线性代数二次型的标准形和规范形课件.ppt

第二节第二节12一、二次型的标准形一、二次型的标准形定义定义下面介绍二次型化为标准形的方法下面介绍二次型化为标准形的方法31 1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：拉格朗日配方法的基本步骤：　　　　2.　若二次型中不含有平方项，但是　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法中方法配方配方.　　　　1.　若二次型含有　若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; 4例例1 1用配方法化用配方法化二次型二次型 解解为标准形，并写出对应的可逆线性变换为标准形，并写出对应的可逆线性变换含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项5标准形为标准形为所用变换矩阵为所用变换矩阵为6例例2 2用配方法化用配方法化二次型二次型 解解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。

为标准形，并写出对应的可逆线性变换所给二次型中无平方项，所以先作线性变换所给二次型中无平方项，所以先作线性变换原二次型化为原二次型化为7再配方，得再配方，得标准形为标准形为8所用变换矩阵为所用变换矩阵为对应的线性变换为对应的线性变换为92 2、用正交变换法化二次型为标准形、用正交变换法化二次型为标准形定理定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形任何二次型都可以通过正交变换化为标准形而由正交而由正交阵性性质可知，可知， 因此因此这样的正交的正交 10用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤11例例3 3用正交变换将用正交变换将二次型二次型 解解化为标准形，并求所作的正交变换化为标准形，并求所作的正交变换二次型的矩阵二次型的矩阵1213再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，正交化，14于是所求正交变换为于是所求正交变换为标准形为标准形为15例例4 4用正交变换将用正交变换将二次型二次型 解解化为标准形，并求所作的正交变换化为标准形，并求所作的正交变换二次型的矩阵二次型的矩阵161718正交化，正交化，1920再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为所作正交变换为标准形为标准形为21例例5 5解解22由由题意意, ,这两个矩两个矩阵相似相似, , 23二、二次型的规范形二、二次型的规范形　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。

其标准形一般来说是不唯一的 但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．等于二次型的秩． 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的次型所确定，这就是下面的““惯性定理惯性定理””24定理定理(惯性定理惯性定理)p为正惯性指数为正惯性指数, ,正负惯性指数的差正负惯性指数的差 称为二次型的称为二次型的符号差符号差. .为负惯性指数为负惯性指数, ,无无论用何种可逆用何种可逆线性性变换把它化把它化为标准形准形, ,其中正的系数其中正的系数个数个数( (称称正惯性指数正惯性指数) )和和负的系数个数的系数个数( (称称负惯性指数负惯性指数) )唯唯一确定一确定. . 25继续作可逆线性变换继续作可逆线性变换矩阵形式为矩阵形式为26二次型化为二次型化为称之为二次型的称之为二次型的规范形规范形. .定理定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形范形, ,且规范形是唯一的且规范形是唯一的. .化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。

化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换27练习：练习：P222 习题五习题五28END29选用例题1 1、用配方法化、用配方法化二次型二次型 为标准形，并写出对应的可逆线性变换为标准形，并写出对应的可逆线性变换解解所给二次型中无平方项，所以先作线性变换所给二次型中无平方项，所以先作线性变换30所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为31化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.2、求一正交变换，将二次型、求一正交变换，将二次型解解对应特征向量为对应特征向量为32再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形二次型的标准形33。