初中数学拔高辅导(利用轴对称性质求几何最值)-4页.pdf

1 - 初中数学拔高（利用轴对称性质求几何最值）在近几年的数学考试和竞赛中，经常出现利用轴对称性质求几何图形中一些线段和 的最大值或最小值问题轴对称的作用是“搬点移线 ” ，把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到新的图形中，为应用某些基本定理提供方便从教学的角度看，教师不仅要教会学生处理这类问题的方法，而且要让学生理解方法背后所运用的数学知识，能清楚说明理由,使学生知其然亦知其所以然利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短； （ 2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短但由于轴对称的教学内容位于特殊三角形、特殊四边形、勾股定理之前，现行教科书只安排了一个例题和一个配套习题，很多教师在处理这部分内容时，经常只安排一个课时，学生很难完全掌握经过多年教学的不断反思后发现：初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和 的最值问题我把利用轴对称性质求最值的教学内容归纳为四个基本例题在初二上学期轴对称性质的应用中分为两个课时进行教学，其余备选题目在学习了特殊三角形、特殊四边形、勾股定理等相关知识之后选用进行巩固练习。

下面对三类线段和 的最值问题进行分析、讨论1)两点一线的最值问题已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点的线段和 最短这类最值问题所求的线段和 中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置例 1： （教科书八年级上册42 页探究）如图1，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向A，B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？分析：如果点A、B 在管道 L 的异侧，连接A、B 交管道 L所在直线于O，由“两点间线段最短”可知点 O 即为泵站位置因此，可以想办法将点A“搬” 至管道 L 的另一侧，在保持 AO 长度不变的情况下，将AO “移” 到 BO 所在直线上来考虑解题思路可以理解为“搬点移线”，搬 A 点，移AO参考解法： 作点 A 关于直线L 的对称点A ， 连结 A B 交直线 L 于点 O，则 AO+BO A O+BO=A B. 由 “两点间线段最短” 可得此时的线段和AO+BO 最小， 所以泵站应建在点O 处 在直线 CD 上另外任取一点O，因为 AO =A O ，利用三角形的三边关系显然有AO BO AO+BO 。

备选题目1：如图2，已知菱形ABCD的周长为8，DAB=60 ， E 是 AB 的中点， P 是 AC 上任一点，则PEPB 的最小值为（） ，此时 AP=（）分析：动点P 在菱形 ABCD 的对角线AC 上，而点B， E 在对角线所在直线的同侧，可以想办法在保持线段BP 长度不变的情况下，将点B“搬” 至 AC 的另一侧，将线段BP“移” 至 PE 所在直线来考虑点B 关于对角线AC 的对称点恰好是点D. 连结 DE交对角线AC 于点 P，则点 P 即为 PE+PB 取得最小值的位置. 由轴对称性质知PE+PBDEDAB=60 ，AD=AB ，所以 ADB为等边三角形，E 为中点，所以DE AB，利用勾股定理可知DE=5 因为 PAE=21DAB=30 ，图2PEBDAC图 1lOAABO- 2 - AE=1，由勾股定理得AP=332备选题目2：如图 3，等边三角形ABC 的边长为 2，M 为 AB 的中点， P 为 BC 上的点，求 PA PM 的最小值分析：定点A，M 在动点 P 所段 BC 的同侧可以想办法在保持线段 AP 长度不变的情况下，将点 A “搬”至 BC 的另一侧， 将线段 AP “移”至 PM 所在直线来考虑。

作点A 关于 BC 边的对称点A ，连结 A M 交BC 边于点 P，由轴对称性质知，PM+PA 的最小值即为A M 的长度连结A C ， 由 ACA =120 ， ACM=30 , 得 A CM=90 ， 且A C=AC=2 ，CM=3 所以 A M72) 两点两线的最值问题已知两个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和 最短这类问题中动点满足最值的位置由定点和动点所在直线的位置决定，可通过轴对称性质“搬点移线”，把线段 “移”到同一直线上来解决例 2： （教科书八年级上册49 页第 9 题） 如图 4，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线分析：若 A、B 两点位于草地和小河的另一边，则直接连接AB，与草地、小河所在直线L1、L2 的交点 C，D 为所求的动点位置因此，可以想办法在保持线段AC、BD 长度不变的情况下，将点A、B“搬” 至草地、小河所在直线的另一侧，将线段AC、 BD“移” 至 CD 所在直线来考虑参考解法：作点A 关于 L1 的对称点A ，点 B 关于 L2 的对称点B 。

