时域离散信号和系统的频域分析.ppt

第二章第二章 Z变换变换 与离散时间系统的频域分析与离散时间系统的频域分析主要内容•Z变换•逆Z变换•Z域分析•序列的付里叶变换•系统函数系统分析方法时域法频域法拉普拉斯变换付里叶变换Z变换付里叶变换连续系统离散系统Z变换作用变换作用：利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具差分方程转换为代数方程，而且代数方程中包括的初始状态，从而能够求出系统的零输入响应和零状态响应1、Z变换Z变换的导出：拉普拉斯变换，定义1.1 Z变换的定义变换的定义一个离散序列 x(n)的Z变换定义为：       其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面常用Z[x(n)]表示对序列x(n)的 z 变换，即：这种变换也称为双边 z 变换，与此相应还有单边 z 变换      单边 z 变换只是对单边序列（n≥0部分）进行变换的z变换，其定义为：或       单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列因果序列情况下的双边z变换。

           一般，序列的Z变换                         并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足        因为对于实数序列，         因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为：                                          Rx-<|z|

这里主要讨论序列特性对ROC的影响（分为四种序列）：1）） 有限长序列有限长序列Z变换为： X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n<∞，n1≤n≤n2 显然 |z| 在整个开域（0，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及∞两个点（对应n<0和n>0不收敛）以外的整个 z 平面： 0<|z|<∞只有有限个样点  如果对n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，则根据条件|z|-n<∞（n1≤n≤n2），收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域：几种具体情况：例：求下列序列的Z变换：双边变换：单边变换：（1）可见，其单边和双边变换相等，且与Z无关的常数1，因而在Z的全平面收敛2）可见，其单边和双边变换不同，对于双边变换，除z=0, ∞点外的任意Z值，X(z) 都有界，因此收敛域为0<|z|<∞对于单边变换，收敛域为|z|>0                  例:     矩形序列x(n)=RN(n)，求其Z变换，并确定收敛域。

即：2）） 右边序列右边序列 指 x(n)只在n≥n1时有不为零的值，而nn2时，x(n)=0（1）n2>0，收敛域：0< |Z|Rx-，收敛域为Rx-<|z|

不存在 Z 变换式的情况：例如，序列就没有 Z 变换，因为它在 n = 0 点的值等于无穷可以证明，只有指数阶序列才存在有 Z 变换Z Z变换小结变换小结(1) Z 变换收敛域的特点： 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x(n)=δ(n)的收敛域是整个 z 平面2) Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）3) 几种情况： a) 有限长序列，其双边变换收敛域在整个平面（可能除了0和/或∞点）收敛 b) 因果序列Z变换的收敛域为|z|>|a|的圆外区域，|z|=|a|称为收敛圆 c) 非因果序列Z变换的收敛域为|z|<|b|的圆内区域，|z|=|b|称为收敛圆1.3 z变换的性质变换的性质（1）线性 若x1(k) ←→X1(z)，x2(k) ←→ X2(z)，对任意常数a1,a2，则： a1x1(k)+a2x2(k) ←→a1X1(z)+a2X2(z) ROC：是X1(z)和X2(z)的ROC相交部分有不相交的可能）（2）移位性质 单边与双边序列Z变换的移位特性有重要差别，这是因为两者定义中求和的下限不同的缘故。

比如：5443232102 3 4-1-2-3-4x(k)k5443232302541-1-2x(k-2)k65443232-1-501 2-2-4 -3-6x(k+2)k5432102 3 4x(k)u(k)k544323324 5 610x(k-2)u(k)k3201 2x(k+2)u(k)k从图中也可以看出，对于双边变换，求和在-∞和∞范围内进行，移位后没有丢失原序列的信息；而对于单边Z变换，求和在0和∞范围内进行，移位后的序列较原序列的长度有所增减※※ 双边双边Z变换的移位：变换的移位：若x(k) ←→X(z)，a<|z|0,则： x(k±m) ←→z±mX(z) ，a<|z|

