弦长公式及其运用.docx

弦长公式在职业高中数学解题中的应用邹志勇摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中 的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学 中显得尤为重要关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在 实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段 二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式Jl + k 2 低（L= ； ）a（ l ）弦长公式的推导设直线y=kx+t与圆锥曲线相交于A （ xi , yi ） B （ x2 , y2 ）两点则弦长为|AB|,把y=kx+t代入圆锥曲线方程消去y化简整理得到一个关于x的一元二次方程«x2 +bx+c=0 （Q工0）bc贝 0 x + x =— , x x =—l 2 a l 2 a-"I" + (y2+1) — (kx~+1)]i(1 + k 2)( x 一 x )2 = (1 + k 2) (x + x )2 一 4 x x' 2 1 Y v 1 2 1 27(1 + k 2)=、'(1 + k 2 )b 2 — 4ac1 + k 2 伍a|弦长公式为V1 + k 2a|（其中k表示直线的斜率，△= b2-4ac, d表示一元二次方程中x2的系数）（2）弦长公式的应用① 直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。

例1：已知直线y=2x-5与圆x2+y2=25相交于A, B两点，求|AB解：把 y=2x-5 代入 x2+y2=25 化简得 x2—4x=0k=2 d =1 △= （—4）2-4X1X0=16IABI\1 + k2 -.j A = v'1 + 22^16 =4 a 1② 直线与椭圆相交时，弦长公式的应用X 2例2：已知直线y=x+2与椭圆g + y2=1相交于A, B两点，求|AB|x2解：把 y=x+2 代入~9 + y2=1 化简得 10x2+36x+27=010AB _小 + k 2.込=v'1 +1^362 — 4 x 10 x 27 = 6③ 直线与双曲线相交时，弦长公式的应用y2例3：已知直线y=x-2与双曲线x2 —2 =1化简得x2 +4x-6=0|AB| v 1 + k2 qA = \1 +12\：42 — 4x 1 x (-6)④ 直线与抛物线相交时，弦长公式的应用 例4：已知直线y=2x+m与抛物线y2 =4x相交于A,B两点，若|AB| = 3^5，求m的值 解：把 y =2x+m 代入 y2 =4x 化简得 4x2+ (4m—4) x+ m2 =0|ab|=3 活v'1 + 2^：'(4m — 4)24 =3"5解得 m=—4弦长公式的推导是一个难点，如果弄清了公式的来龙去脉，定能加深对公式的理解和记忆，弦长公式是一个实用性很强的公式，如果能够灵活地应用弦公式，在解题中往往能取到事半功倍的效果。