高考总复习 基本不等式及其应用课件.ppt

第三十四讲第三十四讲 基本不等式及其应用基本不等式及其应用回归课本回归课本1.1.算术平均数算术平均数如果如果a,b∈Ra,b∈R+ +, ,那么那么 叫做这两个正数的算术平均数叫做这两个正数的算术平均数. .2.2.几何平均数几何平均数如果如果a,b∈Ra,b∈R+ +, ,那么那么 叫做这两个正数的几何平均数叫做这两个正数的几何平均数. .3.3.重要不等式重要不等式如果如果a,b∈R,a,b∈R,则则a a2 2+b+b2 2≥≥2ab2ab( (当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,取取““= =””););均值定理均值定理: :如果如果a,b∈Ra,b∈R+ +, ,那么那么 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,取取““= =””).).均值定理可以叙述为均值定理可以叙述为: :两个正实数的算术平均数大于或等于两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数它们的几何平均数. .5.5.已知已知x x、、y y都是正数都是正数, ,则则(1)(1)若若x+y=S(x+y=S(和为定值和为定值),),则当则当x=yx=y时时, ,积积xyxy取最大值取最大值(2)(2)若若xy=P(xy=P(积为定值积为定值),),则当则当x=yx=y时时, ,和和x+yx+y取得最小值取得最小值即两个正数的和为定值即两个正数的和为定值, ,则可求其积的最大值则可求其积的最大值; ;积为定值积为定值, ,则则可求其和的最小值可求其和的最小值. .应用此结论要注意三个条件应用此结论要注意三个条件; ;““一正二一正二定三相等定三相等””, ,即即: :①①各项或各因式为正各项或各因式为正;②;②和或积为定值和或积为定值;③;③各项或各因式都能各项或各因式都能取得相等的值取得相等的值. .考点陪练考点陪练1.1.函数函数y=logy=log2 2x+logx+logx x2 2的值域是的值域是( )( )A.(-∞,-2]A.(-∞,-2]B.[2,+∞)B.[2,+∞)C.[-2,2]C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案答案:D:D2.2.已知已知x+3y=2,x+3y=2,则则3 3x x+27+27y y的最小值为的最小值为( )( )答案答案:A:A答案答案:C:C答案答案:B:B答案答案:D:D类型一类型一证明不等式证明不等式解题准备解题准备: :证明不等式是均值不等式的一个基本应用证明不等式是均值不等式的一个基本应用, ,注意分注意分析不等式的左右两边的结构特征析不等式的左右两边的结构特征, ,通过拆通过拆( (添添) )项创设一个项创设一个应用均值不等式的条件应用均值不等式的条件. .在解决本类问题时注意以下几点在解决本类问题时注意以下几点:(1):(1)均值不等式成立的前提条件均值不等式成立的前提条件;(2);(2)通过加减项的方法配通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3);(3)注意注意““1 1””的代的代换换;(4);(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用. .【【典例典例1 1】】证明证明:a:a4 4+b+b4 4+c+c4 4≥a≥a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2≥abc(a+b+c).≥abc(a+b+c).[ [分析分析] ]利用利用a a2 2+b+b2 2≥2ab(a,b∈R)≥2ab(a,b∈R)求证即可求证即可. .[ [证明证明]∵a]∵a4 4+b+b4 4≥2a≥2a2 2b b2 2,b,b4 4+c+c4 4≥2b≥2b2 2c c2 2, ,c c4 4+a+a4 4≥2c≥2c2 2a a2 2, ,∴2(a∴2(a4 4+b+b4 4+c+c4 4)≥2(a)≥2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2),),即即a a4 4+b+b4 4+c+c4 4≥a≥a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2, ,又又a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2≥2ab≥2ab2 2c,bc,b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2≥2abc≥2abc2 2, ,c c2 2a a2 2+a+a2 2b b2 2≥2a≥2a2 2bc,bc,∴2(a∴2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2)≥2(ab)≥2(ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc),bc),即即a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2≥ab≥ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc=abc(a+b+c).bc=abc(a+b+c).