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单摆实验教学设计人教版(精汇教案).docx

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    • 综合设计性单摆实验讲义毛杰健,杨建荣单摆是由一摆线l连着重量为的摆锤所组成的力学系统, 是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现,摆长一定的摆,其摆动周 期不因摆角而变化,因此可用它来计时,后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果,发明了 摆钟如今进行的单摆实验,是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性 运动行为练习一是单摆的基础实验,适用于大学低年级开设,练习二是单摆的设计性实验, 适用于高年级学生学习和认识非线性物理开设练习一单摆的基础实验实验目的、学会使用计时器和米尺,测准摆的周期和摆长验证摆长与周期的关系,掌握使用单摆测量当地重力加速度的方法初步了解误差的传递和合成二仪器与用具单摆实验装置,计时器,米尺三实验原理利用单摆测量当地的重力加速度值用一不可伸长的轻线悬挂一小球,作幅角 日很小的摆动就是一单摆如图所示设小球的质量为,其质心到摆的支点 的距离为l (摆长)作用在小球上的切向力的大小为mg sin 6 ,它总指向平衡点 O'当日角很小,则sine ,切向力的大小为 mgO ,按牛顿第二定律,质点的运动方程为ma切=-mg sin @ ,d汨 ml —2 dt=-mg sin 日,因为sin6电日,所以立二3,2 )出2 l()这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动 )()式的解为e(t) =Pcos(80t 十句,式中,P为振幅,e为幅角,切0为角频率(固有频率)T为周期。

      可见,图1单摆示意图单摆在摆角很小,不计阻力时的摆动为简谐振动,简谐振动是一切线性 振动系统的共同特性,它们都以自己的固有频率作正弦振动,与此同类的系统有:线性弹簧上的振子,振荡回路中的电流,微波与光学谐振腔中的电磁场,电子围 绕原子核的运动等,因此单摆的线性振动,是具有代表性的由()式可知该简谐振动固有角频率80的平方等于g/l,由此得出l 2 lT =2冗 J一, g =4几产, ()■ g 1单摆侧面图 单摆正面图图2单摆结构示意图由()式可知,周期只与摆长有关实验时,测量一个周期的相对误差较大,一般是测 量连续摆动个周期的时间,由()式得()4- 2 n2l g =4n-2r,式中冗和不考虑误差,因此()式的误差传递公式为从上式可以看出,在国、1、分别用米尺和游标卡尺()△t大体一定的情况下,增大l和对测量有利四实验内容,测量摆线长和摆球的半径.摆长l等于摆线长加摆球的半径2、当摆球的振幅小于摆长的 工时,摆角日<5'123、如果用停表测量周期,当摆锤过平衡位置 O,时,按表计时,握停表的手和小球同步运动, 为了防止数错值,应在计时开始时数“零” ,以后每过一个周期,数,以减少测量周期的误差。

      4、如果用计时器测量周期,参见附录有关计时器的使用.5、重力加速度的测量实验方案一:改变单摆的摆长l ,测量在5 <5二的情况下,连续摆动次的时间,填入表中表:改变摆长l ,在日<5 =的情况下,连续摆动次时间的测量结果摆长l ()周期()周期()周期()周期()表的测量数据,有二种处理方法:(1)作图法:根据表的数据,作l直线,在直线上取二点和,求直线斜率K = y1 - y2 ,由()x1 - x2根据()式求重力加速度(2)计算法:根据表的数据 的重力加速度,,,,,, 算不确定度.,分别计算,不同摆长 然后取平均,再计式知实验方案二:不改变单摆的摆长l ,测量在5 <5二的情况下,连续摆动次的时间参考“六 测量举例”处理实验数据测量同一摆长不同摆角下的周期,比较摆角对的影响 表摆角对周期的影响摆角0 (度)周期()五回答问题、设单摆摆角H接近0一时的周期为To,任意摆角日时周期,二周期间的关系近似为1 2 1T=T0(1+4Sin2 2),若在e =10 =条件下测得值,将给值引入多大的相对误差?、有一摆长很长的单摆,不许直接去测量摆长,你设法用测时间的工具测出摆长?六测量举例用单摆测表 用游标卡尺测求的直径()表用米尺测摆线长x1 (cm)x2 (cm)dl =x2 - x1 + 一2表 用电子秒表或用计时器测的值()l =1.1362 ±0.0001 (m),t = 106.88 士 0.02 (s),已知 g =4n2l n2/t2,Ag/g /l +2xM/t ,结果 g =9.817 ±0.005(m/s2),上述结果中的0.005(m/s2)仅为标准偏差,未估计其它的不确定度。

