无穷级数讲义.docx

4.1基本概念与内容提要级数气与cann1bn）n1且 （an1若级数ann1an收敛，b1(an1等比级数q由级数P级数第四章无穷级数收敛性相同若级数 气与nbn1b若级数 a与n1发散，则级数an n1n1bn）收敛不能得到级数级数 - n n1如果级数n1，npn11b都收敛，则级数1都发散，则级数（an b「也收敛，1b ）不一定发散n(an11b ）必发散an 1&n与n11 q1,当|q| 1时收敛且 qn1当P>1时收敛，当0 P七收敛1-；当|q| 1时发散其中调和级数「发散，其中k为正常数级数 （ak叩收敛a”收敛，则lima1n nn10如果liman n不改变其敛散性L发散n1lima存在nn则级数改变一个级数的任意有限项，加括号后仍收敛于原级数和正项级数审敛法：1正项级数的收敛准则：气收敛 Sn Mn12正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散若加括号后所得级数发散，an必发散1但在收敛时原级数的和改变收敛级数则原级数也发散若 lim^nnbn若 lim%n bnl l 0 ,则气收敛 气收敛；a发散n10,则七收敛n1ann1 n1a收敛若lim—b1n以判定，则b发散。

n1七发散1a”发散n1解题时常将级数气与p级数占匕较， n 1 n 13.根值判别法：设： limnf，则当0注意：气的敛散性n n级数发散；当 1时，不确定4比值判别法：设： lim^n an级数发散；当 1时，不确定5.积分判别法：f x是在1，1级数收敛；当二0时级数也收敛1时，则当01时，级数收敛；当二0时级数也收敛汪意：上单调递减的正项连续函数，则正项级数 f n与广义积分 f x dx具有相同的收敛性1时，广义积分尸8 f (x ^dx的敛散性的判别方法与正项级数的相同16.定义法：s = u + u + + u ;lim s存在，则收敛；否则发散n 1 2 n nns交错级数u -u + u -u + (或-u + u -u + ,u > 0)的审敛法一一莱布尼兹定理: 1 2 3 4 1 2 3 nu 交n+1如果交错级数满足d:n - un+1，那么级数收敛且其和s < u ,其余项r的绝对值|r |< lim u = 0 1 n 1 n1、 n,• • • • •n s错级数£(-止a.判断收敛一般用下述方法：n = 1莱布尼兹定理：如果交错级数满足a > a，lima = 0那么级数收敛且其和s < a ,n n+1 n 1n —8其余项r的绝对值|r |< a。

如果｛a ｝不满足条件，则一般可改用： n n n+1 n(2) 取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的 级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散4)如果能立即看出lima丰0，则级数£ a必发散n s 1n=1(3) 拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则 原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散若并项后的级数发散，则原级数 也发散绝对收敛与条件收敛：若£|a 收敛，则£a收敛且称为绝对收敛；若£|a发散但£a收敛则称为条件收敛 n n n nn=1 n=1 n=1 n=1nnn=1 n=1主0,从而lima主0,于是£ a也发散n s n i nn=1由£|an发散不能断言£a也发散但如果£|a的发散是由比值法(或根值法)n=1推断出的，^ ljlim|ann s调和级数£ 1发散，而£心攵敛；级数£ 1收敛n n n 2绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛即绝对收敛的级任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数£ |a收敛，则£a收敛n nn = 1 n = 1数一定收敛。

②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法其一般判别步骤如下图所示：£u条件收敛 nn=1II发散 切u发散nn=1幂级数：lx < 1时，收敛于上1 + x + X 2 + X3 + + Xn + - 1 — x\|X > 1时，发散对于级数(3)°+% x + ax2 + + a Xn + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 九|逐时收敛数轴上都收敛，则必存在使：；|x| > R时发散，其中R称为收敛半径\jx = R时不定(p 丰 0时，R =—p= 0时，R = +8 幂 p=+8时，R = 0级数在收敛域上的性质：,£ bxn的收敛半径为R 2 ,则 n = 1若幕级数£ axn的收敛半径为R n 1n=1£(an + bnxn =£anxn +哭n，收敛半径R = min州％｝n=1n=1n=1'1 1)k n 而 2n)n(n 2n解：由于lim 了 ^= =1,lim nT8 ln + 1 n + 1 n—8 2n+1 2半径为2，.•• £例：幕级数£n=2+ ~\Kn的收敛域为.. £-^»的收敛半径为1,£ 的收敛=2 njn = 2 2〃(1 1 \—7= +^~ Xn绝对收敛 顷腴 2n)1,当X = ±1时，级数£n=2(1 1 \ ^ — Xn的收敛半径为2 kn/n 2n)所以，收敛域为［-1』。

