2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教a版选修2-2.ppt

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念,主题1 平均变化率 1.写出气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.,提示：体积V与半径r之间的关系式为V(r)= .将 半径r表示为体积V的函数为r(V)= .,2.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了多少？此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量V从1 L 增加到2 L呢？,提示：当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了 r(1)- r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L). 当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了 r(2)-r(1)≈0.16(dm). 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).,3.若运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少？运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少？,提示：在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是=4.05(m/s). 在1≤t≤2这段时间里的平均速度是 -8.2(m/s).,结论：平均变化率概念我们把式子____________ 称为函数y=f(x)从___到___ 的平均变化率.,主题2 导数的概念 1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？,提示：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与 起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易 知 ＝h(0)， ＝0，而运动 员依然是运动状态.,2．如何精确描述物体在某一时刻的运动状态？,提示：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的 运动状态.如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近 的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度 的变 化趋势，用式子 表示，这就是物体 在t＝2时的瞬时速度.,3．导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 提示：函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.,结论:函数在某点处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ___________________________ ,我们称它为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_______ 或 _____ ，即f′(x0)＝___________________________,f′(x0),【微思考】 1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率 的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的 陡峭程度是否存在关系？,提示：平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢，它表示割线的斜率. 函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间［x1,x2］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.,2.如何理解导数定义中的Δx，Δy， ? 提示：Δx表示自变量的增量,其值可正可负不能为 零，Δy表示函数值的增量,其值可正可负可为零,表示平均变化率,其极限存在,则函数y＝f(x)在某一 点处可导，否则不可导.,【预习自测】 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在［x0，x1］上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对,【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在［x0，x1］上的平均变化率.,2.质点运动规律s=t2+3,则在时间［3,3+Δt］中,相应的平均速度等于( ) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt,【解析】选A. =6+Δt.,3.设函数f(x)在x0处可导，则＝ ＝( ) A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0),【解析】选C. ＝- ．,4.已知函数f(x)=A(A为常数)，则f′(2)=_________. 【解析】因为Δy=f(2+Δx)- f(2)=A-A=0, 所以 =0，f′(2)= =0. 答案：0,5.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是_______.,【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率为 = =0.25(千克/月). 答案：0.25千克/月,6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.,【解析】(1)瞬时速度 = = (8+2Δt)=8 cm/s. (2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ , 所以v0=0 cm/s,,因为 a=2,所以a=4 cm/s2, 所以瞬时速度v=4t=4×2=8 cm/s. 结论：用两种方法求得的结果相同.,类型一 求平均变化率 【典例1】试求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化 率. 【解题指南】先计算Δy＝f(-1＋Δx)－f(-1),再利用= 求解.,【解析】 = =,【延伸探究】1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy)，则 =____ .,【解析】 = = =3-Δx. 答案：3-Δx,2.设函数f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b∈R)，则函数f(x)在x0附近的平均变化率为_______.,【解析】由 =a+bΔx.可得f(x)在x0附近的平均变化率为a+bΔx. 答案：a+bΔx,【方法总结】 (1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1. (3)得平均变化率 .,【补偿训练】求函数y=f(x)=3x2+2在区间［x0,x0 +Δx］上的平均变化率，并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.,【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间［x0,x0+Δx］上的 平均变化率为 = = = 6x0+3Δx. 当x0=2，Δx=0.1时,,函数y=3x2+2在区间［2,2.1］上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3.,类型二 求瞬时变化率 【典例2】(2017·沈阳高二检测)若一物体的运动满足 函数, 0≤t<3,, t≥3 , (路程单位：m，时间单 位：s).,求:(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度. (2)物体在t=1 s时的瞬时速度.,【解题指南】(1)先求增量，再求平均速度.(2)先求增量，再求平均速度，再求极限，进而得出瞬时速度.,【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.= =24(m/s). (2)因为Δs＝29+3(1+Δt-3)2-［29+3(1-3)2］ =3(Δt)2-12Δt,,所以 = =3Δt-12， 所以= = -12. 即物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.,【方法总结】 (1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率 ，当Δx趋于0 时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.,(2)共同点：它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快. (3)逼近法求瞬时变化率：求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.,【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位:s)，若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,【解析】因为Δs=s(2+Δt)-s(2) =a(2+Δt)2+1-a·22-1 =4aΔt+a(Δt)2, 所以 =4a+aΔt, 故在t=2 s时，瞬时速度为,s′(2)= =4a(m/s). 由题意知,4a=8,所以a=2.,【补偿训练】一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t =_____时的瞬时速度为1. 【解析】 = =7Δt+14t0, 当 =1时,t0= . 答案:,类型三 求函数在某点处的导数 【典例3】根据导数的定义求下列函数的导数. (1)求函数y=x2+3在x=1处的导数. (2)求函数y= 在x=a(a≠0)处的导数.,【解题指南】(1)利用导数定义 进行变形. (2)本题是根据定义求函数的导数，因此可先求，再求其极限值，即可得出导数值.,【解析】(1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=［(1+Δx)2+3］- (12+3)=2Δx+(Δx)2, 所以 = =2+Δx. 所以y′|x=1= =2.,(2)Δy=f(a+Δx)-f(a) = = = - . 所以 =- = - . 所以y′|x=a= = - .,【方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的 三个步骤 (1)作差Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)作比 ＝ . (3)取极限f′(x0)＝ . 简记为一差、二比、三极限．,【巩固训练】已知函数y=f(x)=ax2+c且f′(1)=2,求 a的值. 【解析】 f′(1)= =,= = = =2a=2. 所以a=1.,【补偿训练】求函数y=3x2在x=1处的导数. 【解题指南】先求Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2， 再求 =6+3Δx,再求 =6.,【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2.= =6.,课堂小结 1.知识总结,2.方法总结 (1)平均变化率 = ，当Δx趋于0时， 它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变 化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐 渐逼近”的方法求解.另外，它们都是用来刻画函数变 化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.,(2)函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量 与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.,。