知识讲解-分类加法计数原理和分步乘法计数原理(提高)1227.doc

第 1 页 共 10 页分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理【【学习目标学习目标】】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．【【要点梳理要点梳理】】要点一：分类加法计数原理要点一：分类加法计数原理( (也称加法原理也称加法原理) )1 1．分类加法计数原理：．分类加法计数原理：完成一件事,有n类办法.在第 1 类办法中有1m种不同方法,在第 2 类办法中有2m种不同的方法,……,在第n类办法中有nm种不同方法,那么完成这件事共有nmmmNL21种不同的方法.2 2．加法原理的特点是：．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成 n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和3 3．图示分类加法计数原理：．图示分类加法计数原理：由 A 到 B 算作完成一件事.直线型流程线表示第 1 类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第 2 类方案中包括的方法数。

从图中可以看出，完成由 A 到 B 这件事，共有方法 m+n 种要点诠释：要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数， “类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中要点二、分步乘法计数原理要点二、分步乘法计数原理1.1.分步乘法计数原理分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤” ，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算完成．2 2．乘法原理的特点：．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：要点诠释：第 2 页 共 10 页使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积3.3.图示分步乘法计数原理：图示分步乘法计数原理：由 A 到 C 算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从 A 到 B、从 B 到 C要点诠释：要点诠释：从 A 到 C 算作完成一件事，A 是起点，C 是终点，点 B 是中间单元，从 A 到 B 是第 1 步，从 B 到 C 是第 2 步。

用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A→B，有 m 种方法；B→C，有 n 种方法；A→C，有 mn 种方法要点三要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理和分步计数原理的区别：1 1．分类计数原理和分步计数原理的区别：．分类计数原理和分步计数原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这 n 类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分 n 个步骤，这 n 个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这 n 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．2.2. 应用两个原理的分别要注意：应用两个原理的分别要注意：若用分类计数原理，要做到“不重不漏” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．要点四要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用分类计数原理和分步计数原理的应用1.1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型①分类或分步。

②先分类，再在每一类里再分步③先分步，再在每一步里再分类，等等3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？2.2.利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项：利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项：（1）应用分类计数原理，应注意：第 3 页 共 10 页①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；③两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；④完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).（2）应用分步计数原理，应注意：①任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；②各步计数相互独立； ③只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同.3.3.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步类与步的关系式辩证的有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。

下面用用流程图直观描述1）类中有步情形从 A 到 B 算作一件事的完成完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第 2 类办法中有2 步，每步的方法数见箭线下面的 mi，i=1，2，3，4，5完成 A→B 这件事，共有方法数为 m1m2m3+m4m52）步中有类情形从 A 到 D 算作完成一件事，简单地记为 A→D完成 A→D 这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D其中 B→C 这步又分为三类，这就是步中有类箭线下面的 mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数完成 A→D 这件事，共有方法数为 m1(m2+m3+m4)m5要点诠释：要点诠释：① 对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为：“类”用“+”号连结， “步”用“×”号连结， “类”独立， “步”连续， “类”标志一件事的完成， “步”缺一不可② 使用计数原理解题，大部分离不开分类分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类典型例题典型例题】】类型一、分类加法计数原理类型一、分类加法计数原理例例 1.1. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．第 4 页 共 10 页【思路点拨】首要问题是搞清与正八边形有公共边的三角形有几类。

总结升华】应用分类计数原理，应注意：①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；举一反三：举一反三：【变式 1】用数字 1,2,3 可写出多少个小于 1000 的正整数? (各位上的数字允许重复)【答案】分三类情况：①一位整数，有 3 个；②二位整数，有23 33个；③三位整数，有33 3 33 个；故共有2333339个变式 2】 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【答案】根据题意，将十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个．由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） ．【变式 3】从 1,2，3，…,10 中选出 3 个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？【答案】根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4 四类.公差为±1 时，有 8×2＝16 个；公差为±2 时，满足要求的数列共 6×2＝12 个；公差为±3 时，有 4×2＝8 个；公差为±4 时，只有2×2＝4 个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列 16＋12＋8＋4＝40 个. 类型二、分步乘法计数原理类型二、分步乘法计数原理例例 2.2.体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3 个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A．12 种 B．7 种 C．24 种 D．49 种【思路点拨】首先弄明白完成一次进出门需分两步走，先进再出。

解析】第 5 页 共 10 页错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的 4 个门进，一类从南侧的 3 个门进，由分类计数原理，共有 7 种方案. ∴选 B错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有 7 种选择，同样出门也有 7 种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49 种. ∴应选 D．【总结升华】解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数．举一反三：举一反三：【变式 1】从甲地到乙地，一天中有火车 2 班，从乙地到丙地，一天中有汽车 3 班，那么从甲地经乙地到丙地共有 种不同的走法答案】6；完成这件事，分两个步骤：第一步是乘火车，有 2 种不同方法；第二步是乘汽车，有 3 种不同方法则完成这件事，由分步计数原理，共有 N=2×3=6 种不同方法变式 2】 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） ．A．300 种 B．240 种 C．144 种 D．96 种【答案】 四个游览城市中只有巴黎有限制要求，甲、乙不去，因而可以先安排去巴黎的人，再依次安排去其他城市的人，整个事件的安排可以分为四步，每一步安排一个城市，因而按分步乘法计数原理计算．去巴黎的人为除甲、乙两个人外的其余四人，只能有一人去，所以有 4 种选择．再安排一人去剩下的三个城市中的一个，比如伦敦，剩余有五人，因而有 5 种选择．再从剩下的四人中选一人去剩下的两个城市中的一个，所以有 4 种选择．最后一个城市只能从剩余的三人中选一人，所以有 3 种选择．所以 4×5×4×3=240（种） ．【变式 3】甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( )．A．6 种 B．12 种 C．24 种 D．30 种【答案】C类型三、两个原理的对比应用类型三、两个原理的对比应用例例 3.3. 一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同．第 6 页 共 10 页（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？【思路点拨】欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法：从第一个口袋内取，或从第二个口袋内取，都能完成这件事，所以第（1）题可用分类加法计数原理来解．欲完成从两个口袋内各取一个小球，需分两个步骤：第一步，在第一个口袋内任取 1 个小球；第二步，在第二个口袋内任取 1 个小球，两个步骤都完成了这件事就完成了，因此第（2）题用分步乘法计数原理．【解析】（1）从两个口袋内 i 任取 1 个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取 1 个小球，可以从 5。