅表现在000坐标上，ε-Fe2N有氮原子，而ε-Fe3N是空着的，其余原子坐标均相同 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例•二、结构因子的计算动力学条件下的电子衍射强度：式中 为(hkl)晶面组的结构因子； 是晶胞中位于 坐标上原子的散射因子，可按附录9，用线性内插法求出 ；n是晶胞中的原子。

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例ε-Fe2-3N是非化学计量化合物，无法确定出氮原子的正确坐标为了计算它的结构因子，特作如下考虑：认为ε-Fe3N、ε-Fe2-3N和ε-Fe2N之间的差异仅表现在000坐标上氮原子出现的概率(r)不同，当r=1为ε-Fe2N；当r=0为ε-Fe3N；若0

根据编写的结构因子计算程序计算出 (HS)晶带中晶面的相对值（表4.28），并用圆点的半径值近似地表示其大小，由此分别画出ε-Fe3N, ε-Fe2-3N和ε-Fe2N的 (HS)晶带电子衍射花样的斑点强度模拟像，并和该晶带的电子衍射花样进行比较 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例图3.16 ε相 晶带电子衍射花样及电子衍射斑点强度模拟像 ()ε相的电子衍射花样 (b)ε-Fe3N模拟花样 (c) ε-Fe2-3N 模拟花样 (d)ε-Fe2N模拟花样 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.27 HS和HCP的晶面指数对应关系 HCPHS001001002002003003004004-100-101-102-103-104-200-201-202-203-204110300111301112302113303114304经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用表4.28 ε-Fe3N、ε-Fe2-3N、ε-Fe2N晶面的 相对值 (hkl)ε-Fe3Nε-Fe2-3Nε-Fe2N0010.155.6712.00002100.00100.00100.000030.192.895.8300464.1868.6873.5010011.165.910.4310116.7618.1220.951026.963.570.161038.308.9810.381043.281.740.132007.153.620.5120111.7112.7214.742025.452.910.252036.757.358.522042.571.310.2230081.9887.8094.123010.072.234.7230253.3153.5653.833030.121.613.2330440.2042.9245.73经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例•三、　超点阵花样特征的分析从B= (HS)晶带电子衍射花样可看出，三种结构类型ε超点阵斑点几何配置差异明显，能反映出各自的衍射特征。

在ε-Fe3N的 点列中不出现l等于奇数的超点阵斑点；而在ε-Fe2N的 点列中不出现超点阵斑点；对ε-Fe2-3N来说，不存在前两者所述超点阵消光条件ε-Fe3N和ε-Fe2N的消光特征可从它们的微观对称元素的作用得到解释 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例ε-Fe3N的 方向是一个63螺旋轴，而ε-Fe2N的该方向是3次旋转轴由于螺旋轴除了旋转分量外还有在轴向的平移分量63螺旋轴在 点阵方向的平移矢量是c/2，若投影在这个轴上，其作用使点阵矢量c减半，或者说，在c/2处插入了一个原子平面，且ε-Fe3N相邻c/2平面上氮原子数相同，这样使 超点阵斑点中l等于奇数的晶面禁射（表4.29中 小于1的值，实际上等于零，由于计算中的四舍五入导致不等于零），而l等于偶数晶面衍射与基本反射相重在 (HS)晶带中，其它类似超点阵斑点（如 点列）的不出现是上述消光条件的周期性反映。

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例在 晶面的法线方向 上，ε-Fe3N和ε-Fe2N都存在一个21螺旋轴，由于它作用在两个不同的空间群上产生了不同的衍射条件ε-Fe2N晶胞中三个氮原子处于三个等效点系，通过21螺旋轴使它们在 方向上以 间距呈周期性地相间排列由此可推测， 中只能出现h=3n的基本反射，不能产生超点阵反射结构因子计算表明： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例当h=1，4……或2，5……， ；当h=3，6……， ε-Fe3N晶胞中二个氮原子在一个等效点系中，21螺旋轴不能使它们在 方向上以 间距、周期性相同排列，因此可推测，必然使 中 的超点阵斑点出现。

结构因子计算表明：当h＝1，4……或2，5……， 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.3.10 晶体对称性在结构分析中的应用举例晶体对称性在结构分析中的应用举例在ε-Fe2-3N中，由于它原点坐标上氮原子计算项前乘上了几率r=0.5系数，导致了它的相对强度计算值介于ε-Fe2N (r=1)和ε-Fe3N(r=0)之间只要两者中有一者不消光，ε-Fe2-3N的 晶带中就会出现相应的超点阵衍射r值的大小代表了在ε-Fe2-3N中氮含量多少当r值越接近1，表示ε-Fe2-3N的氮含量越接近ε-Fe2N，它的超点阵斑点的强度也越接近ε-Fe2N反之，当r值越接近0，表示ε-Fe2-3N的氮含量越接近ε-Fe3N，它的超点阵斑点的强度也越接近ε-Fe3N由此可见，比较不同区域或不同试样上拍摄到的ε相超点阵衍射花样，根据它们的超点阵斑点相对衍射强度的差异，有可能定性地反映出它们之间的氮含量不同。