2024-2025学年高二数学选择性必修一《椭圆》测试试卷及答案解析.pdf

2024-2025学年高二数学选择性必修一 椭圆测试试卷（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）姓名：成绩:单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的x V b+c1.若 c 是椭圆方+77=1(/?0)的半焦距，则-的取值范围是()A.(0,2 B.(0,2)C.(1,V2 D.(1,V2)x v2.已知尸i,b2为椭圆-7 +*=l（4 b 0）的两个焦点，过 b2作椭圆的弦A B,若八8 的周长为1 6,椭圆az bz的离心率e=，则椭圆的方程为（）x2 y2 x2 y2A.+=1 B.+=14 3 16 3x2 y2 x2 y2C.+=1 D.+=116 4 16 12x2 y2_3.椭 圆 方+77=1（b 0）的左、右焦点分别为人、/2,点尸在椭圆上，若1PAi=2|尸 尸 2|,则椭圆的禺心率的az bz最小值是（）V3 V2 1 1A.B.C.-D.-2 2 2 3%2 y 24.已知椭圆丁+77=1（心 心 0）的一个焦点是圆/+/-6x+8=0的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为（）az bzA.（-3,0）B.（-4,0）C.（-10,0）D.（-5,0）%V5.椭圆）+-=1 Q b 0）的左、右焦点分别为乃，F 2,若椭圆上恰好有6 个不同的点P,使得再2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）1A.(,1)31C.(0,-)31B.(-,1)21 1 1D.(-,-)U(-,1)3 2 2X V6.过 椭 圆 元+工=1 内一点尸J D的直线/与椭圆交于48 两点，且尸是线段4 2 的中点，则直线/的方程是（）A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-3=0 D.2x-y-1=07.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为2,则此椭圆长轴长的最小值是（）A.1 B.2V2 C.2 D.48.已知椭圆C万+7=1，点 与 c 的焦点不重合，若 加 关 于 c 的焦点对称点分别为4 B,线 段 的 中 点在 C 上，则|AN+|BV|=()A.6 B.8 C.10 D.12二.多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。

多选）9.已知椭圆 Ei：/+4 y 2=/（a 0）和&：y2+4=4a2（a 0）,贝！（）A.E i与比的长轴长相等B.E i的长轴长与比的短轴长相等C.1与&的离心率相等D.目 与 及 有 4 个公共点x2 y2（多选）1 0.已知椭圆E：一+乙=1 左焦点R左顶点C,经过/的直线,交椭圆于A,8 两 点（点 A 在第一象4 3限），则下列说法正确的是（）T T KA.若4 F=2 F B,贝心的斜率上詈27B.|AE+4|B引的最小值为一4C.以A F为直径的圆与圆/+/=4 相切D.若直线AC,8 C 的斜率为近，f e,则近乂2=-怖4,x2（多选）1 1.已知椭圆万+y?=L为原点，过第一象限内椭圆外一点尸（xo,yo）作椭圆的两条切线，切点分别为A,B.记直线4,OB,P A,尸 5 的斜率分别为匕，t o,f a,k A,若 匕,电=,贝！J（）A.直线A 3过定点B.（左 1+履）（近+依）为定值C.%o-yo的最大值为2D.5xo-3yo的最小值为4三.填 空 题（共 3 小题）汽 2 y 212.椭圆上一+=1上的点P 到直线x-y -1 0=0 的距离最小值是16 9-V2 713.已 知 椭 圆=+*=1 （a b 0）的左、右焦点分别为H,F 2,离心率为一.若点尸在该椭圆上，且|尸乃|：Pa2 b213尸 2|=5：8,则/四尸/2=.x2 y214.椭 圆 三+9=l（a 6 0）的左焦点为F,A（-a,0）,B（0,b）,C（0,-b）分别为其三个顶点.直线az ozCF与 A B 交于点D,若椭圆的离心率e=则 tanZBDC=.四.解 答 题(共 6 小题)15.椭 圆 C：各，=l(a b 0)的长轴长为4,过其右焦点/与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A,8,点尸是直线尤=1 上的动点，直 线 出 与 椭 圆 的 另 一 个 交 点 为 直线尸8 与椭圆的另一个交点为N,求证：直线MN经过一定点.16.己知椭圆E：(a b 0)的焦距为2 c,且 b=V c,圆。

