与三角形有关的定理和公式.docx

与三角形有关的定理和公式正弦定理：设三角形的三边为a、b、c,他们的对角分别为A、B、C,外接圆半 径为r,则称关系式=2r为正弦定理sin A sin B sin C余弦定理：设三角形的三边为a、b、c,他们的对角分别为A、B、C,则称关系 式/ = b2 + c2 — 2bc cos A, b2 = a2 + c2 — 2ac cos B, c2 = a2 + b2 — 2ab cos C 为余弦定理二倍角公式(a) sin 2a = 2 sin a cos a(b) cos 2a = cos 2 a — sin2 a = 2cos 2 a — 1 = 1 — 2sin2 a(c) tan 2a = sin a sin 仔=—-[cos a + 仔 tan a1—tan 2 a以正切表示二倍角：(a) sin 2a = 2tan °1+tan 2 a(b) cos 2a = 1—tan2a1+tan 2 a(c) tan 2a = 2 tan a1—tan 2 a三倍角公式：(a) sin 3a = 3 sin a — 4sin注意：此时公式前有 负号a(b) cos 3a = 4cos3a — 3 cos a积化和差公式或：1sin a sin 仔=-[cos a — B — cos a + 仔]2注意：此时 差的余弦在和的余弦前面1cos a cos 仔=-[cos a + 仔 + cos a — B ]21sin a cos 仔=-[sin（a + 仔）+ sin（a —仔）]21cos a sin 仔 =-[sin（a + 仔）—sin（a —仔）]2和差化积公式:sin a + sin 仔sin a — sin 仔cos a + cos 仔cos a — cos 仔a + B a — B=2 sin cos —2 2a+B a—B=2 cos sin2 2a+B a—B=2 cos cos —2 2a+B a—B=—2 sin sin2 2注意右式前的负号记忆口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦或：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂或：正加正余正减余正余加余余 余减负正正双曲函数sh6 =chx =ee + e—e2~th3sh3ch350100510sinh(0) cos 11(6) ta 1111(0) 诱导公式常用的诱导公式有以下六组：（公式一〜公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变）S1 RCJ 击曲P百強口 &密CD公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin((2kn + a)=sina(ke z)cos(2kn + a)=cosa(ke z)tan(2kn + a)=tana( ke Z)cot(2kn + a)=cota( ke z)sec(2kn + a)=seca( ke z)csc(2kn + a)=csca( ke z)公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin (n + a)= — sinacos (n + a)= — cosatan (n + a)= tanacot (n + a)= cotasec (n + a)= — secacsc (n+ a)= — csca公式三：任意角 a 与 -a 的三角函数值之间的关系：sin ( — a)= — sinacos ( — a)= cosatan ( — a)= — tanacot ( — a)= — cotasec ( — a)= secacsc( — a)= — csca公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin((n-— a)=sinacos(n— a)=一 cosatan(n— a)=一 tanacot(n— a)=一 cotasec (n — a)= — secaesc (n — a)= csca公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin((2n — a)=一 sinacos(2n — a)=cosatan(2n — a)=一 tanacot(2n — a)=一 cotasec(2n — a)=secacsc(2n — a)=一 csca小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限。

即a+k・2n(k£Z), -a, n±a, 2n—a的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个 把a看成锐角时原函数值的符号公式六：n/2±a及3n/2±a与a的三角函数值之间的关系：1・n/2 + a与a的三角函数值之间的关系sin((n/2 + a)=cosacos(n/2 + a)=—s inatan(n/2 + a)=一 cotacot(n/2 + a)=一 tanasec(n/2 + a)=一 cscacsc(n/2 + a)=seca2・ n/2 --a与a的三角函数值之间的关系sin((n/2 — a)=cosacos(n/2 — a)=sinatan(n/2 — a)=cotacot(n/2 — a)=tanasec(n/2 — a)=cscacsc(n/2 — a)=seca3・3n/2 + a与a的三角函数值之间的关系sin((3n/2 + a)=一 cosacos(3n/2 + a)=sinatan(3n/2 + a)=一 cotacot(3n/2 + a)=一 tanasec(3n/2 + a)=cscacsc(3n/2 + a)=一 seca4. 3n/2 — a与a的三角函数值之间的关系温馨提示：1.最好将a看成是锐角。

2.k e zsin((3n/2 — a)=一 cosacos(3n/2 — a)=一 sinatan(3n/2 — a)=cotacot(3n/2 — a)=tanasec(3n/2 — a)=一 cscacsc(3n/2 — a)=一 seca总结记忆：奇变偶不变，符号看象限奇偶是针对 k 而言的，变与不变是针 对三角函数名而言。