常用离散型和连续型随机变量.docx

常用离散型随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X是一个随机变量，如果X的取值是有限个或者无穷可列个，则称 X 为离散型随机变量其相应的概率P(X = 一)= Pj( i = 1、2 )称为X的概率分布或分布律，表格表示形式如下：Xx1x2x3xiPP1P2P3Pi[2] 性质：❶pU 0in❷ y p 二 iii = 1❸分布函数F ( x )二工pixi = x❹ P{ X = x } = F (x ) - F (x )i i i-1(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数 F(x) ，存在非负的函数f (x)，使得对于任意实数x,均有：F(x)二 f f(x) dx—g则称X为连续型随机变量，f (x)称为概率密度函数或者密度函数[2] 连续型随机变量的密度函数的性质❶ f (x) > 0❷ 了 f (x)dx 二 1—g+

⑵ 概率密度f (x) 一定非负，但是可以大于1,而离散型随机变量的概率分布 p 不仅非负，而且一定不大于 1.i⑶连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X取任何 给定值的概率都为 0.[4] 对任意两个实数a < b，连续型随机变量X在a与b之间取值的概率与区间端点无关，即：P {a v X v b} = P {a < X < b} =P {a v X W b} = P {a W X v b}=F (b) — F (a )b=I f (x) dxa即：P{X v b} = P{X < b} = F(x)(4)常用的离散型随机变量的分布函数：[1] 0-1 分布：只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布，它用来描述只有两种对立的结果(成功与失 为败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时 为间A出现与不出现)的伯努利实验辭:綁拜:郴:綁拜:郴:綁拜:郴:綁拜:郴:綁拜:郴:綁拜:郴淋㈱:綁綁拜淋处;P{X = k} = p k q1—k(K=O、1) (0 < p < 1) q = (1 - p)称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布[2] 二项分布：如果离散型随机变量 X 的概率分布为：P｛X = k｝ = C k pkq n—kn(k = 0、1 n ) (0< p < 1) q = (1 — p)称 X 服从参数为 n、 p 的二项分布，简记为 X ~ B (n, p )&｛注：进行一次实验，若实验的成功率为P,则在一次实验中成功的次数X服从参数为p的0-1分布｝&｛二项分布描述n重伯努利实验，若每次试验的成功率为p，则 进行n次独立重复试验，则成功的总次数X服从参数为n、p的 二项分布｝&｛如果X服从二项分布X〜B(n，p)，则Y=n-X服从二项分布X 〜B (n,1 一 p)}[3] 超几何分布：如果离散型随机变量 X 的概率分布为：C m C n - mP {X = m} = N n2CnN1 + N 2(m = 0、1称X服从参数为n, N]、N2的超几何分布，其中n, N、、N?都为正整数，且n<叫+ N2{当n > N时，去正概率的X值不是从0开始，而是从n-N开22始；当n > N时，去正概率的X值最大不是n,而是N }11⑷泊松分布(Poisson)如果随机变量 X 的概率分布为：九kP {X = k} = e-九k!(k = 0、1 n )则称随机变量X服从参数为九的泊松分布，简记为X〜P(九).[5] 总结：在离散型的几个常用分布中， 二项分布与其他几个分布关 系最为密切：1) 参数为 p 的 0-1 分布，就是参数为 n、 p 的二项分布B ( n , p ) 当 n=1 时的特例；(5) 常用连续型随机变量的分布函数[1] 均匀分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为：1a < x < b/ (x)二 1b — a其他则称X服从区间［a,b］上的均匀分布，其分布函数为:广 0x < aF ( x )二、 a < x < bb — a 1 x > bL. 1在［a,b］上服从均匀分布的随机变量X在［a,b］内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在［a,b］内的位置无关。

即:若［c,d］ e［a,b］，则:d — cP{c < X < d}= b 一 a［2］指数分布:如果连续型随机变量的概率密度为f( x)宅防:< 0则称X服从参数为为的指数分布，其中九〉0，相应的分布函数为：F ( x )=1 — e 一 九 x x n 00 x < 0① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命② 指数分布具有无记忆性［3］ 正态分布:A. 正态分布的概率密度为:f (x)=1 — (x-卩)2e 2 b 22 sx e ( 一其中卩和b均为常数，且b >0，简记为：X〜N(RQ2)B.特别地，当—0、b= 1时，称X服从标准正态分布，记作X 〜 N ( 0, 1，)其概率密度为：X 22其分布函数用①(x)表示C. 标准正态分布X〜N(0,1)的分布函数 ①(x)与概率密度申(X)的性质a)申(-x)=申(x)即申(x)是一个偶函数b)c)lim申(x) = 0即x轴是申(x)的水平渐近线分布函数F (x僅①迄匕；概率密度bd)1 zx —f (x)=申( )bb若乂〜N(0，1)，当c>o时,P{ X| < c} = 2 ①(c) -1x若随机变量X服从正态分布X〜N(卩,b2)，则 口 服从标准正态分布〜N(0，1)，且 bb匚〜N(0,1)bx如果X〜N(RQ2)，当a丰0时，aX + b服从正态分布N(a卩+ b,a2b2)。

特别地，如果a=1,则 X + b 〜N(卩 + bQ2)如果X〜N(卩Q 2), X〜N(AQ 2),1 1 1 2 2 2且 X 、 X 相互独立，则12a X + a X 〜N (a 卩 + a 卩,a 2b 2 + a 2c 2)1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2(6) 随机变量的函数分布的求法设X是一个随机变量，y = g(x)是一个实函数，则Y = g(X)也是 一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X的分布 及函数y = g(x)，求随机变量Y = g(X)的概率分布或者概率密度乃至分 布函数[1] 离散型随机变量的函数分布的求法如果随机变量的函数Y = g(X)是离散型(无论X是不是 离散型的)的，求Y的分布只要逐点分析出Y的全部可能取值及 取各可能值的相应概率即可[2] 连续型函数的分布的求法1. 分布函数法：如果随机变量的函数Y = g (X)是连续型的， 最基本的方法是分布函数法，即先求出Y的分布 函数 F (y) = P(g(x) < y) = J f (x)dx，然后通过Yg(x)

2. 公式法如果X是连续型的随机变量，y = g(x)是x的单调可到函数，其导数不为 0，则 Y 的概率密 度fY(y)可直接由X的密度f(y)求出:h'(y)fx h y )] yez(g) 0 其他其中x = h(y)是函数y = g(x)的反函数,Z(g)是y = g (x)的值域3. 方法总结：确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组,从中解出所求参数, 建立分布中未知参数方程的主要方法有：1) 分布函数F(x)性质、离散型分布律｛p ｝性i质、连续型概率密度f (x)性质2) F (—8)= 0、F (+8)= 1、F (x) = F (x+)3) 在 F(x)的连续点，F(x — 0) = F(x) = F(x + 0)4) £ p = 1、0 < p <1 oiii=15) f f (x)dx = 1、f (x) > 0 o—86) 特殊分布函数。