概率论与数理统计教程第四章课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 大数定律与中心极限定理,第,*,页,4.1,特征函数,特征函数是处理概率论问题的有力工具，,其作用在于：,可将卷积运算化成乘法运算；,可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；,可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；,.,特征函数的定义,定义,设,X,是一,随机变量，称,(,t,)=,E,(,e,itX,),为,X,的特征函数,.,(,必定存在,),注意：,是虚数单位,.,注 意 点,(1),(1),当,X,为离散随机变量时，,(2),当,X,为连续随机变量时，,这是,p,(,x,),的傅里叶变换,特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：,注 意 点,(2),(1),欧拉公式,：,(2),复数的共轭,：,(3),复数的模,：,性质,特征函数的性质,|,(,t,),|,(0)=1,性质,性质,性质,若,X,与,Y,独立，则,性质,定理,特征函数的定理,一致连续性,.,定理,定理,定理,唯一性,.,定理,非负定性,.,逆转公式,.,连续场合，,4.2,大数定律,讨论“,概率是频率的稳定值,”的确切含义；,给出几种大数定律：,伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、,马尔可夫大数定律、辛钦大数定律,.,伯努利,大数定律,定理,（伯努利大数定律）,设,n,是,n,重伯努利试验中事件,A,出现的次数,，每次试验中,P,(,A,)=,p,则对任意的,0,，有,常用的几个大数定律,大数定律一般形式,：,若随机变量序列,X,n,满足：,则称,X,n,服从大数定律,.,切比雪夫大数定律,定理,X,n,两两不相关，且,X,n,方差存在，有共同的上界，则,X,n,服从大数定律,.,证明用到切比雪夫不等式,.,马尔可夫大数定律,定理,若随机变量序列,X,n,满足：,则,X,n,服从大数定律,.,(,马尔可夫条件,),辛钦大数定律,定理,若随机变量序列,X,n,独立同分布，且,X,n,的数学期望存在。

则,X,n,服从大数定律,.,(1),伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例,.,注 意 点,(2),切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例,.,(3),伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例,.,4.3,随机变量序列的两种收敛性,两种收敛性：,i),依概率收敛：,用于大数定律；,ii),按分布收敛：,用于中心极限定理,.,依概率收敛,定义,(,依概率收敛,),大数定律讨论的就是依概率收敛,.,若对任意的,0,，有,则称随机变量序列,Y,n,依概率收敛于,Y,记为,依概率收敛的性质,定理,若,则,X,n,与,Y,n,的加、减、乘、除,依概率收敛到,a,与,b,的加、减、乘、除,.,按分布收敛、弱收敛,对分布函数列,F,n,(,x,),而言，点点收敛要求太高,.,定义,若在,F,(,x,),的连续点上都有,则称,F,n,(,x,),弱收敛于,F,(,x,),，记为,相应记,按分布收敛,依概率收敛与按分布收敛的关系,定理,定理,判断弱收敛的方法,定理,辛钦大数定律的证明思路,欲证,:,只须证,：,4.4,中心极限定理,讨论,独立随机变量和,的,极限分布,本指出极限分布为,正态分布,.,独立随机变量和,设,X,n,为独立随机变量序列，记其,和为,独立同分布下的中心极限定理,定理,林德贝格,勒维中心极限定理,设,X,n,为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为,2,0,，则当,n,充分大时，有,应用之例,:,正态随机数的产生,；,误差分析,例,4.4.1,每袋味精的净重为随机变量，平均重量为,100,克，标准差为,10,克,.,一箱内装,200,袋味精，求一箱味精的净重大于,20500,克的概率,?,解,:,设箱中第,i,袋味精的净重为,X,i,则,X,i,独立同分布，,且,E,(,X,i,)=100,，,Var(,X,i,)=100,，,由中心极限定理得，所求概率为：,=0.0002,故一箱味精的净重大于,20500,克的概率为,0.0002.,(,很小,),例,设,X,为一次射击中命中的环数，其分布列为,求,100,次射击中命中环数在,900,环到,930,环之间的概率,.,X,P,10 9 8 7 6,0.8 0.1 0.05 0.02 0.03,解,:,设,X,i,为第,i,次射击命中的环数，则,X,i,独立同分布，,且,E,(,X,i,),=9.62,，,Var(,X,i,),=0.82,，故,=0.99979,4.4.3,二项分布的正态近似,定理,棣莫弗,拉普拉斯中心极限定理,设,n,为服从二项分布,b,(,n,p,),的随机变量，则当,n,充分大时，有,是林德贝格,勒维中心极限定理的特例,.,二项分布是,离散分布,，而正态分布是,连续分布,，,所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作,如下,修正,：,注 意 点,(1),中心极限定理的应用有三大类：,注 意 点,(2),ii),已知,n,和概率，求,y,；,iii),已知,y,和概率，求,n,.,i),已知,n,和,y,，求概率；,一、给定,n,和,y,，求概率,例,100,个独立工作,(,工作的概率为,0.9),的部件组成一个系统，求系统中至少有,85,个部件工作的概率,.,解：,用,由此得：,X,i,=1,表示第,i,个部件正常工作,反之记为,X,i,=0.,又记,Y,=,X,1,+,X,2,+,X,100,，,则,E,(,Y,)=90,，,Var(,Y,)=9.,二、给定,n,和概率，求,y,例,4.4.4,有,200,台独立工作,(,工作的概率为,0.7),的机床，,每台机床工作时需,15kw,电力,.,问共需多少电力,才可,有,95%,的可能性保证正常生产,?,解：,用,设供电量为,y,则从,X,i,=1,表示第,i,台机床正常工作,反之记为,X,i,=0.,又记,Y,=,X,1,+,X,2,+,X,200,，,则,E,(,Y,)=140,，,Var(,Y,)=42.,中解得,三、给定,y,和概率，求,n,例,4.4.5,用调查对象中的收看比例,k,/,n,作为某电视节,目的收视率,p,的估计。

要有,90,的把握，使,k,/,n,与,p,的差异不大于,0.05,，问至少要调查多少对象？,解：,用,根据题意,Y,n,表示,n,个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Y,n,服从,b,(,n,p,),分布，,k,为,Y,n,的实际取值又由,可解得,n,=271,例,设每颗炮弹命中目标的概率为,0.01,，,求,500,发炮弹中命中,5,发的概率,.,解,:,设,X,表示命中的炮弹数,则,X,b,(500,0.01),0.17635,(2),应用正态逼近,:,P,(,X,=5)=,P,(4.5,X,0,，有,林德贝格条件,则,李雅普诺夫中心极限定理,定理,李雅普诺夫中心极限定理,设,X,n,为独立随机变量序列，若,存在,0,，满足：,李雅普诺夫条件,则,林德贝格条件较难验证,.,例,4.4.7,设,X,1,X,2,.,X,99,相互独立,且服从不同的,0-1,分布,试求,解,:,设,X,100,X,101,.,相互独立,且与,X,99,同分布,则可以验证,X,n,满足,=1,的李雅普诺夫条件,，且,由此得,。