2000年-2012年考研数学一历年真题.doc

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)120xd=_____________.(2)曲面 1yz在点 (,2)的法线方程为_____________.(3)微分方程 30x的通解为_____________.(4)已知方程组123120xa无解,则 a= _____________.(5)设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为19, A发生 B不发生的概率与 B发生 不发生的概率相等,则 ()P=_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx、 (g是恒大于零的可导函数 ,且()0,则当 axb时,有(A) )(fxbf(B) ()gax(C) )(fxf(D) ()(2)设 221:(0),SxyzaS为 在第一卦限中的部分,则有(A) 14SSd(B) 1yx(C) 1SSz (D)14xydxy(3)设级数 1nu收敛 ,则必收敛的级数为(A) 1()nu(B)21n(C) 21()nu(D)11()n(4)设 维列向量组 1,()mnα 线性无关,则 维列向量组1,mβ线性无关的充分必要条件为(A)向量组 1, 可由向量组 1,mβ 线性表示 (B)向量组 m 可由向量组 α 线性表示(C)向量组 1,α 与向量组 1,m 等价 (D)矩阵 (,)A 与矩阵 1(,)Bβ 等价(5)设二维随机变量 XY服从二维正态分布,则随机变量与 不相关的充分必要条件为(A) ()E(B) 2222[()]()[(]XEY(C) ((D) 2222)[(]()[(]E三、(本题满分 6 分)求142esinlim).xx四、(本题满分 5 分)设 ,()xzfyg,其中 f具有二阶连续偏导数 ,g具有二阶连续导数,求2.zxy五、(本题满分 6 分)计算曲线积分 24LxdyIA,其中 L是以点 (1,0)为中心,R为半径的圆周 (1),取逆时针方向.六、(本题满分 7 分)设对于半空间 0x内任意的光滑有向封闭曲面 ,S都有2()()e0xSfdyzfdzdyA其中函数x在 ,内具有连续的一阶导数 ,且 0lim()1,xf求 ()fx.七、(本题满分 6 分)求幂级数 13(2nnx的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分 7 分)设有一半径为 R的球体 0,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 0距离的平方成正比(比例常数 k),求球体的重心位置.九、(本题满分 6 分)设函数 fx在 [,]上连续,且00(),()cos0.dfxd试证:在 (,)内至少存在两个不同的点 12使 12十、(本题满分 6 分)设矩阵 A的伴随矩阵*01,38且11BE,其中 为 4 阶单位矩阵,求矩阵 B.十一、(本题满分 8 分)某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第 n年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为nx和 ,y记成向量 .nx(1)求1n与 ny的关系式并写成矩阵形式:1.nnxyA(2)验证 1241,η是 A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当 12xy时,求1.nxy十二、(本题满分 8 分)某流水线上每个产品不合格的概率为 (01)p,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为X,求 的数学期望 ()EX和方差 ()D.十三、(本题满分 6 分)设某种元件的使用寿命 的概率密度为2()e(;)0xfx,其中 0为未知参数.又设12,n是 X的一组样本观测值 ,求参数 的最大似然估计值.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 e(sincos(,xyabxa为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2) 22zr,则 (1,2)divgr= _____________.(3)交换二次积分的积分次序: 012),(yxf＝_____________.(4)设 24AEO,则 1A= _____________.(5) ()DX,则根据车贝晓夫不等式有估计 }2{P_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数 )xf在定义域内可导 , )(xfy的图形如右图所示,则(y的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设 ),(yxf在点 0,的附近有定义,且130yx则(A) (,)|dzxd(B)曲面 yf在 (0,,)f处的法向量为 {3,1}(C)曲线 )zx在 ,,f处的切向量为 ,0(D)曲线 (,)0fy在 ,(0,)f处的切向量为 {3,1}(3)设 )(f则 )xf在 =0 处可导 (A) 201coslimh存在 (B) 0(e)lihf存在(C) 20sin)lihf存在 (D)()m存在(4)设140,AB,则 A与B(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X和 Y相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分 6 分)求 2arctnexd.