即原命题可得证即原命题可得证. .类型二类型二 求最值求最值解题准备解题准备:1.:1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值值. .2.2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式, ,主要有主要有: :类型三类型三利用均值不等式解应用题利用均值不等式解应用题解题准备解题准备: :均值不等式作为求最值的常用工具均值不等式作为求最值的常用工具, ,经常在有关最经常在有关最优解的实际问题中应用优解的实际问题中应用. .应用均值不等式解决实际问题的应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是基本步骤是:①:①仔细阅读题目仔细阅读题目, ,透彻理解题意透彻理解题意;②;②分析实际分析实际问题中的数量关系问题中的数量关系, ,引入未知数引入未知数, ,并用它表示其它的变量并用它表示其它的变量, ,把要求最值的变量设为函数把要求最值的变量设为函数;③;③应用均值不等式求出函数应用均值不等式求出函数的最值的最值;④;④还原实际问题还原实际问题, ,作出解答作出解答. .【【典例典例3 3】】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m200 m2 2的的三级污水处理池三级污水处理池( (平面图如图所示平面图如图所示).).如果池四周围墙建造如果池四周围墙建造单价为单价为400400元元/m,/m,中间两道隔墙建造单价为中间两道隔墙建造单价为248248元元/m,/m,池底建池底建造单价为造单价为8080元元/m/m2 2, ,水池所有墙的厚度忽略不计水池所有墙的厚度忽略不计. .(1)(1)试设计污水处理池的长和宽试设计污水处理池的长和宽, ,使总造价最低使总造价最低, ,并求出最低并求出最低总造价总造价; ;(2)(2)若由于地形限制若由于地形限制, ,该池的长和宽都不能超过该池的长和宽都不能超过16 m,16 m,试设计试设计污水池的长和宽污水池的长和宽, ,使总造价最低使总造价最低, ,并求出最低总造价并求出最低总造价. . [ [反思感悟反思感悟] ]不等式应用的特点是不等式应用的特点是:(1):(1)问题的背景是人们关问题的背景是人们关心的社会热点问题心的社会热点问题, ,如如““物价物价､ ､税收税收､ ､销售销售､ ､市场信息市场信息””等等, ,题目往往篇幅较长题目往往篇幅较长.(2).(2)建立函数模型常见的有建立函数模型常见的有““正正( (反反) )比比例函数例函数､ ､一次函数一次函数､ ､二次函数二次函数､ ､指数函数指数函数､ ､对数函数对数函数､ ､三角函三角函数数, ,以及以及 ””等形式等形式. .解函数应用题中的解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决. .错源一错源一 忽视等号成立的条件忽视等号成立的条件 [剖析剖析]解法一和解法二的错误原因是等号同时成立的条件不解法一和解法二的错误原因是等号同时成立的条件不具备具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只只有等号成立时有等号成立时,所求出的最值才是正确的所求出的最值才是正确的.错源二错源二 忽视均值不等式应用条件致误忽视均值不等式应用条件致误[ [答案答案](-∞,-1]∪[3,+∞) ](-∞,-1]∪[3,+∞) 技法一技法一 快速解题快速解题( (三角换元三角换元) )【【典例典例1 1】】已知已知a a、、b b、、c c、、d∈R,xd∈R,x、、y∈Ry∈R+ +, ,且且x x2 2=a=a2 2+b+b2 2,y,y2 2=c=c2 2+d+d2 2. .求证求证:xy≥ac+bd.:xy≥ac+bd.[ [快解快解] ]联想到圆的参数方程联想到圆的参数方程, ,设设a=xcosθ,b=xsinθ,c=ycosφ,d=ysinφ,a=xcosθ,b=xsinθ,c=ycosφ,d=ysinφ,则则ac+bd=xycosθcosφ+xysinθsinφ=xycos(θ-φ)≤xy.ac+bd=xycosθcosφ+xysinθsinφ=xycos(θ-φ)≤xy.