第14讲湍流及转捩2.ppt

计算流体力学讲义计算流体力学讲义 第十四讲第十四讲 湍流与转捩湍流与转捩 （（2）） ；力学所主楼；力学所主楼219；； 82543801 知识点：知识点： 讲义、课件上传至讲义、课件上传至 (流体中文网）流体中文网） -> “流体论坛流体论坛” ->“ CFD基础理论基础理论 ”讲课录像及讲义上传至网盘讲课录像及讲义上传至网盘 1. 湍流的模式理论（湍流的模式理论（ RANS））2. 湍流的大涡模拟湍流的大涡模拟(LES)1知识回顾知识回顾1. 流体力学中的不稳定性流体力学中的不稳定性Kelvin-Helmholtz; Tollmien-Schlichting; Mack ; Richtmyer-Meshkov ; Reyleigh-Taylor ; Barnard …… 2.扰动的线性化控制方程扰动的线性化控制方程 不可压平行流不可压平行流—— Orr-Sommerfeld 方程方程3.O-S方程的求解方程的求解 差分法差分法 （（Malik的紧致差分法）的紧致差分法）全局法：全局法： 解出全部特征值解出全部特征值局部法局部法2§ 14.1 湍流的工程模式理论湍流的工程模式理论——RANS 1. 为什么用湍流模型为什么用湍流模型N-S方程适用于湍流，但其解过于复杂方程适用于湍流，但其解过于复杂如果网格分辨率不够，数值解误差较大如果网格分辨率不够，数值解误差较大常用方法常用方法—— 进行平均，求解平均进行平均，求解平均量满足的方程量满足的方程以不可压缩为例研究以不可压缩为例研究 -> 推广的可压缩情况推广的可压缩情况压缩折角流动例例1：： 压缩折角流动：压缩折角流动： 如果网格分辨率如果网格分辨率不足，且不用湍流模型，则分离区过大不足，且不用湍流模型，则分离区过大例例2：： 有攻角机翼流动，如果分辨率不有攻角机翼流动，如果分辨率不足，且不用湍流模型，则造成足，且不用湍流模型，则造成“非物理非物理分离分离”翼型绕流3平进行均平进行均2. Reynolds平均的平均的N-S方程方程以不可压缩以不可压缩N-S方程为例方程为例时间平均；时间平均； 空间平均；空间平均； 系综平均系综平均脉动引入平均引入平均：RANS比比N-S方程多了该项方程多了该项称为称为Reynolds应力应力43. Reynolds平均平均N-S方程的求解方程的求解 未知量，必须用已知量表未知量，必须用已知量表示才能求解示才能求解湍流模型湍流模型方法方法 1）） Boussinesq 涡粘假设涡粘假设 （常用）（常用） 与原先方程的唯一区别：与原先方程的唯一区别：改变了粘性系数改变了粘性系数程序实现方便程序实现方便 的计算模型：的计算模型： 0方程（代数模型）：方程（代数模型）： B-L 1方程模型方程模型 : S-A 2 方程模型方程模型 ：：SST方法方法2）） Reynolds应力模型应力模型给出给出的控制方程的控制方程可并入压力项中5§ 14.2 湍流边界层的结构及平均速度剖面湍流边界层的结构及平均速度剖面 内层10~20% d外层钝锥边界层的密度分布内层：内层： 主要受壁面影响主要受壁面影响外层：外层： 受边界层外部影响受边界层外部影响 （压力梯度、外部无粘流（压力梯度、外部无粘流……）） 速度剖面接近尾迹流速度剖面接近尾迹流内层的速度剖面内层的速度剖面定常小量零压力梯度尾迹流的剖面（亏损律）零压力梯度的平板边界层零压力梯度的平板边界层6粘性底层区粘性底层区  湍应力可忽略湍应力可忽略壁面律壁面律总应力保持不变总应力保持不变粘性应力粘性应力湍应力湍应力湍流核心区湍流核心区粘性应力可忽略粘性应力可忽略Plantdl混合长模型混合长模型Karman常数C=5.5 （平板）（平板） 5.1壁面律壁面律对数律对数律亏亏损损律律过过渡渡区区7§ 14.3 常用的涡粘性模型常用的涡粘性模型 14.3.1 零方程模型零方程模型—— Baldwin-Lomax (BL)模型模型术语术语“N方程模型方程模型”指计算湍流粘性系数指计算湍流粘性系数 时，使用了时，使用了N个偏微分方程个偏微分方程零方程模型直接写出零方程模型直接写出 的表达式，简便的表达式，简便BL模型是模型是 Plantdl混合长模型的推广混合长模型的推广 湍流核心区湍流核心区 