因为，如果分子的阶次高于分母，则将趋于无穷，而不是一个有限值 初值定理也隐含地表明，因果序列 z 变换的收敛域应包括∞点，这也为我们提供了一个从收敛域判断因果性的判据 (6)终值定理（单边Z变换） 若 x [ n ] 是一个因果序列，并在 n → ∞ 时收敛，则 应当注意，终值定理仅当 x [ n ] 在 n → ∞ 时收敛才有效，只有在此条件下，上式两边的极限值才相同，否则，会得出不正确的结果 求上式中 z = 1 的极限时，其求解过程必须在收敛域内进行， 这也要求单位圆必须在收敛域内如果单位圆在 X ( z ) 的收敛域以外，则上式的极限运算将毫无意义 如果在收敛域内不包括单位圆时应用终值定理，则将导致错误的结果不过，这里有一个例外，即当 X ( z ) 在 z = 1 点只有一个一阶极点，而其余极点都在单位圆以内的情况下，终值定理仍成立 例：已知序列 x [ n ] 的 z 变换为 X ( z ) ，求 x [ n ] 之终值 (1) 如果应用终值定理，可以求得 然而，通过求逆变换可知 可见， x [ n ] 是一个发散的序列，其终值不是-1，而是无穷因此，终值定理得到的结果是不正确的，其原因在于单位园不在 X ( z ) 的收敛域内。

(2) 同样，利用终值定理可求得 显然，这个结果也是不正确的，因为 X ( z ) 的逆变换为，这是一个以2为周期的周期序列，其终值不收敛出现这种错误的原因同前例一样，是因为 X ( z ) 的极点在单位园的 z = -1上，收敛域不包括单位园 上面的两个例子说明，即使在时的极限收敛，时也不一定收敛 而序列x [ n ] 在(3) 此例 X ( z ) 有两个单阶极点，其中一个在单位园的 z = 1上，而另一个在单位园内的 z = 1/2上，利用终值定理可以求得 可以求得 X ( z ) 的逆变换为 由此可知，终值定理所求得的结果是正确的可见，当因果序列仅在 z = 1 点有一个一阶极点，而其它极点在单位园内时，可以利用终值定理求解序列的终值 1.4 常用序列的常用序列的z变换变换例：解：2、逆Z变换由象函数X(z)求取原序列x(k)的过程方法：幂级数展开法、部分分式法、留数法等常用部分分式法c 为 X ( z ) 的收敛域内、围绕坐标原点的逆时针闭合积分路径，即利用上式求逆变换时应注意3个条件，即： 1.积分围线在收敛域内 ； 2.积分围线围绕原点； 3.逆时针方向积分 。

　　　　　　　　1）幂级数展开法（长除法） 将X(z)写成幂级数的形式，级数的系数就是要求的序列x(k)注意：因果序列和非因果序列的象函数分别是z-1和z的幂函数，因此，需根据给定的收敛域先判断是因果序列还是非因果序列如：例：（1）根据收敛域，知x(k)为因果序列，展开时，其分子分母按z 的降幂排列，即展开为Z-1的幂级数z2-z-2z21+z-1+3z-2+5z-3+…z2-z-2z+2﹕（2）根据收敛域，知x(k)为非因果序列，展开时，其分子分母按z 的升幂排列，即展开为Z的幂级数3）收敛域为环状区域，其原序列为双边序列，将X(z) 展开为部分分式形式如下，知x1(k)为因果序列， x2(k)为非因果序列非闭合解},31,31,31,31,31,61,121,{)(3161121)(31313131)(2323211LLLL-----=---=+-+-=k=0­ ­---kxzzzzXzzzzX原序列为：，可得：分别展开，利用长除法2）部分分式法为什么要求真公式呢？其原因在于，如果是假分式，则分解的系数不唯一 ，如：展开式中有四个待定系数，但通过和 X ( z ) 的分子进行比较时只能列出三个方程，故而4个待定系数的解不唯一。

 分式展开一般有两种情况：1）对 X ( z ) 的单极点进行展开；2）是对 X ( z ) 的重极点进行展开 （1）假设 X ( z ) 的全部极点z1、z1、··· 、zm 都是一阶单极点， 则 可以展开成 求得展开式中的各个系数为 当各个系数确定以后，可将 X ( z ) 表示为 对照指数序列的Z变换可求得 X ( z ) 的逆变换为 （2）如果 X ( z ) 中有高阶极点，例如设 zi 是其 k 阶重极点，此时，对应于 k 阶重极 点 zi 的部分分式应修正为 各个系数按下述公式计算 重极点 zi 所对应的逆变换为 <<-+--+-+--==-==-=-+-+-+-=21321221)(1, 1, 2, 132121)(43214321zzzzzzzzzzXkkkkzkzkzkzkzzX故得：得：>-+--=<>>>11221)(2, 11,21ROC1zzzzzzXzzzz即：，属于非因果序列后两项收敛域满足属于因果序列，，满足分别为可知，前两项的收敛域根据L=+=---=-=<-+--=)()()() 1()32()()(])21(2[)(232)(21212kxkxkxkukxkukxzzzzzzXkkk故：查表得：例例：：已知，求逆变换 x [ n ] 。