[ [另解切入点另解切入点] ]有有a a2 2+b+b2 2、、c c2 2+d+d2 2的形式出现的形式出现, ,就可以用就可以用a a2 2+b+b2 2≥2ab.≥2ab.由于由于a a、、b b、、c c、、d∈R,d∈R,故故ac+bdac+bd可能为正可能为正, ,也可能也可能为负为负. .当当ac+bd<0ac+bd<0时时, ,显然不需证明显然不需证明, ,只需考虑只需考虑ac+bd>0ac+bd>0的情的情况况. . [ [证明证明] ]证法一证法一: :当当ac+bd<0ac+bd<0时时, ,显然有显然有xy≥ac+bdxy≥ac+bd成立成立. .当当ac+bd≥0ac+bd≥0时时, ,x x2 2y y2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=a)=a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2≥a≥a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd=(ac+bd)+2abcd=(ac+bd)2 2, ,即即xy≥ac+bd.xy≥ac+bd.证法二证法二: :当当ac+bd<0ac+bd<0时时, ,显然有显然有xy≥ac+bdxy≥ac+bd成立成立; ;当当ac+bd≥0ac+bd≥0时时, ,欲证欲证xy≥ac+bd,xy≥ac+bd,只需证只需证x x2 2y y2 2≥a≥a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd.+2abcd.∵x∵x2 2=a=a2 2+b+b2 2,y,y2 2=c=c2 2+d+d2 2, ,∴(a∴(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=a)=a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2≥a≥a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd.+2abcd.即即x x2 2y y2 2≥a≥a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd+2abcd成立成立, ,因此因此, ,原不等式成立原不等式成立. .[ [方法与技巧方法与技巧] ]证法一与证法二基本相同证法一与证法二基本相同, ,只是形式不同而已只是形式不同而已. .而快解联想到圆的参数方程而快解联想到圆的参数方程, ,进行三角代换进行三角代换, ,又不必考虑又不必考虑ac+bdac+bd的正负问题的正负问题, ,仅注意到仅注意到xy>0xy>0、、-1≤cos(θ-φ)≤1-1≤cos(θ-φ)≤1就就行了行了. .[ [得分主要步骤得分主要步骤] ]本题证明步骤简单本题证明步骤简单, ,但需考虑但需考虑ac+bdac+bd或正或负或正或负的两种情况的两种情况. .若若ac+bd<0,ac+bd<0,则则(ac+bd)(ac+bd)2 2与与x x2 2y y2 2的大小不能确定的大小不能确定, ,证题时需注意此处证题时需注意此处. .[ [易丢分原因易丢分原因] ]没有考虑到没有考虑到ac+bd≥0ac+bd≥0还是还是ac+bc<0.ac+bc<0.技法二技法二 如何解决含有多个变量的条件最值问题如何解决含有多个变量的条件最值问题求解含有多个变量的条件最值问题求解含有多个变量的条件最值问题, ,一般方法是利用给出的一般方法是利用给出的条件条件, ,通过代换减少变量的个数通过代换减少变量的个数, ,将问题转化为只含有一个将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决变量的函数的最值问题进行解决. .如果条件等式中含有两如果条件等式中含有两个变量的和与积的形式个变量的和与积的形式, ,可以直接利用均值不等式对两个可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化正数的和与积进行转化, ,然后通过解不等式进行求解然后通过解不等式进行求解, ,或者或者通过构造一元二次方程通过构造一元二次方程, ,根据已知变量的取值范围根据已知变量的取值范围, ,利用根利用根的分布解决问题的分布解决问题. .[ [方法与技巧方法与技巧] ]本题是一道条件下求代数式的最值的问题本题是一道条件下求代数式的最值的问题. .解题思路是利用给出的条件解题思路是利用给出的条件, ,用用a a来表示来表示b,b,从而在所求问题从而在所求问题中消去中消去b,b,利用均值不等式转化成函数的最值求解利用均值不等式转化成函数的最值求解. .。