6弯曲应力剖析.ppt

在横截面上，法向内力元素dN=σdA合成弯矩M，切向内力元素dQ=τdA合成剪力Q,第六章 弯曲应力,§6-1 概 述,CL8TU1,1.纯弯曲：（CD段）,2.横力弯曲：（AC和DB段）,横截面上只有正应力而无切应力,横截面上既有正应力又有切应力,§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,从三方面考虑：,一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:,变形几何关系,物理关系,静力学关系,观察到以下变形现象:,(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm 和 nn 仍为直线, 并且仍然与已经成为弧线的 aa和 bb 垂直, 只是相对转过了一个角度 梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴,中性层,中性轴,中性层,CL8TU3-1,CL8TU3-2,一、变形几何关系：,二、物理关系,三、静力学关系,中性轴过截面形心,中性层的曲率公式：,正应力计算公式：,公式适用条件： 1）平面弯曲时的纯弯曲 （平面假设: 横截面具有一根对称轴） 2）  p ( 材料服从胡克定律 — 略去横向挤压应力）,正应力计算公式：,横截面上的最大正应力：,当中性轴是横截面的对称轴时：,Wz 称为抗弯截面模量,§6-3 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算,上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。

对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中纯弯曲的正应力公式可以推广适用于：,（1）小变形；,（2）材料处于比例极限范围内；,（3）纯弯曲的梁或的l5h横力平面弯曲的梁；,（4）直梁或小曲率的梁（ ）,二、梁的正应力强度条件,利用上式可以进行三方面的强度计算： ①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度 ②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸 ③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷,例1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？,解：,例2： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍例3：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,解:最大弯矩相等时，副梁材料得到充分利用,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩,由,即,得,例4：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）,解：,例5：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。

解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例6：已知铸铁杆m=3kN·m，E=175GPa求:① 最大拉应力、最大压应力 ②曲率半径,解：①确定中性轴：,求对中性轴的惯性矩：,②求最大拉应力和压应力：,(Tensile stress),(Compressive Stress),③求曲率半径：,例7：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比并指出哪种截面最经济解：由题意可知,即,例8：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度C截面：,B截面：,例9：T形截面梁,已知如下条件：,解：①支反力,② 内力图,③ 强度校核,∴ 强度满足要求,例10:简支梁AB在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,例11：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？,解：,C截面下边缘的应力,C截面的弯矩,应变值,例12：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。

解：,例13：已知16号工字钢 , Wz=141cm3 , l=1.5m , a=1m , []=160MPa , E=210GPa , 在梁的下边缘 C 点沿轴向贴一应变片, 测得 C 点轴向线应变 求：载荷 F , 并校核梁正应力强度解：,例14：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值解：,由此得,§6-6 提高梁弯曲强度的措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依据因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大一、梁的合理截面,合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大由小到大排序：,二、合理安排梁受力情况（减小最大弯矩值）,1. 变截面梁的概念：,前面所讨论的梁都是等截面梁, 对于这种梁, 只有在 弯矩为最大值的截面上, 最大应力才接近许用应力 其余截面上弯矩较小, 应力也较低, 材料没有充分利用 为了节约材料, 减轻自重, 可改变截面的尺寸, 使抗弯截 面模量随弯矩而变化在弯矩较大处采用较大截面，在 弯矩较小处采用较小截面这种截面沿轴线变化的梁, 称为变截面梁。

对于变截面梁, 其正应力计算仍可近似的 利用等截面梁的公式三. 合理设计梁的外形（等强度梁）,2.梁的各横截面上的最大正应力相等，都等于材料的许用应力［σ］时，称为等强度梁根据等强度梁的概念，则有：,设：,——梁在任一截面上的弯矩,——为抗弯截面模量,。