      练习二单摆的设计性实验一实验目的、学会用相图法探究单摆的运动行为改变摆线和摆球,考查阻力对单摆运动行为的影响二实验原理单摆的线性振动是一种近似,实际上,单摆在振动的过程中,既受到阻力又与摆角有关, 在小阻尼条件下,可认为单摆所受到的阻尼力与摆的速度成正比,因此,在单摆的运动方程 中加进了阻尼力项后,其动力学方程为:d2u d1m l -+ 11 — +m g sin 日=0 , ()dt2 dt式中,第二项就是单摆受到的阻尼力,尸为阻尼系数,在小阻尼条件下,了可视为常数,取P =一,P为无量级阻尼系数,由()式,得2md% dr—2- +2P ——+«o sin 0 = 0 ,出 dt()式为一非线性方程物体运动的非线性行为比较复杂,下面我们讨论()式的几种特殊 情况,介绍描述运行行为的相图法小角度无阻尼单摆运行的相轨图无阻尼情况下,¥ =0(p =0)正弦函数用级数展开为sin 3一二3!5!——十7!在小角度情况下,忽略()式的高次项, 进行一次积分,得sine =日,由式退化到()式,并对()式2净2—02 r22 = E,d为积分常数,设 日=2—为角速度,则有dt2 =2E,如果设()式中的 日为横坐标,e,为纵坐标,()式表示的图像如图所示。

      把以 S和日定义的平面称为相平面(相空间),在相平面中,表示的运动关系图称为相图,由()式决定的 单摆运动行为的相图,为一椭圆,这种在相平面上表示运动状态的方法,称为相平面法相 图上每一个点表示了系统在某一时刻的状态,如图中的摆角与角速度运动状态图,系统的运 动状态则用相图上的点的移动来表示,点的运动轨道称为轨线这种用相空间里的轨线来表示系统运动状态的方法是法国数学家宠加莱()于世纪末提出的 ,已成为广泛使用的一种描述系统运动状态的方法对于小摆角无阻尼的单摆运动,摆长 I 一定时,其椭圆轨线的长短轴不变,当改变摆长 i时,将得到不同的椭圆轨线相轨线的测量:选定摆长I,使摆球作小角度摆动,调节光电门竖直和水平控制杆,使摆 球的档光片经过光电门,将光电门竖直杆调节到某一角度,测量摆球经过该位置时,来回的即时速度,角速度 S=v/1调节光电门到新的位置,测量结果填入表中,根据表的测量结果作日S图表 小角度无阻尼单摆的角度与角速度的测量结果6向左向右e = v /1向左向右利用0日相轨图,研究小角度无阻尼的单摆动运行规律,并与练习一进行比较小角度阻尼单摆的运动行为研究将单摆的摆线加粗,摆球的质量减小而体积增大,如用乒乓球,组成一个阻尼单摆,此时阻力对单摆的影响更加明显,不能忽略, ()式中的P不为零,由于是小角度,可近似认为sind =日。

      由()式得d% d1 2.——2- + 2 0 — +600=0, 0dt dt设()式有如下形式的解H=e 丸, ()式中,九为待定常数,将()式代入()式,得特征方程九2 +2P九十伊02 = 0, ()解特征根方程()式,得%,2 =邛 NF? Y , ()由于单摆是小阻尼,所以 p2 -w02 <0,取8=¥%02 — P2 ,代入()式,得%,2 = 士心, ()由此,可得()式的解为C =Ge(芈6t +c2e("") ne'Cei⑭ +c2e*J),()因为e为实函数,所以g,c2必须满足条件c;e」t C2ei t = ciei t Cze」t,由此得 g =c2,c2 =将满足这种条件的系数 c,,c2写成指数形式,有P i P 4Ci = -e , C2 =-e ,2 2式中,为它们的模,中为幅角,代入()式,得日=pe" cos俾 t +中),可见,阻尼单摆是幅度pe*随时间作指数衰减的周期振荡, 且振动频率8=收-P2 ,因阻尼P >而减小为了给出在相平面的图像,对()式微分,得8=—pe*[ P cos®t +中)+缶 sin(^t + 中)] ()图3小角度无阻尼单摆运动的相轨线图4小角度有阻尼单摆运动的相轨图如果设日为横坐标,S为纵坐标,借助符号运算软件,作()和()式联合的参数图,结果如图所示。

      可见,小角度有阻尼单摆的运动相轨图为螺旋线,单摆的运动因阻尼的存在, 而停止在坐标的原点,这一点称为不动点自行设计实验方案,测量小角度有阻尼单摆运动的行为,并用相轨图法,研究阻尼单摆 的运动行为附录:单摆的调节调节使用说明附录:计时器的调节使用说明生活不是等待风暴过去,而是学会在雨中翩翩起舞 ,不要去考虑自己能够走多快,只要知道自己在不断努力向前就行,路对了,成功就不远了放弃了,就不该后悔失去了,就不该回忆放下该放下,退出那没结局的剧我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾,一点点的拥抱去疗愈受伤的心,一点点的休息去继续前行 ,少壮不努力,老大徒伤悲 ,每个人的人生都是不一样的,处同样的位置,也是有人哭,有人笑,有人沉默穷人缺什么:表面缺资金,本质缺野心,脑子缺观念,机会缺了解,骨子缺勇气,改变缺行动,事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验,世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验 ,不要抱着过去不放,拒z新的观念和挑战 ,每个人都有退休的一天,但并不是每个人都能拥有退休后的保障觉得为时已晚的时候,恰恰是最早的时候 ,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的,未学到的痛苦是终生的 ,学习这件事,不是缺乏时间,而是缺乏努力 ,幸福或许不排名次,学习并不是人生的全部。

      但既然连人生的一部分一一学习也无法征服,还能做什么呢。

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