乘法公式知识讲解.docx

乘法公式（基础）【学习目标】1. 把握平方差公式、完全平方公式的结构特点，并能从广义上懂得公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行运算 . 明白公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算；3. 能敏捷地运用运算律与乘法公式简化运算 .【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：〔a b〕〔 a b〕a2 b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 .要点诠释： 在这里，a,b 既可以是详细数字，也可以是单项式或多项式 .抓住公式的几个变形形式利于懂得公式 . 但是关键仍旧是把握平方差公式的典型特点：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方 . 常见的变式有以下类型：（ 1）位置变化：如 〔a b〕〔b a〕利用加法交换律可以转化为公式的标准型（ 2）系数变化：如 〔3x5 y〕〔3 x5 y〕（ 3）指数变化：如〔m3n 2 〕〔 m3n2 〕（ 4）符号变化：如 〔 a b〕〔 a b 〕（ 5）增项变化：如 〔m n p〕〔 m n p 〕（ 6）增因式变化：如〔 a b 〕〔 a b〕〔 a 2b2 〕〔 a 4b 4 〕要点二、完全平方公式2完全平方公式： a b22a 2ab b〔a b〕 2 a 2 2ab b 2两数和 〔 差〕 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 .要点诠释： 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 以下是常见的变形：222a b a b2ab2a b 2ab2a b a b24ab要点三、添括号法就添括号时， 假如括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号； 假如括号前面是负号，括到括号里的各项都转变符号 .要点诠释： 添括号与去括号是互逆的， 符号的变化也是一样的， 可以用去括号法就检查添括号是否正确 .要点四、补充公式〔x p 〕〔 x q〕x2 〔 p q 〕x pq ； 〔 a b〕〔 a 2 mab b2 〕a3 b 3 ；〔a b〕3a 3 3a 2b3ab2b3 ； 〔a b c〕2a 2 b2c2 2ab2ac2bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、以下两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 .能用平方差公式运算的，写出运算结果．〔1〕 2a 3b3b 2a ； 〔2〕 2a 3b2a 3b ；〔3〕 2a 3b2a 3b ； 〔4〕 2a 3b2a 3b ；〔5〕 2a 3b2a 3b ； 〔6〕 2a 3b2a 3b ．【思路点拨】 两个多项式因式中，假如一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式 .【答案与解析】2解： 〔2〕 、〔3〕 、〔4〕 、〔5〕 可以用平方差公式运算， 〔1〕 、〔6〕 不能用平方差公式运算．(2) 2a3b 2a3b ＝23b －2a ＝ 9b 24a 2 ．(3) 2a 3b2a 3b ＝22a －3b 2 ＝ 4a 29b2 ．(4) 2a3b 2a3b ＝22a －3b 2 ＝ 4a 29b 2 ．(5) 2a 3b2a 3b ＝23b －222a ＝ 9b4a 2 ．【总结升华】 利用平方差公式进行乘法运算， 肯定要留意找准相同项和相反项 （系数为相反数的同类项） ．举一反三：【变式】运算： （ 1） x 3 y x 3 y ； （ 2） 〔 2x〕〔 2x〕 ；2 2 2 2（ 3） 〔 3 x2 y〕〔2 y3 x〕 ．【答案】2 2 2解：（ 1）原式 x3 y x9 y2 ．2 2 4 4（ 2）原式2 2〔 2〕 x24 x ．（ 3）原式〔3x2 y〕〔2 y3x〕 〔3x2 y〕〔3 x2 y〕 9x24 y2 ．2、运算：〔1〕59.9 60.1 ； 〔2〕102 98．【答案与解析】解： 〔1〕59.9 60.1 ＝ 〔60 － 0.1〕 〔60 ＋ 0.1〕 ＝ 6020.12 ＝ 3600－ 0.01 ＝3599.99〔2〕102 98＝ 〔100 ＋ 2〕〔100 － 2〕 ＝ 10022 2 ＝ 10000－ 4＝ 9996．【总结升华】 用构造平方差公式运算的方法是快速运算有些有理数乘法的好方法， 构造时可利用两数的平均数， 通过两式 〔 两数 〕 的平均值， 可以把原式写成两数和差之积的形式． 这样可顺当地利用平方差公式来运算．举一反三：【变式】用简便方法运算：〔1〕899 901＋ 1； 〔2〕99 101 10001；〔3〕 20052 － 2006 2004；【答案】解： 〔1〕 原式＝ 〔900 － 1〕〔900 ＋ 1〕 ＋ 1＝ 900 212 1 ＝ 810000．〔2〕 原式＝ [〔100 － 1〕〔100 ＋ 1〕] 10001＝10021 10001＝ 〔10000 －1〕 〔10000 ＋ 1〕 ＝ 100000000－ 1＝ 99999999．〔3〕 原式＝20052 － 〔2005 ＋ 1〕〔2005 － 1〕 ＝20052 － 〔20052 － 12 〕 ＝1．类型二、完全平方公式的应用3、运算：(1) 3a b2； 〔2〕3 2a2； 〔3〕x 2 y2； 〔4〕22x 3y ．【思路点拨】 此题都可以用完全平方公式运算，区分在于是选“和”仍是“差”的完全平方公式 .22【答案与解析】解： 〔1〕23a b223a 2 3a b b9a 6ab b ．2〔2〕 3 2a22a 322a 2 2a3 324a212a 9 ．2(3) x 2 yx2 2 x 2y2 y 2 x24xy4 y 2 ．22(4) 2x 3y22x 3 y22x 2 2x 3 y3y 4x212xy9 y2 ．【总结升华】 〔1〕 在运用完全平方公式时要留意运用以下规律： 当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正， 当所给的二项式符号相反时， 结果中两平方项为正， 乘积项的符2号为负． 〔2〕 留意 a b2a b 之间的转化．4、运算： 〔1〕【答案与解析】20022 ； 〔2〕1999 2 ．〔3〕999.92 ．解： 〔1〕2002222000 2200022 2000 2 22＝ 4000000＋ 8000＋ 4＝ 4008004．〔2〕 1999222000 1200022 2000 1 1222＝ 4000000－ 4000＋ 1＝ 3996001．2〔3〕 999.921000 0.110002 1000 0.1 0.1＝1000000 －200＋ 0.01 ＝ 999800.01 ．【总结升华】 构造完全平方公式运算的方法适合求接近整数的数的平方．5、已知 a b 7 ， ab ＝ 12．求以下各式的值：(1) a 2ab b 2 ； 〔2〕〔a b〕 2 ．【答案与解析】解： 〔1〕 ∵ a 2ab b 2 ＝ a2b 2 － ab ＝222a b － 3 ab ＝ 7 －3 12＝ 13．〔2〕 ∵222a b ＝a b － 4 ab ＝ 72 － 412＝ 1.【总结升华】 由乘方公式常见的变形： ①2a b －a b ＝ 4 ab ；② a 2b2 ＝ a b－2 ab ＝2a b ＋ 2 ab ．解答此题关键是不求出a, b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知〔a b〕 27 ， 〔a b〕24 ，求 a 2b 2 和 ab 的值．【答案】解：由〔a b〕27 ， 得 a22 ab b27 ； ①2由 〔a b 〕24 ， 得 a2 222 ab b4 ． ②2 2 11①＋②得2〔 a b〕 11 ，∴a b ．2①－② 得 4ab3 ，∴3ab ．4。