2021年1集合-1981-2021年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案.docx

1981 年~2021 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、集合部分2021A1 、设集合 A1,2,3,,99，集合 B2x | xA ，集合 Cx | 2 xA ，就集合B C 的元素个数为◆答案： 24★解析： 由条件知， B C2,4,6,,48，故 BC 的元素个数为 24 ；2021B1 、设集合 A◆答案： 312,0,1,8，集合 B2 a | aA ，就集合 AB 的全部元素之和是★解析 :易知 B4,0,2,16，所以 A B0,1,2,4,8,16，元素之和为 31.2021B 三、（此题满分 50 分）设集合 A1,2,, n ，X ,Y均为 A 的非空子集（答应X Y ）． X 中的最大元与 Y 中的最小元分别记为maxX , minY ．求满意max X min Y的有序集合对(X ,Y) 的数目；★解析 :先运算满意max X min Y 的有序集合对( X ,Y)的数目 .对给定的m max X ，集合 X 是集合1,2,, m 1的任意一个子集与 m 的并，故共有2m 1 种取法 .又 m min Y ，故Y 是m, m1, m 2,, n 的任意一个非空子集，共有2n 1 m1 种取法 .因此，满意max X min Y 的有序集合对( X ,Y) 的数目是：n2m 1m 12 n 1 m 1n n2 n 2m 1m 1 m 1n 1 2 n 1由于有序集合对( X ,Y ) 有 2n1 2n 12n2 1 个， 于是满意max X min Y 的有序集2合对 ( X ,Y) 的数目是 2 n 1n 2n2 n 1 4n2 n n 12021B 二、（此题满分 40 分）给定正整数 m ，证明：存在正整数 k ，使得可将正整数集N 分拆为 k 个互不相交的子集A1, A2 ,, Ak，每个子集Ai 中均不存在 4 个数a,b,c, d （可以相同），满意abcdm．★证明： 取 km1，令Ai { x xi(mod m1), x N } ， i1,2, , m1设 a, b,c, d Ai ，就ab cd i i i i0(mod m1) ，故 m 1 ab cd ，而 m1 m，所以在Ai 中不存在 4 个数a,b,c, d ，满意 ab cd m2021B 四、（此题满分 50 分）；设 a1, a 2,, a 201,2,3,4,5， b1, b2,, b201,2,3,,10 ，集合 X(i,j ) | 1 ij 20, (aia j )( bibj )0 ，求 X 的元素个数的最大值；★解析： 考虑一组满意条件的正整数( a1, a2 , , a20 , b1, b2, ,b20 )对 k 1,2, ,5 ，设a1, , a20 中取值为 k 的数有tk 个，依据 X 的定义，当 aiaj 时，(i, j )5X ，因此至少有k 12 个 (i ,Ctk5j ) 不在 X 中，留意到 tkk 120 ，就柯西不等式，我们Ct25 1 5 2有 t ( k5 1 1 5t )k ( (tk )t ) 1 20 ( 20 1) 30k25k 2 2 5 2 5k 1 k 1 k 1 k 1 k 1从而 X 的元素个数不超过C 2 30 190 30 16020另一方面， 取a4 k 3a4 k 2a4 k 1a4kk （ k1,2, ,5），bi6 ai （ i1,2, ,20 ），就对任意i, j （ 1 i j20 ），有( a a )(b b ) (a a )((6 a ) (6 a )) (a a ) 2 0i j i j i j i j i j等号成立当且仅当ai aj ，这恰好发生5C 230 次，此时 X 的元素个数达到2 30 1604C20综上所述， X 的元素个数的最大值为 160.2021B 四、（此题满分 50 分）设 A是任意一个 11元实数集合． 令集合 Buv |u,vA, u v求 B 的元素个数的最小值．