2022年江苏高考数学试卷.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年江苏高考数学试卷 江苏卷05-2022年高考数学必刷试卷（解析版） 数学试题I 一．填空题（共70分） 1.已知集合A＝{x|4－x20}，B＝{x|0≤x≤3，x∈Z}，那么A∩B＝________． 答案：{0，1} 解析：由于集合A＝(－2，2)，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}． 2. 已知复数 z ＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在实轴上，那么a＝________． 答案：1 解析：由于z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，由条件，得a－1＝0，所以a＝1. 3. 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，那么实数λ＝________． 答案：2 解析：由于λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，由条件得－4(2λ＋3)＋7(λ＋2)＝0，所以λ＝2. 4. 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为________. 答案：91 解析：平均分为＝91. 5.执行如下图的伪代码，那么输出的结果的集合为________． 答案：{2，5，10} 解析：当S←1，I←1时，输出的S值为2； 当S←2，I←3时，输出的S值为5；当S←5，I←5时，输出的S值为10. 6. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，那么所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________． 答案：解析：由于5瓶饮料中随机取2瓶，共有10种处境，所取的2瓶中没有果汁的有3种处境，所以2瓶中至少有一瓶果汁的有7种处境，所以其概率为. 7. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为棱AA1的中点．若AA1＝4, AB＝2，那么四棱锥BACC1D的体积为________． 答案：2 解析：取AC的中点为O，连结BO，易得BO⊥平面ACC1D，所以四棱锥BACC1D的体积V＝S四边形ACC1D·h＝××2×＝2. 8. 已知圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线x＋my＋4＝0对称，那么m＝________． 答案：－1 解析：由题意可得直线x＋my＋4＝0过圆C的圆心(－1，3)，所以－1＋3m＋4＝0，即m＝－1. 9. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，外观积为12，那么＋＝________． 答案：3 解析：由已知条件得πr2h＝2　①，2πr2＋2πrh＝12　②，得＝3，即＋＝3. 10. 将25个数排成五行五列： 已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等．若a24＝4，a41＝－2，a43＝10，那么a11a55的值为________． 答案：－11 解析：设每一列的公比为q，由a24＝4，a41＝－2，a43＝10，得a11＝＝，a13＝＝，a14＝＝.由于第一行成等差数列，所以－＝2×，解得q2＝4.当q＝2时，a11＝－，a13＝，所以a15＝，a55＝a15q4＝44，所以a11a55＝－11； 当q＝－2时，a11＝，a13＝－，所以a15＝－，a55＝a15q4＝－44，所以a11a55＝－11. 11. 已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：画出函数f(x)的图象如下图，查看图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，那么函数f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需得志0a1. 12. 在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(1，2)两点绕定点P顺时针方向旋转θ角后，分别到A′(4，4)，B′(5，2)两点，那么cos θ的值为________． 答案：－ 解析：由条件得AA′的中垂线方程为x＋y－4＝0，BB′的中垂线方程为x＝3，由解得所以点P(3，1)．又kPB＝－，kPB′＝，所以tan θ＝＝－，所以cos θ＝－. 13. 已知椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若椭圆上存在点P使＝，那么该椭圆的离心率的取值范围是________． 答案：(－1，1) 解析：依题意及正弦定理，得＝ (点P不与F1F2共线)，即＝，∴ －1＝，∴ ＝＋1, ∴ a－cPF2＝a＋c，∴ a2－c22a2(a＋c)2，解得 e－1或e－－1.又0e1，∴ －1e1. 14. 若函数f(x)＝x－1－aln x(a0)对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，那么实数a的取值范围是________． 答案：[－3，0) 解析：易知函数f(x)在定义域内为增函数，不妨设x1x2，那么f(x1)f(x2)，∴ |f(x1)－f(x2)|≤4⇔f(x2)－f(x1)≤4⇔f(x2)＋≤f(x1)＋，令g(x)＝f(x)＋＝x－1－aln x＋，只要g′(x)＝1－－≤0在(0，1]上恒成立，即a≥x－在(0，1]上恒成立． ∵ x－在(0，1]上单调递增，∴ x－的最大值为－3，∴ －3≤a0. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题总分值14分) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知(2a－c)cos B＝bcos C. (1) 求角B的大小； (2) 若b＝2，a＝1，求sin C的值． 解：(1) 由已知得2acos B＝ccos B＋bcos C， 由正弦定理，得2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)．(2分) 又B＋C＝π－A，所以2sin Acos B＝sin A. 又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B＝. 