初中数学常见模型之中点四大模型.docx

中点四大模型模型 1 【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点E 使DE=AD，易证：△ADC≌△ EDB（SAS）如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例例 1．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长 AC 于点F，AF=EF求证：AC=BE3热搜精练1. 如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围42. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果BM2 +CN2 =DM2 +DN2求证： AD2 = 1(AB2 +AC2 )模型 2 【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

模型实例例 1．如图，在△ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为BC 的中点，MN⊥AC 于点N， 求MN 的长度热搜精练1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF求证：∠EDB=∠FDC2. 已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于 E、F1） 当∠EDF 绕点D 旋转到 DE⊥AC 于E 时（如图①），5求证： SV DEF+ SVCEF= 1 S2V ABC ；（2） 当∠EDF 绕点D 旋转到 DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， SV DEF 、 SVCEF 、 SV ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明模型 3 【已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理】模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且 DE = 1 BC 来解题，中位线定理既有线段之间的位2置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。

模型实例例 1．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N求证：∠BME=∠CNE热搜精练1．（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A 作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE求证：DE∥BC， DE = 1 ( AB + BC + AC ) ；2（2） 如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变上述结论是否成立？（3） 如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明62．问题一：如图①，在四边形ACBD 中，AB 与CD 相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接 EF 分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点D 在AC 上，AB=CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD 的形状并证明。

9模型 4 【已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线】模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD = 1 AB ，来证明线段间的数2量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用模型实例例 1．如图，在△ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D 为BC 的中点， DM⊥EF 于点M求证：FM=EM热搜精练1. 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于点D，M 为BC 的中点，AB=10求DM 的长度2. 已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE， M 为DE 的中点，连接MB、MC求证：MB=MC3. 问题 1：如图①，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE、BF 交于点M，连接DE、DF若 DE = kDF ，则k 的值为 ；问题 2：如图②，△ABC 中，CB=CA，点D 是AB 边的中点，点M 在△ABC 内部， 且∠MAC=∠MBC过点 M 分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。

若DE=DF；问题 3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其它条件不变，试探究 DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论。