有限元分析第五章.docx

第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元这两种单元的边均为直边，用 直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界本章将要介 绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界这 类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广 泛为其他类型的单元所采用等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参 考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来 变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采 用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换 §5-1四结点四边形等参数单元1、母体单元 自然坐标和形函数母体单元e :边长为2的正方形, 在单元内的排序为1、2、3、4仿 照矩形单元，可定义出四个形函数n 忆，耳）二1 （1+箕h+nn）i 4 i i（i 二 1~ 4）（5-1-1）显然n点,n）有如下特点：iG） N$,n）是& n的双线性函数自然坐标系& n示于图5-1。

取四个角点为结点,ii)1图 5-1(iii)4 1 1f n 忆,n)二丁(i—g)(1 -n) + 丁(1+E)(1 -n)i 4 4i=111+ 4(1+g)(1+n) + 4(T)(1+n)(5-1-2)2、实际单元与母体单元之间的坐标变换（1） 坐标变换设xy平面上的实际单元e由母体单元经过变换F得到，即F： e T e且规定结点 （乙，n ）与结点（x., y.）对应（i=1〜4）这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函i i i i数即可写出这种变换中的一个x = X n (g ,n) - xii i=1y = Xn (g,n) - yii i=1(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x, y是E，n的双线性函数沿母体单元中 n =常数的直线（坐标线），x, y是E的线性函 数，对应于单元 e 中的一组直线，特别，单元 e的一组对边1-2、3-4为直线类似，e中乙 =常数的另一组坐标线对应于单元e中的另 一组直线特别，e的另一组对边2-3、4-1也 是直线，单元 e 为直边四边形单元 e 的其他 直线（例如对角线1-3）,变换到单元e中将是 一条曲线（图 5-2）（2） Jacobi矩阵 Jacobi行列式矩阵dxJ L ?dx的dydgdydn4 dN乙df xdN——x4 dNi y.dg〜dNI(5-1-4)称为变换的Jacobi矩阵。

detJ称为变换的Jacobi行列式一般情况下，［J］的元素和detJ都 是& n的函数若detJ恒不为零（一般使它恒正），则［J］-1存在，变换F存在逆变换F-1F t： e —》e使单元e内的任一点（x, y）对应于单元e内的一确定点（乙"）此时称变换F为非奇异的 detJ称为变换特征量detJ还具有明显的几何意义，如图5-3所示设在（乙"）处detJMO在（乙"）附近 取一边长为dd，dn的长方形设此长方形与单元e内的一个小子区域do对应，可以证明， 此小子域的面积do在略去高阶微量后有图 5-3则由（5-1-3），可得出坐标变换为（N同样得到：y = （d+ asin a+ b cos a)+例 图 5-4 所示的实际单元 e 为边长分别为 2a、 2b 的矩形 结点坐标为：x = c1 y =d1x = c + 2a cos a2y = d + 2a sin a2x = c + 2a cos a - 2b sin a3y = d + 2a sin a + 2b cos a3x = c - 2bsina4y = d + 2b cos a4图 5-4x = c - w + N + N + N )+ 2a cos a(N + N )- 2b sin a(N + N )1 2 3 4 2 3 3 4=c + 2a cos a -1 (1 + g)- 2b sin a -2 2=(c + a cos a - b sin a)+ a cos a - b sin a㊈一况ay的竺淹ax內=--表明：当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的兀』是（,n的线性函数。

Jacobi矩阵acosa asina- bsin a bcos aJacobi行列式a cos a a sin adet J = = ab—b sin a b cos a在单元内是常数当结点序号按图5-4的转向排列时，detJ恒正3、单元内假设的位移场对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点（x., y.）的位移为u., v.实际单元i i i ie内的假设位移场（Trial function）取为u =工 N （g，耳）• uiii=1 （5-1-5）v = N （g，耳）• vii i=1注意，这里U、v虽然是用点的自然坐标E，n表述的，但位移u、v （以及后面的单元刚度矩 阵）却是对总体坐标系的这与第二章中在单元局部坐标系下定义位移场的作法有区别在坐标变换（5-1-3）和假定的位移场（5-1-5）中使用的是同一套变换关系（形函数），同一套变换参数（与（x., y）对应的结点位移（u.,v.））满足这一特征的单元称为等参数单元这样定义单元有不少优点，但也对我们提出了一些新问题假定的位移场是^, 的双线性 函数，当实际单元为矩形时，d，n可表示成x, y的线性函数，假定的位移场u、v是x，y的 多项式。