又B∈(0，π)，所以B＝.(6分) (2) 由正弦定理，得＝，得sin A＝.(8分) 又ab，所以A为锐角，那么cos A＝＝.(11分) 又A＋B＋C＝π，得sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝.(14分) 16. (本小题总分值14分) 如图，在四棱锥PABCD中， 已知AB∥CD，AD＝DC＝PA＝a，AB＝2a. (1) 试段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由； (2) 若AD⊥AB，BC⊥PC，平面PAB⊥平面ABCD.求证：PA⊥BC. (1)解：点M为线段PB的中点时，CM∥平面PAD.(2分) 设线段AP的中点为E，连结ME，DE，CM，那么ME∥AB，且ME＝AB. ∵ AB∥CD，DC＝a，AB＝2a， ∴ ME∥CD，且ME＝CD， ∴ 四边形MEDC是平行四边形，∴ CM∥DE.(4分) ∵ DE⊂平面PAD，CM⊄平面PAD， ∴ CM∥平面PAD.(6分) (2) 证明：连结AC，在底面ABCD中， ∵ AD⊥AB，AB∥CD，AD＝DC＝a，AB＝2a， ∴ AC＝a，BC＝a，∴ AC2＋BC2＝AB2， ∴ BC⊥AC.(10分) ∵ BC⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，∴ BC⊥平面PAC. ∵ PA⊂平面PAC，∴ PA⊥BC.(14分) 17. (本小题总分值14分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆G：＋y2＝1的左、右顶点，P(2，t)(t∈R，且t≠0)为直线x＝2上的一个动点，过点P任意作一条直线l与椭圆G交于点C，D，直线PO分别与直线AC，AD交于点E，F. (1) 当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时，求t的值； (2) 记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2. ① 若t＝－1，求证：＋为定值； ② 求证：四边形AFBE为平行四边形． (1) 解：由题意知，上顶点C(0，1)，右焦点(，0)，所以直线l：y＝－x＋1，令x＝2，得t＝1－.(4分) (2) 证明：直线AC：y＝k1(x＋2)与＋y2＝1联立，得 C，(6分) 同理得D. 由C，D，P三点共线得kCP＝kDP，即＝， 化简得 4k1k2＝t(k1＋k2)．(10分) ① t＝－1时，＋＝－4(定值)．(11分) ② 要证四边形AFBE为平行四边形，只需证E，F的中点即点O， 由题可知，直线PO的方程为y＝x，由 得xE＝，同理得xF＝. 将t＝分别代入得xE＝＝，xF＝＝， 所以xE＋xF＝0，yE＋yF＝(xE＋xF)＝0，所以点O是EF的中点， 即四边形AFBE为平行四边形．(14分) 18. (本小题总分值16分) 如图，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB＝10 m，CD＝3 m，现用钢丝绳对这两根钢管举行加固． (1) 如图1设两根钢管相距1 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固(图中虚线所示)，那么BE多长时所用钢丝绳最短？ (2) 如图2设两根钢管相距3 m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次拉直固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固(图中虚线所示)，那么BE多长时所用钢丝绳最短？ 解：(1) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，那么 y＝＝＋，其中0θθ0，tan θ0＝7.(3分) y′＝＋，易知y′＝＋在(0，θ0)上是增函数，且当tan θ＝时，y′＝0. 故y＝＋在(0，θ0)上先减后增， 所以当tan θ＝时，即BE＝4时，有ymin＝8.(6分) (2) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，那么 y＝(1＋cos θ＋sin θ)，其中0θθ0，tan θ0＝＝.(10分) y′＝(＋)(1＋sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sinθ)．(12分) 令y′＝0得sin θ＝cos θ，当θ＝时，即BE＝6时，有ymin＝6(＋2)．(14分) 答：(1) BE＝4 m时，钢丝绳最短；(2) BE＝6 m时，钢丝绳最短．(16分) 19. (本小题总分值16分) 已知函数f(x)＝2ln x＋x2－ax，a∈R. (1) 若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2) 若a＝e，解不等式：f(x)2； (3) 求证：当a4时，函数y＝f(x)只有一个零点． (1) 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝2ln x＋x2－ax，f′(x)＝＋2x－a. 由题意，对任意的x0，都有f′(x)＝＋2x－a≥0，只要(＋2x)min≥a. 由根本不等式，得＋2x≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号， 所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．(4分) (2) 解：当a＝e时，f(x)＝2ln x＋x2－ex，f′(x)＝＋2x－e＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由于f(e)＝2ln e＋e2－e·e＝2，所以f(x)2⇔f(x)f(e)，所以0xe， 故不等式f(x)2的解集为(0，e)．(9分) (3) 证明：f′(x)＝＋2x－a＝，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝2x2－ax＋2， 当a4时，由于Δ＝a2－160，所以g(x)＝2x2－ax＋2确定有两个零点． 设两零点分别为x1，x2(x1x2)， 由于x1x2＝1，所以0x11x2， 那么f(x)在区间(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(12分) 由于g(x1)＝2x－ax1＋2＝0，所以f(x1)＝2ln x1＋x－ax1＝2ln x1－x－2. 由于0x11，所以f(x1)＝2ln x1－x－22ln 1－x－20，所以f(x2)f(x1)0.。