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第 7 讲 换元法（高中版）（第课时）换元法 三 角 代 换均 值 代 换整 体 代 换策 略 化 超 越 式 为 代 数 式化 无 理 式 为 有 理 式化 分 式 为 整 式降 次复 杂 问 题 简 单 化非 标 准 问 题 标 准 化用 途重点：1． ；2． ；3． 难点：1． ；2． ；3． ；1． ；2． ；3． 1． ；2． ；3． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子换元的关键是构造元和设元换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换） 、三角代换、均值代换等。

整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它，当然有时候要通过变形才能发现例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设 2 ＝t（t>0） ，x x而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元例如求函数 y＝ ＋ 的值域时，易发现 x∈[0,1]，设 x＝sin α x12神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域为什么会想到如此设，其中主要应该是发2现值域的联系，又有去根号的需要又如变量 x、y 适合条件 x ＋y ＝r （r>0）时，则可作22三角代换 x＝rcosθ、y＝rsinθ 化为三角问题均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为 t 进行换元；如果遇到形如 Syx或 这样的对称结构，可设 x＝ ＋t ，y＝ －t 或 ， 等S2 S2tSx2t2等1．换元法在方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。

然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程例.（高二）如果关于 x 的方程 有相异的四实根，求 的范0sinco224x 围分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式令 ，则原方程化为：tx2⑴0sinco22t使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根由此得 )4(0sin342即 sico解之得 且 452432kk )()12(Jk2．换元法在不等式中的应用例.（高二）设对所于有实数 x，不等式 x log ＋2x log ＋log >02()a21a2()a142恒成立，求 a 的取值范围 分析：不等式中，log 、 log 、log 三项有何联系？对它们进241()a212()4行变形后再实施换元法解： 设 log ＝t ，则2log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t ，241()a81()a2a21alog ＝2log ＝－2t ，22代入后原不等式简化为 （3－t）x ＋2tx－2t>0 ，它对一切实数 x 恒成立，2∴ ，解之得 ，048302tt()t306或∴ t1 时函数 f（x）的解析式。

解：令 x=t+1（ t0） ，则 f(T+1）=-（T-1）(T-2) ，∴ ，)3(2)(Tf∴ f(x)= -（x-2）(x-3)=-x2+5x-6 ， （x>1） 点评：本题使用换元法求函数解析式4．换元法在数列中的应用例.（高三）已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，求数列通项 a nn1n1n解：已知式变形为 － ＝－1 ,设 b ＝ ，则 为等差数列， }{b∴ b ＝－1 ,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n ，n∴ a ＝－ n5．换元法在复数中的应用对于涉及模及多变元的复数问题，基于运算方面的考虑，可以利用换元法简解6．换元法在三角中的应用例.（高一）设 a>0，求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值2解： 设 sinx＋cosx＝t，则 t∈[- , ]，2由 (sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx 得 sinx·cosx＝ ，2 t21∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0） t∈[- , ]，21当 t＝- 时， g(t)取最小值 －2a －2 a－ 。

2当 2a≥ 时，t＝ ，f(x)取最大值 －2a ＋2 a－ 21；当 00 恒成立，求 k 的范围)192()y62分析：由已知条件 ＋ ＝1 ，可以发现它与 a ＋b ＝1 有相似之处，于是2实施三角代换解：由 ＋ ＝1 ，设 ＝cosθ ， ＝sinθ ，()x192()y62x3y4即 ，y34cosinθ θ代入不等式 x＋y－k>0 得 3cosθ＋4sinθ－k>0 ，即 k0 (a>0)所表示的区域为直线 ax＋by＋c＝0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 x＋y－k>0 的区域即当直线 x＋y－k＝0 在与椭圆下部相切的切线之下时当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后16914022()()xk由△＝0 可求得 k＝－3,所以 k1） ，求 f(x)的值域a4解：设 x ＋1＝t (t≥1)，则 f(t)＝log [-(t-1) ＋4] ，所以值域为(－∞,log 4]2 a2 a点评：本题使用换元法求函数值域3.（高一）求函数 y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。

解：原函数变形得 y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx –1 ，令 t=2-sinx ， t∈[1，3] ，即 y=t+1t –1 ，易知当 t∈[0，1] 时为减函数；t ∈[1，+∞]时为增函数，故当 t=1 ，即 sinx=1 ，x=2kπ+π2 k∈z 时， ；1miny当 t=3 时，即 sinx=-1 ，x=2kπ- π2 k∈z 时， 73ax故 y∈[1, 73 ]点评：本题使用换元法求三角函数值域能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！x+y-k>0 平面区域kxy4*.（高一.超纲）已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，sinθxcosθycs2θxin2θy1032(xy求 的值xy解法一： 设 ＝ ＝k ，则 sinθ＝kx ，cosθ＝ky ，且sinθxcosθysin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1 ,222代入②式得： ＋ ＝ ＝ ，即 ＋ ＝ ，yk2032()132yx2103设 ＝t ，则 t＋ ＝ , 解之得 t＝3 或 t＝ ，xy2∴ ＝ ± 或 ＝± 。

3xy解法二： 由 ＝ ＝tgθ ，将等式②两边同时除以 ，sincoθθ cos2θx再表示成含 tgθ 的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ ，4()()110322tgt32设 tg θ＝t ，则 3t —10t＋3＝0 ，22∴ t＝3 或 t＝ ， 解之得 ＝± 或 ＝± xyxy点评：第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数第sinθ cosθ二种解法将已知式变形为 ＝ ，再进行换元和变形两种解法要求代数变形比较熟练xysθθ在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。