X ( z ) 有一个一阶极点 z = 3， 一个二阶极点 z = 5， 由于收敛域 | Z | ＞ 5包括 ∞ 点，故 x [ n ] 是一个因果序列 确定系数：因此：所求逆变换为 ：3）留数法求逆变换的留数法也称为围线积分法，其理论依据是复变函数中的留数定理 所谓留数定理，即包含所有极点的围线积分值等于各个极点的围线积分值之和，而每个极点的围线积分值称为该极点之留数，记为 式中，z m 为 X ( z ) z n - 1 的极点，Res 表示极点的留数 如果z m为一阶极点： 如果z m为N阶极点，则改求c外的所有极点留数之和：其中，zl为c外极点P(z)和Q(z)的阶数分别为M和N，满足N-M-n≥1在计算留数时要注意以下几个问题： 1.计算 X ( z ) z n - 1 的各个极点的留数，而不仅仅是 X ( z ) 的极点； 2.随着n值的不同， X ( z ) z n - 1 可能会在原点 z = 0 处出现一些不同阶次的极点，对这些极点也需进行计算； 3.极点的留数只和该极点的位置及阶次有关，而与其它极点无关 需要强调指出的是，为了计算 n < 0 时的序列值，必须考虑到，当 n < 0 时，由于 n 值的不同， X ( z ) z n - 1 将在 z = 0 处出现不同阶次的极点，这样，序列在 n < 0 时的序列值将由相应阶次的极点以及 X ( z )本身在围线内的极点的留数构成。

而对于一个左边序列来说，尽管围线内不包括 X ( z )的任何极点，然而，由于 n < 0 时 X ( z ) z n - 1 将在 z = 0 处出现不同阶次的极点，这样，对于不同的 n 值， X ( z ) z n - 1 将有相应的留数，所有这些留数之和就构成了左边序列 不满足N-M-n≥1时，zm为N阶极点的留数由下式求出：例：ROCX(z)为左边序列，收敛域在极点内侧，故积分围线将不含有X(z)的极点当 n ≥ 0 时，围线内无极点，故 x (n ) = 0;当 n < 0 时，围线内只在 z = 0 点出现不同阶次的极点，分别计算可得 :n = -1：一阶极点，其留数为 n = -2：二阶极点，其留数为 同理可求得其它各个 n 值时的留数，而所有这些留数之和就是所求逆变换，即 例(1) 当 n ≥ 2 时， X ( z ) z n - 1 有两个一阶极点，即 z = 0.5 和 z = 1，分别求得这两个极点的留数为： 故在 n ≥ 2 时，序列 x [ n ] 为 (2) 当 n = 1 时， X ( z ) z n - 1 除在 z = 0.5 和 z = 1 处的两个一阶极点不变以外，在 z = 0 处又出现一个一阶极点，该极点之留数为 由于各个极点的留数彼此成立，只和其极点的位置和阶次有关。

因此，虽然当n = 1 时在 z = 0 点又出现了一个一阶极点，但原来两个一阶极点的位置、阶次均未发生变化，它们的留数仍为前面计算所得之值这样，在 n = 1时 ，三个极点的留数和即为序列 x [ n ] 在 n = 1时的序列值，即 (3) 当 n = 0 时，X ( z ) z n - 1 的极点和 n = 1 时的不同之处仅在于在 z = 0 的极点阶次发生了变化，由原来的一阶极点变成了一个二阶极点因此，该极点之留数也要发生相应变化，求得此二阶极点之留数为 因此必须使用下式求留数：于是，在 n = 0 时，序列 x ( n )之样值为 (4) 当n ＜ 0 时，X ( z ) z n - 1 在 z = 0 处的极点阶次将继续发生变化，该极点的留数也将随之而变可以求得，此时X ( z ) z n - 1 的各个极点的留数之和将恒为零，这就是说，x ( n) 是一个因果序列，在 n ＜ 0 时等于0这个结论也可以从两个方面定性判断出来 ：        首先，从收敛域看，X ( z ) 的收敛域为 | z | ＞ 1，包括 ∞ 点，因此X ( z ) 的幂级数中不可能含有 z 的正幂次项，这也就是说，n ＜ 0 时，x (n ) = 0。

