常用连续分布.ppt

§2.5 常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布记为X ~ N(, 2),其中 >0，  是任意实数.Ø  是位置参数.Ø  是尺度参数.2.5.1 正态分布yxOμ正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示正态分布的性质(1) p(x) 关于 是对称的.p(x)x0μ在 点 p(x) 取得最大值.(2) 若 固定,  改变, p(x)左右移动, 形状保持不变.(3) 若 固定,  改变, 越大曲线越平坦;  越小曲线越陡峭. 正态分布又称为高斯分布正态分布又称为高斯分布,是最常见最重要的一种分布是最常见最重要的一种分布.一个变量是由大量微小的一个变量是由大量微小的\独立的随机因素共同作用的结果独立的随机因素共同作用的结果,那那么这个变量一定是正态变量么这个变量一定是正态变量.例如测量误差例如测量误差; 人的生理特征尺人的生理特征尺寸如身高、体重等寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 p(x)x0xx标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).(x) 的计算(1) x  0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用若 X ~ N(0, 1), 则 (1) P(X  a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a1.96) , P(|X|<1.96)= 1 (1.96)= 1(1 (1.96)) = 0.975 (查表得)= 2 (1.96)1= 0.95= (1.96)解: P(X>1.96)P(|X|<1.96)= 2 0.9751 设 X ~ N(0, 1), P(X  b) = 0.9515, P(X  a) = 0.04947, 求 a, b.解: (b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a =  1.65例2.5.2一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X ~ N(,  2),则 Y ~ N(0, 1).推论: 若 X ~ N(,  2), 则若 X ~ N(, 2), 则 P(Xa) =  设 X ~ N(10, 4), 求 P(10k} = P{X≤k}, 则 k = ( ).3课堂练习(1) 设 X ~ N(, 42), Y ~ N(, 52), 记 p1 = P{X≤  4}，p2 = P{Y≥ +5}, 则( ) ① 对任意的  ，都有 p1 = p2 ② 对任意的  ，都有 p1 < p2 ③ 只个别的  ，才有 p1 = p2 ④ 对任意的  ，都有 p1 > p2①课堂练习(2) 设 X ~ N( ,  2), 则随 的增大， 概率 P{| X  | < } ( ) ① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定③课堂练习(3)正态分布的 3 原则设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | <  ) = 0.6828. P( | X | < 2 ) = 0.9545. P( | X | < 3 ) = 0.9973.在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略，忽略{|X|>3}的值。

的值 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值±±3 3 作两条线，当生产过程作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常记为X ~ U(a, b)2.5.2 均匀分布 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.52.5.3 指数分布记为 X ~ Exp(), 其中 >0.特别：指数分布具有无忆性（“永远年青”），即：P( X > s+t | X > s )=P( X > t )指数分布密度指数分布密度函数图形函数图形演示 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景指数分布分布指数分布分布函数图形函数图形演示演示例例2.5.6 2.5.6 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设，设[0[0，，t]t]时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数Xt服从参数为服从参数为 t的泊松分布，求的泊松分布，求T的概率密度。

的概率密度解解当当t≤0时，时，F(t)=0；；当当t>0时，时，F(t)=P(T≤t)=1- -P(T>t)= =1- -P( (在在t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥) )= =1- -P(Xt=0)=1- -e- -λt于是于是2.5.4 伽玛分布记为 X ~ Ga(, ),其中 >0，  > 0.为伽玛函数.称注意点 (1)(1) = 1, (1/2) =(n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp()Ga(n/2, 1/2) = 2(n)2.5.5 贝塔分布记为 X ~ Be(a, b), 其中a >0，b >0.称为贝塔函数.注意点 (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)1 均匀分布均匀分布设设 X 在区间（在区间（a , b) 上服从均匀分布，其概率密度为上服从均匀分布，其概率密度为 X的数学期望为的数学期望为即数学期望位于区间的中点方差为即数学期望位于区间的中点方差为: 3 正态分布正态分布设设 X 服从参数为服从参数为 的正态分布，其概率密度为的正态分布，其概率密度为X的数学期望为的数学期望为令令而方差为而方差为令令常用连续分布的数学期望Ø 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2Ø 指数分布 Exp() : E(X) = 1/Ø 正态分布 N(, 2) : E(X) = Ø 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = /Ø 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)常用连续分布的方差Ø 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12Ø 指数分布 Exp() 的方差= 1/2Ø 正态分布 N(, 2) 的方差= 2Ø 伽玛分布 Ga(, )方差 = /2Ø 贝塔分布 Be(a, b) = ab/(a+b)2(a+b+1)例2.5.7 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？例2.5.8 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4, 则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因为 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X))2= 2.4+16=18.4 设 E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常 数 C， 必有（ ）.④课堂练习。