★解析： 记 Aa1 ,a 2 ,, a11，不妨设 a1 a 2a11① 如 ai 01 i 11恒 成 立 ； 由 于a1a 2a 2a3a2a 4a 2a11a 3a11a10 a11 ，这里明显可以发觉有 18 个数在 B 中，即 B 18②如 a1 a 2ak 0ak 1ak 1a11 ，其中 k5 时，由于ak ak 1ak ak 2ak a11ak 1a11ak 2 a11a2 a11a1a11 有 10 个非负数；又 ak2ak 3ak 2 ak 4ak 2 a11ak 3a11ak 4a11a10 a11 有 172k 个正数，故此时， B10 17 2k27 2k17 ，当 k5 时，B min17 ，如A 0,1, 2,22 ,23 , 24 ， B0, 1,2, 22 ,23 ,2 4,25,26 ,27 , 28满意；③如 a1 a 2ak 0ak 1ak 1a11 ，其中 k6 时，由于ak ak 1ak ak 2ak a11ak 1a11ak 2 a11a2 a11a1a11 有 10 个非负数；又 a1 a2a6 0 ，就a5a6a5 a 4a 5a3a 5a 2a5a1a 4a1a 3a1a2a1 有 8个正数， 故此时， B10 8 18④如 ai0 1 i11 恒成立；同①明显可以发觉有 18 个数在 B 中，即 B18；综上； B 的元素个数的最小值为 17.2021AB10 、（ 本 题 满 分 20 分 ） 设a1 ,a 2 , a3, a 4是 4 个 有 理 数 ， 使 得ai a j | 1 i j 424, 2,3 1, ,1,32 8，求 a1a 2 a3a 4 的值；★解析： 由条件可知，ai aj (1 i j4) 是 6 个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由 此 知 ，a1, a2 , a3 , a4的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设| a1 || a 2 || a3 || a4 | ， 就| ai| a| j| ( i1j 中最4 小的与次小的两个数分别是| a1 || a2|及 | a1 || a3 |，最大与次大的两个数分别是a1a2| a31 ,8||a4| 及 | a2 || a4|，从而必需有a1a3 a2a4 a3a41,3,24,10 分1 1 3于是 a28a1, a3, a4a1 a224a1．1故{ a a , a a } {1 , 24 a2 } { 2, 3} ， 15 分2 3 1 48a2 1 21结合 a1 Q ，只可能 a1 ．41 2 3 4由此易知， a 1 , a 1 , a 4, a4 2检验知这两组解均满意问题的条件．6 或者 a 1 , a 1 , a 4, a 6 ．1 2 3 44 2故 a1 a2 a3 a49． 20 分42021A 二、（此题满分 40 分）设 SA1, A2 ,, An，其中A1, A2 ,, An 是 n 个互不相同的有限集合（ n2） ，满意对任意的Ai , AjS,均有 AiAj S ，如 kmin Ai2 .证明：1 i n存在 xnAi ，使得 x 属于i 1A1, A2,, An 中至少n 个集合（这里 X 表示有限集合 X 的元k素个数）；★证 明： 不妨设| A1 |k ．设在A1, A2, , An 中与A1 不相交的集合有 s 个，重新记为B1, B2, , Bs ，设包含A1的集合有 t 个，重新记为C1,C2, , Ct．由已知条件，( BiA1) S ，即 ( BiA1) {C1,C 2, , Ct}，这样我们得到一个映射f :{B1, B2, , Bs } {C1 ,C2, , Ct },f (Bi ) BiA1 ．明显 f 是单映射，于是， s t ． 10 分设 A1{ a1 ,a2, , ak } ．在A1, A2 ,, An 中除去B1 , B2 , , Bs ， C1,C2 , , Ct 后，在剩下的 n s t 个集合中， 设包含ai 的集合有xi 个（ 1 i k ），由于剩下的 n s t 个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个ai ，从而x1 x2 xk n s t ． 20 分不妨设 xmax x ，就由上式知 xn s t，即在剩下的 n s t 个集合中，包含 ai1 1 i k i i k 1k的集合至少有 n s t个．又由于 A。