《高等数学上册》.docx

高等数学上册第一篇：高等数学上册 《高等数学》上册 一、函数与极限 1.函数基本概念—了解 1． 集合及集合的运算 2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量 4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数 7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数 2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是讨论函数的工具不会涉及证明用极限定义证明极限的题目） 1． 数列及数列极限 2． 函数的极限 3． 无穷大和无穷小的极限表示 4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算留意前提条件有限个和无限个的区分） 5． 极限的有界性定理及应用 6． 复合函数求极限（变量代换的方法） 3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用） 1． 第一个重要极限 2． 第一个重要极限的应用 3． 其次个重要极限 4． 其次个重要极限的应用（留意：匮乏 且有界是证明题的关键部分） 4.无穷小的比较 等价无穷小及其应用 重要部分！！ 5.函数的连续性和间断点 1． 增量 2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续 4． 函数的间断点分类（重要，出小题） 5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用） 6． 反函数和复合函数的连续性 7． 连续函数的性质（留意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题） 全都连续性不用看 练习题一 2.导数与微分（重要,小题必考章节！） 1.导数的定义和导数四则运算法则 1． 导数的定义（重要）, 2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数） 3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！） 4． 求导公式表（必需的，熟识到1+1=2！） 5． 函数导数的四则运算（必需的，熟识到1+1=2！） 2.不同类型函数的求导法则及高阶导数 1． 复合函数的求导法则（必需的，熟识到1+1=2！） 2． 隐函数的求导法则（必需的，熟识到1+1=2！） 3． 参数方程所笃定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导） 4． 高阶导数（重要） 3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题） 1． 微分的定义 2． 微分的几何意义 3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式 5． 利用微分进行近似计算（除去不用看） 练习题二 3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！） 1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，务必会做证明题！） 1． 罗尔定理及几何意义 2． 拉格郎日中值定理及几何意义 3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式 4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频） 2.函数的极值和最值（考小题，匮乏性及极值点、最大值最小值） 1． 函数的匮乏性及推断 2． 函数的极值 3． 函数的最值 3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，匮乏性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解） 1． 曲线的凸凹性及推断 2． 曲线的拐点 3. 曲线的渐近线 4. 函数作图（会大致描绘图形帮忙做题） 5.曲率 （了解即可） 练习题三 4.不定积分（重要！运算的基础学问。

与数 一、数三相比，数二有可能大题 1.不定积分的概念和基本公式 1． 原函数与不定积分（理解原函数） 2． 不定积分的定义（必需的，熟识到1+1=2！） 3． 不定积分的性质（必需的，熟识到1+1=2！） 4． 基本积分表（必需的，熟识到1+1=2！） 5． 直接积分法（必需的，熟识到1+1=2！） 2.换元积分法 1． 换元积分法的引入 2． 第一类换元法（必需的，熟识到1+1=2！） 3． 第一类换元法的应用（必需的，熟识到1+1=2！） 4． 其次类换元法（必需的，熟识到1+1=2！） 5． 其次类换元法的应用（必需的，熟识到1+1=2！） 3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用 1． 分部积分法（必需的，熟识到1+1=2！） 2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟识到1+1=2！） 3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用） 4.综合题举例（积分表不必看） 5.定积分（重要！突出重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础） 1.定积分的定义和基本运算 1． 定积分的定义（理解！） 2． 定积分的性质 3． 变上限的积分函数（理解！） 4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟识到1+1=2！ 2.定积分的换元法和分部积分法 若不定积分学好，这一部分涉及的计算应当1． 定积分的换元法 很精炼！ 2． 定积分的分部积分法 3． 利用方程和数列求定积分 常见的各种类型的题目必定要熟识，再熟识，3.广义积分（理解！考小题） 再再熟识，怎么熟识都不为过！ 1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看） 元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用） 相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！ 2． 利用定积分求平面图形面积 3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积） 4.曲线的弧长（数 一、数二公式记住，数 三不考） 其次篇：高等数学上册复习 第一章复习提要 第一节 映射与函数 1、留意几个特别函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于推断题中的反例 2、留意无界函数的概念 3、了解常用函数的图像和基本性质（特殊是大家不太熟识的反三角函数） 其次节 数列的极限 会推断数列的敛散性 第三节 函数的极限 1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。

重要） 2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）重要） 3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性 第四节 无穷大和无穷小 1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)=AÛf(x)=A+a，其中a是无穷小 x®x0x®¥ 2、无穷大和无穷小是倒数关系 3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线 4、无界与无穷大的关系：无穷大必定无界，反之不对 5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则 1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用 以乘法为例比如f(x)=x,g(x)=但是limf(x)´g(x)=1 x®01limf(x)=0，limg(x)=¥ xx®0x®0 2、会求有理分式函数 p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要） q(x)x®x0时:若分母q(x0)¹0，则极限为函数值 0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大p75页9（1）） x®¥时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。

第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要） 1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1） 2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2） 1sinxsinx=0；lim=1 3 留意下面几个极限：limxsin=0；limx®0x®¥x®0xxx第七节 无穷小的比较（重要） 1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小） 若分子和分母同时为零，则为 x 22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1-cosx~ 2ex-1~x；(1+x)~1nx n 13、若j(x)为无穷小，则sinj(x)~j(x)，(1+j(x))n~j(x)n， ln(1+j(x))~j(x)，ej(x)-1~j(x) 4、替换无穷小时务必是因式 x®0limtanx-sinxx3¹limx-x3x®0x=0 应当 x2xtanx-sinxtanx(1-cosx)1lim=lim=lim2= 2x®0x®0x®0x3x3x 35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4） 第八节 函数的连续性与间断点（重要） 1、函数在点x0连续 Ûlimf(x)=f(x0) x®x0Û左连续limf(x)=f(x0)且 x®x-0f(x)=f(x0) 右连续lim+x®x0 2、会推断间断点及其类型。

争论分段函数的连续性 3、f(x)在点a连续Þf(x)在点a连续；但反之不对 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值 4. 留意三个例题：例6-例8（重要） 5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求重要） 6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法重要） 7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要） 第十节 闭区间上连续函数的性质 最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性重要） 补充说明 请熟识函数e当x®0+,x®0-,x®¥时的极限 其次章复习提要 1、导数的定义 （1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例 1、设f(0)=0,f¢(0)=k0,则limf(x)=____. x®0x1x例 2、设f¢(x0)存在，则limf(x0-h)-f(x0)=________.（重要） hh®0（2）利用左右导数争论函数的可导性：P125页第7题 ìsinx,x<0例 3、已知f(x)=í，求f¢(x) îx,x³0留意分点处的导数应当用定义来求。

重要） （3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要） ìsinx,x<0例 4、设f(x)=í为可导的，求a的值 ax,x³0î（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要） （5）可导Þ连续，反之不成立！ 2、求导法则 （1）复合函数求导不要掉项； 。