初中数学知识讲解+巩固练习（人教）完全平方公式（提高）知识讲解.doc

完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．举一反三：【变式】分解因式：（1）．（2）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．2、分解因式：．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分作为一个整体，展开后再进行分解就容易了．【答案与解析】解： ．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．举一反三：【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【答案】解：令∴上式即类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如 【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、（2020春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x2+6x﹣2）=2（x2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．【答案与解析】解：原式=3（x2﹣2x+4）=3（x2﹣2x+1﹣1+4）=3（x﹣1）2+9，∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x=1，∴3（x﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9．【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．举一反三：【变式1】若△ABC的三边长分别为、、,且满足， 求证：.【答案】解： 所以所以所以因为△ABC的三边长分别为、、，，所以，矛盾，舍去.所以.【变式2】（2020春•萧山区期中）若（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=　 　．【答案】4032．解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）（2013﹣x）=4，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=4+2×2014=4032．5。