第2讲代数运算的同态和同构资料.ppt

第2讲 1-4 运算性质 1-5 代数运算的同态和同构,,2,1-4 运算性质,定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.,3,实例分析,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.,4,二元运算的性质（续）,定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律.,5,实例分析,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.,,补充题,目录,练习题,判断下列定义在有理数集合上的代数运算是否适合结合律、交换律？,1 问题的提出,结合律和交换律是只同一种代数运算发生关系,而分配律是同两种代数运算发生关系的一种规律.,1.6 与两种代数运算发生关系的运算律 ——分配律,2 第一(左)分配律,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n2；P(S)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 .,,例题,3 第二(右)分配律,定理2,与代数运算发生关系的映射 —同态映射（8-9节）,1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例,1.最初的思想,如何比较两个代数系统? 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,我们比较两个代数系统 和 . 第一,我们需要一个映射 ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体的说,假如 和 是 的两个元,那么 和 都有意义,都是的元.保持运算即下面等式成立:,,,,上面的等式即:,换一种表示，假定在 之下的像，,2 同态映射与性质,,,,,,,,,,,,注: 同态映射简称为态射.,,,,,＝{所有整数}, 的代数运算是普通加法. , 的代数运算是普通乘法.,,,,,,,,定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, ,都有:,定义与例子,,,,例1 证明 ( 是 的任一元) 是一个到的同态映射. 证明 ……,,,,,,,,,,,,,例2 : , 若是偶数 , 若是奇数 证明: 是一个 到 的满射的同态映射.,,证明: 显然, 是 到 的满射.对于 的任意两个整数 和 来说,分三种情况:,(1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 , , 所以,,(2)若 , 都是奇数……,(3)若 和 奇偶性相反,……….,,,,,,,,,,,,例3 : ( 是 的任一元) 固然是一个 到 的映射,但不是同态映射.因为,对于任意 的 和 来说,,定义2 (1)单同态:同态+单射 (2)满同态: (3)同构映射:,进一步的定义,,,,性质1 设 是三个代数系统,并且 是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, 仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射),,,性质,性质2 设 是一个同构. 那么， 也是一个同构.,,,证明: (1) 是双射 (2) 保持运算. 看一个关键等式,3 同态的代数系统,,,,,,,,,定义 和 是两个代数系统,如果存在一个 到 的同态满射 ,就称 和 同态. 记号:,,5 举例,例3,例2,例1,4 可单向传递的性质,,,,,,,,,定理1 假定,对于代数运算 和 来说, 到 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.,,,,,,,,,,,,,,于是,证明 我们用 来表示 到 的同态满射. （1）假定 是 的任意三个元. 由于 是同态满射,我们在 里至少找得出三个元 , , 来,使得在 之下,,(2)同学们按照上面的方法,给出证明.,注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性,,,,,,,,,,,,,,,,,定理2 假定, 都是集合 的代数运算, 都是集合 的代数运算,并且存在一个 到 的满射 ,使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数运算 来说也同态.那么 (1) 若 适合第一分配律, 也适合第一分配律. (2) 若 适合第二分配律, 也适合第二分配律.,证明 ……,,,,注: , 由 的性质可以推出 具有同样的性质; 反过来不成立.,5 同构的代数系统及其意义,定义,定义 和 是两个代数系统,如果存在一个 到 的同构映射 ,就称 和 同态.,,同构的代数系统意味什么,,,,,在A的运算表, 进行变换:,变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……,同构的两个代数系统由运算所带来的规律性是相同的,因此,同构的两个代数系统尽管可能有这样或那样的差别,但从近世代数的宗旨来看,我们自然认为:它们的差别是表面上的,次要的,而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的,主要的.于是,我们需要阐明近世代数的观点是:凡同构的代数系统都认为是(代数)相同的.,同构的两个集合之间关系的结论,在上述的观点下,一个代数系统经同构 映射而保持不变的性质叫做它的代数性质. 于是,由代数运算所表述的任意一个性质都 是代数性质.我们将代数体系的代数性质的 总合统称为它的代数结构.因此,同构的代数 体系由于完全相同的代数结构.研究代数体 系的首要目的就是确定所有互不同构的的 代数结构.而为了确定一个代数结构,只须 让它与一个已经清楚的代数结构同构则可.,定理,,,1.9 自同构,同态 映射,同态 满射,单射,同构 映射,满射,自同态 映射,自同态 满射,自同构 映射,满射,单射,,,,,,,,作业3: P23: 1 P26:1,3,The end, thank you!,补充,证明,证明,证明,证明,。