2009矩阵论A考试试卷.doc

南 京 航 空 航 天 大 学研究生考试试卷共 5 页 第 1 页一（20 分）设 ,8163042A（1） 求 的特征多项式和 的全部特征值； A（2） 求 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出 的 Jordan 标准形A二 OO 八 ～二 OO 九 学年 第 1 学期 《矩阵论 》课程 A 卷 考试日期: 2009 年 1 月 13 日 课程编号：A000003 学院 学号 姓名 成绩 共 5 页 第 2 页二（20 分） （1）设 ，求 ；10A12,,FA（2） 设 是 上的相容矩阵范数，证明：nC（i） 如果 是 n 阶可逆矩阵， 是 的任一特征值，则 ；AA1|A（ii） 如果 是可逆矩阵，令 ，则 是 上的相容PPP1PnC矩阵范数 共 5 页 第 3 页三（20 分）设 ， ，10A12b（1） 作出 A 的满秩分解，计算 ；A（2） 应用广义逆矩阵判定线性方程组 是否相容。

若相容，求其通解；bx若不相容，求其极小最小二乘解；（3） 设 是 实矩阵， 是 维实向量，证明：不相容线性方程组nmm的最小二乘解唯一当且仅当 列满秩bx 共 5 页 第 4 页四 (20 分)设 表示实数域 上全体 上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加VR2法和数量乘法） 1） 求 的维数，并写出 的一组基；V（2） 在 中定义线性变换 ： , T1001)(XXV求 在（1）中所取基下的矩阵表示；T（3） 求（2）中线性变换 的值域 和核 ，并确定它们的维数；)(R)(TN（4） 在 中能否取一组基使得（2）中线性变换 在所取基下的矩阵为对角矩V阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由 共 5 页 第 5 页五（20 分）设 为 n 阶 Hermite 矩阵， 证 明 ：)(ijaA（1） 存在唯一 Hermite 矩阵 使得 ；B3A（ 2） 如果 ，则 ；022()()trt（3） 如果 ，则 A1n。