过渡区过渡区 粘性子层区粘性子层区壁面律壁面律对数律对数律亏亏损损律律过过渡渡区区内内层层外外层层混合长模型混合长模型内层统一内层统一表达式表达式尾迹亏损律尾迹亏损律近壁区趋近于近壁区趋近于0，， 远壁区趋近于远壁区趋近于涡量涡量8外层模型外层模型外层特点特点 1）） 间歇性间歇性层流层流-湍流交替出现湍流交替出现Klebnoff间歇公式（根据实验间歇公式（根据实验得到的经验公式）：得到的经验公式）：1为纯湍流，0为纯层流特点特点2）） 类似尾迹流动的亏损律类似尾迹流动的亏损律为边界层内的最大速度与最小速度之差为边界层内的最大速度与最小速度之差内层外层9外层模型外层模型=间歇因子间歇因子*亏损律亏损律边界层厚度不易计算用用 估算边估算边界层厚度界层厚度内层内层及外层的设定内层及外层的设定内层外层1014.3.2 一方程模型一方程模型 —— k-方程模型方程模型1）） 湍动能方程湍动能方程 （不可压缩）（不可压缩）推导方法推导方法获得扰动量获得扰动量 的方程，的方程，两端乘以两端乘以 并平均即可并平均即可生成生成 耗散耗散 粘性扩散粘性扩散 湍流扩散湍流扩散2）） k方程模型方程模型扩散型湍流扩散湍流扩散——以湍流粘性系以湍流粘性系数进行的扩散数进行的扩散对于一方程模型（k-模型）内部不会产生，也不会消失由量纲分析得出由量纲分析得出1114.3.3 一方程模型一方程模型—— Spalart-Allmaras (S-A)模型模型构造原则：构造原则： 经验经验 + 量纲分析量纲分析湍流场中标量方湍流场中标量方程的一般形式：程的一般形式： 对流对流 生成生成 耗散耗散 扩散扩散 对流对流 扩散扩散 生成生成 耗散耗散四四大大机机制制假定湍流粘性系数假定湍流粘性系数 满足上述方程满足上述方程假设：假设： 1）） 生成项与当地涡量成正比生成项与当地涡量成正比剪切越强，湍流越强：剪切越强，湍流越强： 符合直观符合直观关键的参数关键的参数这是湍流模型的这是湍流模型的“主要矛盾主要矛盾”混合长模型也是这么混合长模型也是这么假设的假设的生成项最为关键，对湍流粘性系数的影生成项最为关键，对湍流粘性系数的影响最大。

响最大 更简单的模型（零方程），更简单的模型（零方程），仅保留了生成项仅保留了生成项感想：感想： 生成项很多情况下都是最重要的生成项很多情况下都是最重要的 工资是工资是“生成项生成项”，， 消费是消费是“耗散项耗散项”，把钱给其他人（家人、亲朋等）是，把钱给其他人（家人、亲朋等）是“扩散项扩散项” 显然显然“生成项生成项”是最重要的是最重要的122）） 耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小湍流粘性系数越大，耗散越大湍流粘性系数越大，耗散越大离壁面越近，耗散越大离壁面越近，耗散越大直观3） 扩散项简单模化扩散项简单模化—— 以以 层流层流+湍流粘性系数湍流粘性系数 为扩散系数为扩散系数最终涡粘系数的最终涡粘系数的 的控制方程为的控制方程为13近壁修正近壁修正—— 保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0衰减函数衰减函数衰减函数衰减函数 的图像的图像最终的湍流粘性系数最终的湍流粘性系数14得到得到 方程后，对方程后，对 求导，乘以求导，乘以 并平均，得到并平均，得到 的方程的方程14.3.4 经典的两方程模型经典的两方程模型—— 模型模型 生成耗散扩散主项：主项： 小涡拉伸小涡拉伸粘性耗散粘性耗散近壁区仍需衰减处理近壁区仍需衰减处理—— “低低Reynolds数数k-e e模型模型”固壁边界条件：固壁边界条件：与物理情况不符，近壁需要特殊处理与物理情况不符，近壁需要特殊处理1514.3.5 k-w w两方程模型两方程模型用涡量用涡量w w 方程代替湍流耗散率方程代替湍流耗散率 e e 方程方程由量纲分析得到w w的模化方程：的模化方程：生成 耗散 扩散固壁边界条件：固壁边界条件：第第1个点到壁面的距离个点到壁面的距离k-w w模型模型近壁准确性优于近壁准确性优于k-e e模型；模型； 但外层预测准确性不如后者但外层预测准确性不如后者固壁利用近壁点的信利用近壁点的信息确定涡量息确定涡量1614.3.6 