四、(本题满分 6 分)设函数 ,(yxfz在点 (1,)可微,且 32),1)(yxff,,(f,求 1)(xd.五、(本题满分 8 分)设 fx 21arctn0 x,将 )(xf展开成 的幂级数,并求 124)(nn的和.六、(本题满分 7 分)计算 222()(3)LIyzdxdyxdzA,其中是平面 与柱面 1的交线,从 Z轴正向看去,为逆时针方向.七、(本题满分 7 分)设 xf在 1,内具有二阶连续导数且 0)(xf.证明:(1)对于 ),0(,存在惟一的 1,,使 )(xf= 0+ xf成立 .(2) 5.0)(lim0x.八、(本题满分 8 分)设有一高度为 th(为时间)的雪堆在融化过程 ,其侧面满足方程)(2)(2tyxtz(设长度单位为厘米 ,时间单位为小时), 已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分 6 分)设 12,sα 为线性方程组 AXO的一个基础解系,2123121, sstttββαβα,其中 21,为实常数,试问 1满足什么条件时 ,s 也为AXO的一个基础解系 ?十、(本题满分 8 分)已知三阶矩阵 和三维向量 x,使得 2,Ax线性无关,且满足32x.(1)记 (,),P求 B使 1P.(2)计算行列式 AE.十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 (01),p且中途下车与否相互独立. Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率.(2)二维随机变量 ()XY的概率分布.十二、(本题满分 7 分)设 2~,N抽取简单随机样本12,()nX样本均值 iiX21, niiniXY12)(,求 ().EY2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)exd2ln= _____________.(2)已知 610y,则 ()y=_____________.(3) 2满足初始条件1,2的特解是_____________.(4)已知实二次型 3231212321321 44)(),( xxxaxf 经正交变换可化为标准型 6yf,则 =_____________.(5)设随机变量 )(~2NX,且二次方程042y无实根的概率为 0.5,则 =_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数 ),(yxf的四条性质:① ,f在点 0处连续, ② ),(yxf在点 ),0处的一阶偏导数连续,③ ),(yxf在点 ),0处可微, ④ ),(f在点 ),0处的一阶偏导数存在.则有:(A)② ③ ①　 (B)③ ②①(C)③ ④ ①　 (D)③ ①④(2)设 0nu,且 1limn,则级数)1()n为(A)发散 　　 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.(3)设函数 )(xf在 R上有界且可导,则(A)当 0limx时,必有 0)(lixfx (B)当)(limxfx存在时 ,必有 0)(lixfx(C) 当 00时,必有 m0 (D) 当)(li0fx存在时,必有 )(li0fx.(4)设有三张不同平面,其方程为 iiii dzcyba( 3,21)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设 X和 Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xf和 yf,分布函数分别为 )(xFX和 yY,则(A) X＋ )(Y必为密度函数 (B) )(xfX)(yfY必为密度函数(C) xFX＋ )(yY必为某一随机变量的分布函数 (D) )(xFX)(yY必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分 6 分)设函数 xf在 0的某邻域具有一阶连续导数 ,且 0)(f,当h时,若 )()2()hofhbfa,试求 ba的值.四、(本题满分 7 分)已知两曲线 (xfy与2arctn0extd在点 (0,)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限 )(limfn.五、(本题满分 7 分)计算二重积分2ax{,}eyDd,其中 10,|),{(.六、(本题满分 8 分)设函数 )(xf在 R上具有一阶连续导数, L是上半平面( y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为( ba),终点为( dc).记 dyxfyxyfI ]1)([)]1[22  ,(1)证明曲线积分 与路径 L无关.(2)当 cdab时,求 I的值.七、(本题满分 7 分)(1)验证函数 03)!(nxy( )满足微分方程ex.(2)求幂级数03)!()ny的和函数 .八、(本题满分 7 分)设有一小山,取它的底面所在的平面为 xoy面,其底部所占的区域为 }75|{2xyD,小山的高度函数为 ),(yxh275.(1)设 ),(0yxM为区。