A y r2(r 0)与 x 轴交于点M,az bzN,尸为椭圆E 上的动点，P M+P N=2a,PMN面积最大值为百.(1)求圆与椭圆E 的方程；(2)圆的切线/交椭圆E 于点A,B,求|AB|的取值范围.1 7.已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x 轴上，其右焦点到直线x-y+2&=0 的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)直线尸学尤+1与椭圆交于P、N 两点，求|取.X v1 8.已知直线 =左(尤-1)(%0)与椭圆1 +彳 =1交于A,3 两点，与无轴、y 轴交于M,N两点.-(1)若M B =A N,求上的值；,7 T T(2)若 点Q的坐标为(;，0),求证：QAQB为定值.41 9.已知椭圆C；全+/=l(a 6 0)的短轴长为2,离心率e=字.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/：=尤+机与椭圆C 交于不同的两点A,B,若/A 0 8 为锐角，求实数机的取值范围.2024-2025学年高二数学选择性必修一 椭圆测试试卷参考答案与试题解析单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的x2 V2 b+cL若。

是 椭 电+记=1（4心的半焦距，则 工 的 取 值 范 围 是（）A.(0,2B.(0,2)C.(1,V2D.(1,V2)解,：（匕+c）20 At2.hc 2b c 2b c十+隼+妾-2,C L a a b+c2当且仅当6=c 时，等号成立，故 I V*Wa,故选：C.2已 知 八 尸 2为椭圆/+记=1（4 6 的两个焦点，过 放 作 椭 圆 的 弦 岫 若,8的周长为1 6,椭圆的离心率6=字，则椭圆的方程为(x2 y2A.+=14 3x2 y2C.+=116 4x2 y2B.+=116 3x2 y2D.+=116 12解：由椭圆定义有4=1 6,，4=4.又因为椭圆的离心率e=字,Y 2-v2所 以 庐=4,所以椭圆的方程为7 +=1.故选：C.16 42 2X yJ3.椭 圆 方+77=1 Q 6 0）的左、右焦点分别为为、尸 2,点尸在椭圆上，若|尸人|=2|尸放|,则椭圆的离心率的az最小值是（)AY2V2B.21C.一21D.-3第2解一.椭圆我y2+=l（a b0）的左、右焦点分别为尸1、F 2,点尸在椭圆上，且|尸 乃|=2|尸 尸 2|,b乙2 4.,.|PFi|+|PF2|=2tz,|尸 尸 2|=可 ，|尸 尸在乃尸2P 中，由余弦定理得 4C2=|PFI|2+|PF2|2-2PFIPF2COSZFIPF2=4a2(5 4COSZ.F1PF2),当且仅当cosZ9时，心犷解得卜加是（不合题意，舍去）,、.1故椭圆的禺心率的最小值是3故选：D.%2 y 24.已知椭圆/+-=1（心 心 0）的一个焦点是圆x W -6x+8=。