         其次，由于 X ( z ) 的分子、分母中z的最高阶次相同，加之 | z | ＞ 1表明 x ( n )是右边序列，这样将 X ( z ) 的分子除以分母时不可能出现 z 的正幂次项，这也说明 x ( n )是一个因果序列，在 n ＜ 0 时恒等于0z-1x(n-1)) 综上结果：注意注意：这三种方法各有千秋，但都有一个共同点，即都和 X ( z ) 的收敛域密切相关，这和前面所说的在给出 X ( z ) 时必须同时给出其收敛域是相一致的在求逆 z 变换时，如果没有给定收敛域，则将得不到唯一确定的解　 3、Z域分析在z 域内分析系统，它将描述系统的时域差分方程变换为频域内的代数方程，同时单边z变换将系统的初始状态自然地包含在象函数方程中，既可分别求出零输入响应，也可以求出零状态响应1）差分方程的求解，其他同前提示：使用迭代法求出求系统的全响应已知系统差分方程例：)2(),1(),()(, 7) 1 (, 2)0()2(2)()2(2) 1()(--===-+=----yykukxyykxkxkykykyLSI2）系统的Z 域框图基本运算部件的z 域模型：af(k)af(k)aaF(z)aF(z)a∑f2(k)f1(k)f1(k) ± f2(k) ±∑F2(z)F1(z)F1(z) ± F2(z) ±Df(k)f(k-1)Df(k)f(k-1)Z-1F(z)∑f(-1)Z-1F(z)+f(-1)z-1F(z)Z-1F(z)数乘器加法器延迟器延迟器(零状态)例例：LSI系统的时域框图如下，已知x(k)=u(k)，求系统的单位抽样响应h(k)和零状态响应yf(k);若y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应yx(k)。

∑DD∑1332x(k)y(k)+-+-+f(k)解：(1) 对应零状态下的z 域框图为：∑Z-1Z-1∑1332X(z)Y(z)+-+-+F(z)(2)4、序列的付里叶变换(FT或DTFT)连续系统的付里叶变换：离散系统的付里叶变换：值得指出：（1）由于                             ，所以             是以2π为周期的周期函数因此,积分区间可以是 （0   2π） 或任意一个 2π 周期2）FT            正是周期函数              的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数这一概念在以后滤波器设计中有用存在条件：x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛FT性质：1）线性令x1(k) ←→X1(ejw),x2(k) ←→X2(ejw) x(k)=ax1(k)+bx2(k)则 X(ejw)=aX1(ejw)+bX2(ejw)2）时移3）时域卷积FT与Z变换的关系对比上两式，得： 其中z=ejw表示z平面上r=1的圆，称为单位圆，上述关系表明单位圆上的z变换就是序列的FT变换，显然，FT仅是Z变换的特例。

若已知序列的Z变换，可用上述关系式方便地求出FT变换，条件是收敛域中包含单位圆注意：序列的FT不存在，但在一定的ROC内Z变换是存在的5、系统函数   1）定义）定义          前面讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统：                                y（n）=x（n）*h（n）   两边取z变换                              Y(z)=X(z)H(z)则：定义为系统函数（1）它是单位脉冲响应的z变换所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应    可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的FT（DTFT） 进一步，可以将系统函数表示成如下形式：进一步，可以将系统函数表示成如下形式：可以看出分子B(z)、分母A(z)都是z的有理式形式，因而能求出多项式等于0的根，其中分子B(z)=0的根称为系统函数的零点，分母A(z)=0的根称为系统函数的极点于是上式也可以写成如下形式：整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定用极点和零点表示系统函数的优点优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。

系统频率响应系统频率响应在z平面上,ejω-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ejω点的向量来表示，而ejω-dj可用极点dj指向ejω的向量 表示于是 分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ejω点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率ω由0~2π时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响令：基本原理：(1)当单位圆上的 ejω 点在极点 d j附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 dj 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 dj 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现∞，这相当于在该频率处出现无耗谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态对于现实系统，这是不希望的2)对于零点位置，频响将正好相反，ejω点越接近某零点 ci ，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束 这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。

 例Im[z]0*xRe[z]a01零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 ω0又例：引入零极点后，得到的结论：（1）收敛域中不含极点，因为在极点处Z变换不存在，因此ROC总是用极点界定其边界a0a0因果序列非因果序列（2）系统的稳定性因果稳定系统的充要条件：所有极点均在单位圆内非因果稳定系统的充要条件：所有极点均在单位圆外习题。