k-w w SST (Shear-Stress-transport)两方程模式两方程模式近壁：近壁：k-w w 外层：外层： k-e e写成统一的写成统一的 k-w w形式形式y较小时趋近于较小时趋近于k-w w模式模式y较大时趋近于较大时趋近于k-e e模式模式兼具兼具k-w w及及k-e e模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一17§ 14.4 非涡粘模型非涡粘模型涡粘模型的基本假设涡粘模型的基本假设：实际使用时，经实际使用时，经常不考虑该项常不考虑该项不符合物理规律不符合物理规律：：（涡）粘性是各向同性；（涡）粘性是各向同性； 雷诺应力为湍流脉动影响雷诺应力为湍流脉动影响——各向异性各向异性 舍弃涡粘假设舍弃涡粘假设，， 直接针对直接针对 构造模型，构造模型，更为合理更为合理合理的不合理的不一定好用一定好用写出脉动量写出脉动量 的方程，乘以的方程，乘以 并平均，得到雷诺并平均，得到雷诺应力应力 的控制方程：的控制方程：生成耗散扩散压力-变形 “再分配”对湍能无影响，不同分量之间再次分配分别模化，即可得到分别模化，即可得到Reynolds应力模型（又称应力模型（又称“二阶矩模型二阶矩模型”））出现三阶统计矩出现三阶统计矩18湍流扩散项湍流扩散项扩散速度与梯度呈正比假设扩散系数为湍流粘性系数湍流耗散项湍流耗散项模型模型1：： 假设湍流耗散是各向同性的假设湍流耗散是各向同性的模型模型2：： 考虑各向异性考虑各向异性 大小由速度脉动决定大小由速度脉动决定该张量幅值为该张量幅值为分量大小由速度脉分量大小由速度脉动均方根决定动均方根决定6个自由变量的张量个自由变量的张量标量 模型模型3：： 各向异性各向异性 耗散率与耗散率与Reynolds本身呈正比本身呈正比更为合理出现了出现了湍能湍能耗散率耗散率 （标量），需要单独给出方程（标量），需要单独给出方程 用前文给出的用前文给出的 方程即可方程即可19Reynolds应力模型推导采用了更为理性的方法应力模型推导采用了更为理性的方法—— 更多的（严格）公式推导更多的（严格）公式推导 更为复杂的公式更为复杂的公式压力压力-变形项变形项 （（“再分配项再分配项”））模化最为困难模化最为困难—— 压力压力-速度关联速度关联 实验测量实验测量困难，困难， 数据少数据少 DNS可能发挥很大作用推导思路：推导思路： 脉动压力的控制方程脉动压力的控制方程—— 压力压力Poisson方程方程 使使Reynolds应力应力趋近于各向同性趋近于各向同性复杂，计算量大，复杂，计算量大，工程应用不广泛工程应用不广泛（直觉）（直觉）“再分配再分配”的特点的特点—— 趋近各向同性趋近各向同性20显然，涡粘模型显然，涡粘模型是一种最简单（各向同性）是一种最简单（各向同性）的代数模型。

的代数模型ASM模型考虑了各向异性模型考虑了各向异性效应效应最终，二阶矩模型（雷诺应力模型最终，二阶矩模型（雷诺应力模型RSM）为：）为：仅是其中一种模型，还有仅是其中一种模型，还有其他模型其他模型代数应力模型（代数应力模型（ASM））注：注： 需要与需要与k方程、方程、e e方程联立求解方程联立求解某些情况下，某些情况下，RSM的对流项与扩散项可忽略的对流项与扩散项可忽略高剪切流动：高剪切流动： 生成项为主，对生成项为主，对流、扩散项很小流、扩散项很小局部平衡流动：局部平衡流动： 对流与扩散基对流与扩散基本抵消本抵消得到代数模型：得到代数模型：Rodi部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：部分保留了对流与扩散项，得到新的代数模型：注：注： 仍需要与仍需要与k方程、方程、e e方程联立求解方程联立求解21§ 14.5 压缩性对湍流模型的影响压缩性对湍流模型的影响压缩性效应：压缩性效应： 与平均量有关的压缩性效应与平均量有关的压缩性效应—— 外压缩性效应，非本质压缩性效应外压缩性效应，非本质压缩性效应 与脉动量有关的压缩性效应与脉动量有关的压缩性效应—— 内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应内压缩性效应，本质压缩性效应，声效应Morkovin 