连结 A B ，分别交 L1，L2 于点 C，D 由轴对称性质得AC=A C，BD=B D，由两点之间线段最短，得最短路线为A B 的长分别在L1，L2上另外任取一点M，N，AM+MN+NB=A M+MN+NB A B 备选题目3 ：如图5， MON=30 ，边 OM 、ON 分别有定点 A、D，OA=2 ，OD=5 ，在 ON、OM 边上确定动点B、C 的位置，使折线ABCD 的长度最短，这时折线ABCD 的长度为（）分析：若A 位于 ON 的另一侧， D 位于 OM 的另一侧，则连接 AD 与 OM 、ON 边相交可得B、C 点的位置可以想办法在保持线段AB 、CD 长度不变的情况下，将点A“搬”至 ON 的另一侧，将点D“搬” 至 OM 的另一侧，将线段AB、CD“移” 至 BC 所在直线来考虑作A 关于 ON 的对称点 A ， D 关于 ON 的对称点D ，连接 A D 交 ON，OM图4l2l1DCBAABMN图5CBDAONMAD- 3 - 于点 B， C， 此时折线ABCD 的长度最短， 连接 OA ， OD ， A OB= AOB= D OA=30 ， 故 A OD =90，OA =OA=2 ，OD =OD=5 ，故折线ABCD 的长度等于A D =29。

3）一点两线的最值问题已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和 最短这类问题实际上是两点两线的最值问题的变式，可以把它理解为两点两线的最值问题，通过“搬点移线”，把线段 “移”到同一直线上来解决例 3 ：如图 6，接力赛场上，甲同学站在L1、L2 两条交叉跑道之间的任意一点A 处，要将接力棒传给站在 L1 跑道上的乙同学，乙同学要将接力棒传给站在L2 跑道上的丙同学，丙同学跑回A 处，试找出乙丙同学所站的最佳位置使比赛的路程最短分析：最佳位置点A，B 未定，要使 ABC 的周长最小，如果将A 点理解成“既是起点也是终点”，那么本例实际上与两点两线最值问题的解法相同可设法在保持AB ，AC 长度不变的情况下，将点 A 分别“ 搬” 至 L1，L2 的另一侧，将ABC 的两条边AB ，AC“移” 至 BC 所在直线上参考解法：作点A 关于 L1 的对称点A ，关于 L2 的对称点A” ，连结 A A” ， 分别交 L1， L2 于点 A， B 由轴对称性质得AB=A B，AC=A ” C 由两点之间线段最短，得ABC周长的最小值为A A”的长点 A，B 即是满足周长取得最小值的点. 分别在 L1，L2 上另外任取一点Q，R， AQR 的周长 A Q+QR+A ” R A A” 。

例 4 ：如图 7，B 为直线 AB 上一定点，在直线AC ，AB 上各取一点 M，N，使 BM MN 的值最小，试确定M、 N 的位置分析：点B，N 在点 M 所在直线的同侧，利用轴对称性质，将点B“搬” 至 AC 的另一侧，在保持MB长度不变的情况下，把MB“移” 至 MN 所在直线上来考虑问题参考解法：作点B 关于直线AC 的对称点B ，BB 交 AC于点 O，于是 BM MN B M MN 点 N 在直线 AB 上，点B 在直线AB 外，过点B 作 B N 垂直于 AB 于点 N，交 AC于点 M由“垂线段最短” ，得 B N 的长为 BM MN 的最小值. 点 M，N 为满足条件的点备选题目4：如图 8，AOB=30 ，角内有一点P，PO5，在角的两边分别有点Q， R，则 PQR 周长的最小值为_. 分析：点Q，R 未定，要使 PQR 的周长最小，可设法在保持 QP，RP 长度不变的情况下，将点P分别 “搬” 至OA，OB 的另一侧来考虑，使得PQR 的三条边 “移” 至QR 所在的直线上参考解法： 作点 P 关于 OA 的对称点P ，关于 OB 的对称点P” . 连结 P P” ，分别交OA ，OB 于点 Q，R。

由轴对称性质得 QP=QP ， RP=RP” 由两点间线段最短得PQR 周长l2l1图6CBAAAQR图7MNOBABCQR- 4 - 的最小值为P P” 的长点Q，R 即是满足周长取得最小值的点. 分别在 OA ，OB 上另外任取一点Q ， R ，PQ R 的周长 R P” R Q Q P P P” 连结 OP ， OP” ， 由对称性得OP OP” OP=5， P OP” =60，所以 P OP” 是等边三角形，P P” =5. 即 PQR 的周长最小值为5备选题目5：如图 9，在矩形ABCD 中， AB=20cm ， BC10cm，在 AC，AB 上各取一点M，N，使 BM MN 的值最小，求这个最小值分析：点B，N 在点 M 所在直线的同侧，利用轴对称性质，将点 B“搬” 至 AC 的另一侧，在保持MB 长度不变的情况下，把MB “移” 到 MN 所在直线上来考虑问题参考解法：作点B 关于直线AC 的对称点B ，BB 交 AC 于点O，于是BM MN B M MN点 N 在直线 AB 上，点 B在直线 AB 外，过点B 作 B N 垂直于 AB 于点 N，交 AC 于点 M。

由直线外一点到直线上的最短距离为这点到直线上的垂线段的长度，得BN 的长为 BM MN 的最小值点M， N 为满足条件的点连结AB ，在 ABC中， AB=20cm ，BC 10cm，由勾股定理得AC=105cm，由 AC BO=AB BC ， 得 BO=45cm，所以 BB =85cm 由 ABC B NB ，得 B N16cm ，即 BMMN 的最小值为16cm 图9OMNBCDBA。