但对一般单元而言，d，n不能表示成X，y的多项式，因而位移场u、v不再是x， y 的多项式，不能直接利用第四章的结果进行收敛性分析4、收敛性分析（1） 单元内位移场连续X、y、u、v都是d，n的双线性函数（连续函数）只要Jacobi行列式detJHO, u、v就 是x，y的连续函数即在实际单元内u、v连续2） 刚体位移和常应变条件对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一次多项式或 者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场 当试探函 数直接用总体坐标的多项式描述时（像第四章所做的那样）采用前面一种提法是方便的现在试探函数是用自然坐标表述的，则用后一种提法更合适一些j=ij丰i(5-1-6)我们定义的形函数满足： 「n. （g. ,n.） = §.. =| 0i i i j I才N （g,卩）三1i设真实位移场为 x， y 的线性函数u =a +a x +a y1 2 3v =a +a x +a y4 5 6将x，y按（5-1-3）代入，并利用 为N （g,卩）三1有i.=1u =a XN +a XN x +a XN y♦ ♦ o • •. 2 . . 3 . j)i3i. =1 . =1 . =1=XN (a +a x +a y. 1 2.=1结点位移的真实值）ii注意到a +a x1 2 i图 5-5即刚体位移和常应变条件标变换和假定的位移场 使用同一组形函数（等 参数单元总是如此），那 么这样假设的位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场总可以得到满足。

3) 协调性对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续如图5-5所示，考虑一个实际单元e,它 的母体单元为0以1-2边为例沿1-2边"=常数，x、y、u、v都是E的线性函数设e 边界上的M点与e边界上的M点对应，则M到结点1的距离S将是£的线性函数反过 来E也是S的线性函数，因而u, v也是S的线性函数，完全由这个边界上两个结点1、2的 位移值纬、u2、耳、v2所决定从另一相邻单元e，看来，沿边1-2, u、v也是S的线性函数 完全被结点1、2处的位移值所决定从单元e和e，看来沿共同边界1-2上的位移处处相 同，即在边界上位移是连续的对其他边界可用类似的方法加以证明四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的灵活性和收敛条件 (主要是协调条件)之间的矛盾但是一般的四边形单元只能精确地再现线性变化的位移场， 有限元空间Sh的次数k—1=1虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意当实际单 元是矩形时，£，n是x、y的线性函数，假定的位移场将是x、y的二次多项式，但只完全到 一次多项式，二次项不完全这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能 例如， 在分析图5-6的“纯弯曲”应力场时，图(a)中的单元将比图(b)中的单元效果好，尽管 还不能说满意。

提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插值函数阶次a)(b)图 5-65、四结点单元的应用实例及相关限制条件某求解域如图5-7(a)所示,若将该区域用3个四结点等参元进行离散,母体单元如图5-7(b) 所示a)(c)图 5-70从图中可以看出：1、2号单元与母体单元的结点编号顺序一致，均为逆钟向，而3号 单元的编号顺序为顺钟向；1、3号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单元 内部，而单元2是非凸形单元，如连接结点1、3的线段不在单元内下面讨论这些差别在 母体单元与实际单元进行映射时的影响QxQg 竺=xQq i=1 空=x4 3N= x 」i淹i=iONX ii的ON y ii=1在母体单元中形函数如式（5-1-1）,坐标变换关系如式（5-1-3）首先，计算出 Jacobi 矩阵中的各元素如下=1 匸 x (1 一耳)+ x (1 一耳)+ x (1 +耳)一 x (1 +耳)] 4 1 2 3 4=11一 x(L -g)- x(L + g)+ x G -g)+ x(L -g)] 4 1 2 3 4=1L y G-n)+ y (1 -n)+ y (1+n)- y (1+n)]i Og 4 1 2 3 4123字=工y 学=4 [- y (-g)- y ( + g)+ y ( + g)+ y (-g)] Qq i Qqi=1下面计算出各单元具体的变换关系及Jacobi行列式的值单元1：3=3,y4 =5，则各结点的坐标为x = x = 0,x = x = 2, y = y = 0,y4 2 3 1 2x =》N (g ,q) - x = 2 N + 2 N = 1 + gi i 2 3i =1y =》N (g ,q) - y = 3 N + 5 N = ( + q^2 —丄 gi i 3 4 I 2 丿i=1-1(1+q)J = det J ]2Jacobi行列式是g的线性函数，对所有的g值（-1