假设：假设： 当当Mach数不是很高（例如平板边界层数不是很高（例如平板边界层Ma<4.5）时，）时， 主要主要以外压缩性效应为主以外压缩性效应为主压缩性压缩性-> 近壁温度升高近壁温度升高->密度降低密度降低->平均速度剖面改变平均速度剖面改变举例：举例：常用措施：常用措施： 通过修正（例如密度加权平均）进通过修正（例如密度加权平均）进行弥补行弥补—— 借用不可压缩的理论借用不可压缩的理论常用措施：常用措施：Favre 平均平均密度加权平均密度加权平均相对于相对于Favre平均的脉动平均的脉动22对可压缩对可压缩N-S方程进行（方程进行（Reynolds）平均，令）平均，令密度和压力用密度和压力用Reynolds平平均，其他量用均，其他量用Favre平均平均可压缩可压缩N-S方程有大量方程有大量 项利用项利用Favre平均可简化方程推导平均可简化方程推导1）） Reynolds平均平均可压缩可压缩N-S方程方程平均Reynolds应力总能总能=内能内能+动能动能+湍能湍能层流热流湍流热流232）） Reynolds应力及常用模型应力及常用模型涡粘模型涡粘模型 涡粘系数涡粘系数 可利用可利用B-L,S-A,k-e e, SST等模型计算等模型计算3）能量方程的模化）能量方程的模化湍流热流湍流热流：湍流能量扩散：湍流能量扩散：以以 层流粘性层流粘性+湍流粘性湍流粘性 扩散扩散 —— 直观直观24湍流模式理论（湍流模式理论（RANS）：）： 计算量较小，但普适性差，很难找到通计算量较小，但普适性差，很难找到通用的模型用的模型§ 14.6 湍流大涡模拟简介湍流大涡模拟简介原因：原因： 湍流脉动的多尺度性湍流脉动的多尺度性 大尺度脉动：大尺度脉动： 受几何条件、外部因素影受几何条件、外部因素影响强烈。

响强烈 复杂、多态、强各向异性复杂、多态、强各向异性思路：思路： 小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化大涡模拟（大涡模拟（LES）：）： 流动流动= 大尺度流动大尺度流动 + 小尺度脉动小尺度脉动直接求解直接求解通过模型，由大尺度通过模型，由大尺度量给出量给出25大尺度区 惯性区 耗散区可压均匀各向同性湍流的能谱可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外受几何条件，外部因素影响强烈，部因素影响强烈，只能直接求解只能直接求解受外部因素影响受外部因素影响较弱，容易模化较弱，容易模化261.1.滤波滤波 a. 盒式滤波盒式滤波 b. 谱截断滤波谱截断滤波c. Gaussian型滤波型滤波 14.5.1 不可压缩湍流的大涡模拟简介不可压缩湍流的大涡模拟简介27设设 的滤波尺度为的滤波尺度为2. 滤波的性质滤波的性质A.若采用若采用Box 滤波及谱截断滤波则滤波及谱截断滤波则：令：则:B. 若采用一般的滤波器则：若采用一般的滤波器则：如采用如采用Gaussian型滤波有如下性质型滤波有如下性质 相当于相当于 尺度的滤波尺度的滤波283. 基本方程基本方程 大尺度量满足的方程大尺度量满足的方程滤波：滤波：亚格子亚格子Reynolds应力应力性质：性质：由于通常情况下由于通常情况下LES亚格子亚格子Reynolds应力与应力与RANS的的Reynolds应力形式有所区别应力形式有所区别RANSLeonard应力应力特点：特点： 无需模型，可直接计算无需模型，可直接计算294. 亚格子亚格子Reynolds应力模型应力模型（（1）） Smagorinsky 模型模型其中其中特点：特点： 模型简单，鲁棒性好模型简单，鲁棒性好缺点：缺点： 在层流区耗散过大，在近壁区不适用。

