贵州省贵阳市花溪中学数学竞赛座明快简捷构造方程的妙用(含答案).doc

第 1 页（共 7 页）第四讲第四讲 明快简捷明快简捷—构造方程的妙用构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是： 1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如ayx，bxy 的关系式时，则x、y可看作方程02bazz的两实根．3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解例题求解】【例 1】 已知x、y是正整数，并且23yxxy，12022 xyyx，则22yx ． 思路点拨思路点拨 xyyxyx2)(222，变形题设条件，可视yx、xy为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例 2】 若1ab，且有09200152aa及05200192bb，则ba的值是( ) A．59B．95C．52001 D．92001思路点拨思路点拨 第二个方程可变形为09200152bb，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例 3】 已知实数a、b满足122baba，且22baabt，求t的取值范围．思路点拨思路点拨 由两个等式可求出ba、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．第 2 页（共 7 页）【例 4】 已知实数a、b、c满足2cba，4abc．(1)求a、b、c中最大者的最小值；(2)求3cba的最小值．思路点拨思路点拨 不妨设 a≥b，a≥c，由条件得acb2，abc4．构造以 b、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0 探求a的取值范围，并以此为基础去解(2)．注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例 5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003 年全国初中数学联赛试题)思路点拨思路点拨 设前后两个二位数分别为x，y，则有yxyx100)(2，将此方程整理成关于x(或y)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x)的取值范围． 第 3 页（共 7 页）学历训练学历训练1．若方程01) 32(22xmxm的两个实数根的倒数和是s，则s的取值范围是 ． 2．如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝5，CD⊥AB，已知 BC、AC 是一元二次方程0) 1(4) 12(2mxmx的两个根，则 m 的值是 ．3．已知a、b满足0122 aa，0122 bb，则ab ba= ．4．已知012，012， ，则的值为( )A．2 B．-2 C．-1 D． 0 5．已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形 ABCD 的面积 S的最小值为( )A．21 B． 25 C．26 D． 36 6．如图，菱形 A6CD 的边长是 5，两条对角线交于 O 点，且 AO、BO 的长分别是关于x的方程的根，则m 的值为( )A．一 3 B．5 C．5 或一 3 n 一 5 或 37．已知0522pp，01252 ，其中p、q为实数，求221qp的值．8．已知x和y是正整数，并且满足条件71yxxy，88022 xyyx，求22yx 的值．第 4 页（共 7 页）9．已知05232 mm，03252 nn，其中 m、n 为实数，则nm1＝ ．10．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb与542aabc，那么a的取值范围是 ． 11．已知017101422522yxxyyx，则x= ，y= ． ；12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若 D、E 分别是 AB 和 AB 延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以 AD 和 AE 的长为根的一元二次方程是 ． 13．已知a、b、c均为实数，且0cba，2abc，求cba的最小值．14．设实数a、b、c满足066078222abccbabca，求a的取值范围．第 5 页（共 7 页）15．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，813 ABCABCD SS梯形，梯形的高 AE=235，且401311BCAD．(1)求∠B 的度数；(2)设点 M 为梯形对角线 AC 上一点，DM 的延长线与 BC 相交于点 F，当323125ADMS，求作以CF、DF 的长为根的一元二次方程． 16．如图，已知△ABC 和平行于 BC 的直线 DE，且△BDE 的面积等于定值2k，那么当2k与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线 DE，有几条?第 6 页（共 7 页）参考答案参考答案第 7 页（共 7 页）。