的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为（）A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)2 2解：圆/+y 2-6 x+8=0 的圆心为（3,0）,.椭 圆=+七=l（a b 0）的一个焦点为产（3,0）,得 c=3又：短轴长为2 6=8,得 6=4：.a=V/?2+c2=5,可得椭圆的左顶点为（-5,0）故选：D.x y5.椭 圆)+=1 (a 6 0)的左、右焦点分别为乃，F i,若椭圆上恰好有6 个不同的点P,使得P F 1 F 2 为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()1A.(-,1)31C.(0,-)31B.(-,1)21 1 1D.(-,-)U (-,1)3 2 2解：当点尸与短轴的顶点重合时，尸 2 P 构成以为尸2 为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰四尸2尸;当乃乃尸构成以尸肥2 为一腰的等腰三角形时，以放尸作为等腰三角形的底边为例,：尸归2=防尸，.点尸在以人为圆心，半径为焦距2 c 的圆上,因此，当以为为圆心，半径为2 c 的圆与椭圆C 有 2交点时，存在2 个满足条件的等腰尸1尸2尸，在 KF2 Pl中，F 1F2+P F 1P F 2,即2C+2 c2C Z-2C,1由此得知3 c a.所以禺心率当 e 另 时，四尸2 尸是等边三角形，与中的三角形重复，故 e 弓同理，当尸1 P为等腰三角形的底边时，在 e 4 且 e K 寸也存在2 个满足条件的等腰为尸2尸,这样，总共有6 个不同的点P使得尸1F 2P为等腰三角形，1 1 1综上所述，离心率的取值范围是：eC(-，-)U (-,1).故选：D.3 2 2X V6.过椭圆丁+-=1内一点P(1,1)的直线/与椭圆交于A、B 两点，且 P 是线段A8的中点，则直线/的方程8 4是()A.x+2y-3=0 B.%-2 y+l=0 C.2x+y-3=0 D.lx-y-1=0解：设 A (x i,yi),B(必”)，P(1,1)是线段 A 3 的中点，则刘+%2=2,yi+”=2；1 i点 A,5 代入椭圆方程作差，得：-(x i+x 2)(x i -X 2)+(yi+y2)(#-”)=0,由题意知，直线/的斜率存在，.履 B=4,.直线/的方程为：(X-1),整理得：x+2y-3=0.故选：A.7.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为2,则此椭圆长轴长的最小值是()A.1B.2 V 2C.2D.4解：由题意知 b c=2.a2=b2+c2=b2+2 。

2 2,当且仅当人=鱼时取“=”.2 2 4,故选：D.X2 V28.已知椭圆C：+=1,点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于C 的焦点对称点分别为A,B,线 段 的 中 点9 4在 C 上，则|AN|+|BN|=（）C.10D.12解：设 MN的中点为椭 圆 C 的左右焦点分别为乃，F 1,如图，连 接尸 1,QF2,.人 是 的 中 点，是 MN的中点，尸 1是 的 中 位 线；I QF1|=今 1 AN I,同理：I义|N8 I,在椭圆 C 上，：.QFi+QFi=2a=6,|AN|+|BN=1 2.故选：D.二.多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分多选）9.己知椭圆目：/+4/=/Q o）和 比：9+4/=4/（0）,贝 I（）A.目与比的长轴长相等 B.1的长轴长与&的短轴长相等C.E1与比的离心率相等 D.E i与 瓦 有 4 个公共点%2 y 2解：椭圆 Ei：7+4/=2（）,即方+厂_ =1,02评椭圆/+4/=4 2(0),-+=1,44a2 ac i 乙则 E l的长轴长为2Q,短轴长为，石 2 的长轴为4 m 短轴为2，故 A 错误，B 正确;Ei的离心率为q =-芳=苧，Ei的离心率2=,故 C 正确;因为目的长轴长与比的短轴长相等，且 E1的焦点在工轴上，比的焦点在y 轴上，则 E i与 比 有 2 个公共点，故。

错误.故选：BC.x2 y2（多选）1 0.已知椭圆E：一+=1 左焦点尸，左顶点C,经过尸的直线/交椭圆于A,8 两 点（点 A 在第一象4 3限），则下列说法正确的是（)A.若 京=2 还，贝 1/的斜率g 孚 B.|A F|+4|即的最小值为二/4C.以AF 为直径的圆与圆/+/=4相切 D.若直线A C,8C 的斜率为近，ki,则右乂2=-5汽 2 y 2解：椭圆E：一+=1 可得=2,。