在层流区耗散过大，在近壁区不适用 需要衰减函数需要衰减函数 A. 基本模型基本模型隐式滤波隐式滤波涡粘模型常用的衰减函数：常用的衰减函数：算出算出 后，乘以该后，乘以该函数即可函数即可只需将原先的粘性系数 换成30（（2）相似模型）相似模型假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的将上式中的将上式中的 换成换成 得得即相似模型即相似模型该模型预测雷诺应力的准确度有所提高该模型预测雷诺应力的准确度有所提高但该模型预测的雷诺应力偏低但该模型预测的雷诺应力偏低 小尺度小尺度大尺度大尺度31（（3）） 梯度模型梯度模型采用采用Taylor分析的方法找出亚格子应力模型分析的方法找出亚格子应力模型若采用若采用BOX滤波滤波32推导过程并不严密，高阶量推导过程并不严密，高阶量 为必是小量为必是小量从相似模型推导，可以得出同样的公式从相似模型推导，可以得出同样的公式缺点：缺点： 稳定性差稳定性差 Liu et al 1994 建议采用限制器：建议采用限制器：33B. 动力学模型动力学模型采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型小尺度G-level F-levelGermano 恒等式：F-level 滤波滤波 滤波尺度为滤波尺度为 ，，G-level滤波滤波 滤波尺度为滤波尺度为 FG-level滤波滤波：特点：特点： 该量无需模型，可直接计算该量无需模型，可直接计算FG-level滤波FG滤波F滤波+ G滤波34（（1）） 动力学涡粘模型动力学涡粘模型 F-levelFG-level预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散的情况。

的情况涡粘系数涡粘系数C动态可调动态可调通过两次滤波，确定该系数通过两次滤波，确定该系数FG滤波，相当于用滤波，相当于用 进行滤波进行滤波可直接计算，无需模型35(2) 动力学混合模型动力学混合模型 基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型36（（3）动力学）动力学Clark模型模型基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型375. 近壁处理近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，，但很多模型却不满足该条件但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数而动力学模型无需衰减函数例如：3814.5.2 可压湍流的大涡模拟可压湍流的大涡模拟压缩性效应：压缩性效应： A. 引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的）引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的） B. 引起流动小尺度结构的变化（如小激波）引起流动小尺度结构的变化（如小激波）弱可压缩下的弱可压缩下的Morkovin理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影响理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影响平均量。

平均量Favre 平均可压槽道湍流的平均密度温度和压力可压槽道湍流的平均密度温度和压力39基本方程基本方程更复杂的非线性项：更复杂的非线性项：粘性项也是非线性的粘性项也是非线性的：出现了压力关连项出现了压力关连项：热传导项也是非线性的热传导项也是非线性的：当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的40对（对（1）进行滤波）进行滤波：41可压缩湍流亚格子雷诺应力模型可压缩湍流亚格子雷诺应力模型能量方程中的亚格子模型能量方程中的亚格子模型42作业作业 14.1 试推导不可压缩湍动能试推导不可压缩湍动能 k 及湍能耗散率及湍能耗散率 e e 所满足的控制方程所满足的控制方程其中：其中：要求：要求： 必须给出详细的推导过程，切勿只照抄最终公式必须给出详细的推导过程，切勿只照抄最终公式参考文献： 是勋刚 《湍流》 第三篇提示：提示： step 1) 写出脉动量满足的方程写出脉动量满足的方程 step 2) 两端乘以两端乘以 并平均，即可的并平均，即可的k满足的方程满足的方程 step 3) (1)式两端对式两端对 求导，乘以求导，乘以 后平均，可得后平均，可得e e方程方程43。