解析几何坐标系变换.ppt

定义 设 ， 令称矩阵 为矩阵 与 矩阵的乘 积，记为 方法如下： 矩阵的乘法记为例如不存在.主对角元全为1而其他元素全为零 的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为 或 ,即定义称为单位矩阵（或单位阵）.性质1 对任一m×n矩阵 ,均有 ， 一一. . 仿射坐仿射坐标标标标系系  定义定义: :空间中一点空间中一点OO与三个不共面向量与三个不共面向量 e e1 1,e ,e2 2,e ,e3 3一起构成空间的一个一起构成空间的一个仿射标架仿射标架, ,记记[O, e[O, e1 1,e ,e2 2,e ,e3 3]. ].称称e e1 1,e ,e2 2,e ,e3 3为它的为它的坐标向量坐标向量. O. O称为它的称为它的原点原点. .对于空间任意一点对于空间任意一点A, A, 把向量把向量OA(OA(称为称为A A的定的定 位向量位向量) )对对e e1 1,e ,e2 2,e ,e3 3 的分解系数构成的有序数组的分解系数构成的有序数组 称为点称为点A A关于上述仿射标架的关于上述仿射标架的仿射坐标仿射坐标. . e e3 3e e2 2e e1 1O OP POPOP = = a ae e1 1+ + b be e2 2+ + c ce e3 3 仿射坐标系仿射坐标系{ {O O; ; e e1 1, , e e2 2, , e e3 3}. }. 任意点任意点P, P, 存在唯一的有序数组存在唯一的有序数组 ( (a a, , b b, , c c) )使得使得OPOP= = a ae e1 1+ + b be e2 2+ + c ce e3 3. . e e3 3e e2 2e e1 1O OP P坐标原点坐标原点 点点P P的的定位向量定位向量 坐标向量坐标向量或或基基 P P的的坐标坐标 在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而 图形的方程也是不同的。

问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的 方程最简单问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之 间有什么关系？设在空间中我们取定两个仿射坐标系，它们的标架分别 为 和Oe1e2 e3O’e1’e2’e3’M设 在 中的坐标依次为用矩阵表示为矩阵称为从坐标系 到 的过渡矩阵，它是以 在 中的坐标为各个列向量的三阶矩阵设向量 在 和 中的坐标分别为 它们与 和 之间的位 置关系有直接相关的 于是由坐标的定义，这说明 在 中的坐标为用矩阵表示为：向量的坐标变换公式：下面讨论点的坐标变换公式设点M在 和 中的 坐标分别为 ，它们分别是向量 在 中的坐标和向量 在 中的坐标由公式得 在 中的坐标为 由于 ，如果设点 在 中的坐标 为 ，则这就是点的坐标变换公式的矩阵形式。

点的坐标变 换公式的一般形式为曲面的方程的变换公式设S是一张曲面，它在 中的一般方程为求它在 中的一般方程对于点M，如果它在 中的坐标为 ，则 在 中的坐标为 因此点M在S上充要条件为：把上式左端的函数式记作 则 是S在 中的一般方程，称它 为由S在 中的方程 经过坐标变换 化为S在 中的方程过渡矩阵的性质因为 中的坐标向量 是不共面的，所以 过渡矩阵的行列式 ，即 是满秩矩阵命题 设有三个仿射坐标系 到 的过 渡矩阵为 ， 到 的过渡矩阵为 ，则 到 的过渡矩阵为直角坐标变换的过渡矩阵，正交矩阵设 和 是空间中的两个直 角坐标系， 到 的过渡矩阵为因为 是直角坐标系，C的各个列向量依次是在 中的坐标，所以它们之间的内积为又 是直角坐标系，所以于是实方矩阵 ，满足 ，则称 为正交矩阵。

命题 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵对于平面上两个直角坐标系，它们的过渡矩 阵是正交矩阵则它是二阶正交矩阵，设为则于是于是二阶正交矩阵只有下面两种形式：平面直角坐标变换公式一个是旋转, 一个是旋转加反射.现考虑在一个右手直角坐标系中，一个二次方程做法是通过转轴和移轴，寻找一个新的右手直角坐标系 ，使得方程最简，从而看出其几何形状下面用转轴消去交叉项新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得 于是，要使得新坐标系的方程不出现交叉项， 只需取 满足 例 化方程 为标准二次方程 作业作业 • P134 4, 5, • P135 7, 10.。