当两个幕级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以 简化求幕级数的收敛域幕级数在收敛域(-R,R)上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数烈在-R或R处 n = 1收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续和函数S(x)为可导函数且S、(x)=# a nxn-1，逐项求导后收敛半径不变和函数S(x)为可积函数且 n n=1jXS(t)dt = ］Efxatndt，逐项积分后收敛半径不变逐项求导、逐项积分后，收敛半径 n=1不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变若幕级数£anxn在x = X处发散，则当|x|>|xj时级数£a xn发散 n = 1X = X处幂级数条件收敛，则X =例：设幕级数£ a (x-1)n在x=3处条件收敛，则幕级数£ %x“1在x=3处(C )n n +1n =1 n =1A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与｛a ｝相关n解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为(-2, 2］X=3在收敛域外，所以在该点处发散幕级数£" 收敛半径的求法：设p= lim . nT8n = 1p = O时R=8；当p=8时R=O；当p卫0，8时R=1。

此种求收敛半径的方法是充分条件，pO' nn =1XO必位于该幕级数的收敛域的端点如果在某点若limnT8a—n+1ana—n¥1an或p=lim(p可以为8),则当n nT8不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的对于类似£a x2n、£a x3n等级数的收敛半径不能这样做，应根据limn=1 =1 nT8例：求£黑尤由的收敛半径解：设U u^ X 2 n ,用比值判别法，(n !)2 n (n !)2n=1(2n + 2 )(2n +1)=limnT8u—n+1unv 1求收敛半径u —n+1un当 |x| > —时 4X2 > 12由limn T8..1 8 (2n)!(一1) X2 = 4X2 得：当 |x| v 2 时 4X2 v 1，级数 £uyX2n 绝对收敛;n = 1级数£(2n)X2n发散；所以收敛半径为R = 1n !)2 2n = 1错解：由公式p =limnsa—TFTtan（2〃 + 2）（2〃 + l） 1=lim -7 >- = 4, 所以R = —ois （〃 + 1力 4小试身手：幕级数井 ——7一 工2〃的收敛半径为 （答案：也）2〃 + （―3 力77=1级数的和的求法：观察所给幕级数通项e的系数。

若］为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更 n n简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n（或n-1, n+1等）；通过逐项求导，设法消去分式中分母的n（或n-1, n+1等）；最后设法利用级数之和产加=上1 — x若1的分母为〃!或（2〃）!或（2n-l）!也可通过上述方法化简，最后利用 ex,sin x,cos x 的展开 n式求和若q的分母为（2〃）!!或（2n-l）!!也可通过上述方法化简，最后利用（l + x＞的展开式求和幕级数求和还应求出收敛域常用方法举例：设sG）=$ a xn,用下列两种 n n=l途径求和函数s（x）： （1） 51 （x） = fx（Xna xn-i}dx ； （2） sG）=咒 孙+io n I n+1 jn=l ' 〃=1用慕级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幕级数，求出它的 和，再命X为某值得到欲求的数项级数的和已知某些和求另一些与此相关的和时，关 键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限函数展开成幕级数：直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数函数展开成泰勒级数：f 3） = f（x ）3-工）+ ' 3。

尤一力）2 + + f，"％） 3一寺a +, 002! o n\ 0余项：R = '（〃+"（&）（尤_尤）〃+1,^3）可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR =0n （〃 + 1）! 0 ... …nx =0时即为麦克劳林公式：f⑴=f（o）+ f'（o）x+'（°）x2 + + '"）（0 2! n\f G）展开成x的幕级数的步骤：（1）求 tHfG）（x）Gz = l,2,...）;（2）^G）（0）（〃 = l,2,...）; … …（3） 写出f （0） +广（0）尤+四业%2 + +/W）Xn+ 并求出敛散半径R；2! n\（4。