中考数学真题汇编---锐角三角函数应用.doc

专题三、锐角三角函数应用视线在水平线上方的角；俯角：铅垂线★视线水平线、视线题型一俯角与仰角仰角:视线在水平线下力的角例1、在一次数学活动中，李明利用-•根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个 测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图5,已知李明距假山的水平距离BD为12m, 他的眼睛距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线0A和假山的最高点C,此m.时，铅垂线0E经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（例2〉例2、如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A、B （不计大小）， 树干垂直于地面，量得AB二2米，在水渠的对面与0处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰 角为45°、木瓜B的仰角为30° .求C处到树干D0的距离CO.（结果精确到1米）（参考 数据：73-1.73,72-1.41 )例3、如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45° : 如果小华向后退0. 5米到B处，这吋他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛 到地面的距离结果精确到0.1米，参考数据：希= 1.732）.■ f ■ ■331例4、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A. B的距离，飞机在 距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60° ,然后沿着平行于AB的方 向水平飞行了 500米，在点D测得端点B的俯角为45° ,求岛屿两端A. B的距离（结果 精确到0.1米，参考数据：73^1.73, V2«1.41）例5、如图，线段/〃、力分别表示甲、乙两建筑物的高。

某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在〃处测得〃点的仰角为a，在/处测得〃点的仰角为0 o 已知甲、乙两建筑物之间的距离％为加 请你通过计算用含a、〃、加的式子分别表示出 甲、乙两建筑物的高度例6、在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45° ,游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米?题型二方位角问题1、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角如图3, 0A、OB、0C、0D的方向角分别是：45°、135°、225°2、 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角如图4： 0A、OB、0C、01）的方向角分别是：北偏东30° （东北方向），南偏东45° （东南方向），南偏西60°例7、轮船从B处以每小时海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位 于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，贝UC 处与灯塔A的距离是 海里例&某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30。

方向，且相距202海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西6方向航行§小时到达B处，那么tanZABP=V5 2^5・ D・ （例9）例9、已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的 长为16km一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后到达 C处现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向求此时货轮与A观测点之间的距离八C 的长（精确到 0. 1km）.（参考数据:sin53. 2° ~0. 80, cos53・ 2° ^0. 60,sin79.8° ~0. 98, cos79. 8° =0. 18, tan26. 6° =0.50, Hl .41,亦〜2. 24）例10、如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在力地观测到我渔船Q 在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变，航行半小时后到达〃处，此时 观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值.）I例11、如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西 67.5° ,轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到 城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9° , tan36.9° sin67.5° ^―, tan67. 5° ^―）5 4 13 5例12、如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时，教学 楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地 面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）⑴求教学楼AB的高度；⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.（参考 3 15 2数据：sin22° 心石，cos22° tan22° ^7 ）A题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切值。

应用举例：坡面的铅直高度力和水平宽度/的比叫做坡度（坡比）用字母'表示，B|J/=yo坡度一般写成1：加的形式，女卄=1：5等把坡面与水平面的夹角记作0（叫做坡角），那 么心Jan几（例 13）例13、如图2,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： V3 ,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB的长度是 m.例14、小强在教学楼的点"处观察对面的办公大楼.为了测量点"到对而办公大楼上部 的距离，小强测得办公大楼顶部点昇的仰角为45°，测得办公大楼底部点〃的俯角为60° , 已知办公大楼高46米，CD=10米.求点"到初的距离（用含根号的式子表示）.例14图例15.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人 士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为儿斜坡的起始点为C,现设计斜坡〃C的坡度, = 1:5 , 则/C的长度是 cm.例16.如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的 仰角为60° ,然后他从P处沿坡角为45°的山坡上走到C处，这时，PC二30m，点C与点A 在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内.（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离.（精确到0.5,参考数据：、伍=1.41, V3 ^1.73,拆 =2.45）3 P例17.水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 ABCD.如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，ZB=60° ,背水坡面CD的长为16的 米，加固后大坝的横截面为梯形ABED, CE的2为8米.（1）已知需加固的大坝长为150米， 求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面DE的坡度.图9例1&如图,已知斜坡AB长60米,坡角（即ZBAC）为30° , BC丄AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡 BE.（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：5/3^1.732）.（1） 若修建的斜坡BE的坡角（即ZBEF）不大于45° ,则平台DE的长最多为 米；（2） —座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG二27米），小明在D点测得建筑物顶部H 的仰角（即ZHDM）为30° .点B、C、A、G、H在同一个平而内，点C、A、G在同一条直 线上，且HG丄CG,问建筑物GH高为多少米？30°PP参考答案：例1.【解析】如下图，过点A作AF丄CD于F,则AF=BD=12in, FD=AB=1.6m.再由OE〃CF可知ZC=ZA0E = 60。

•所以，在 RtAACF 中，CF= =4<3 ,那么 CD=CF + FD =tan 60例3图例2.【解析】如图，根据题意，得ZC0D=90° , ZAC0=45° , ZBC0=30° , AB=2,求CO. 设CO为x米，根据A0=00,列方程，解得即可.B0【答案】解：设C0为X米在必△BCO中，tan30° = ,则B0= —X 在7?fAAC0中,A0=C0,得方程、一兀+2 = x解得x~5.答：C0长大约是5米.X例 3.【答案】设 AC=BD=x,在 RtAACAi 中,ZAAiC=45°, AAAfx,在 RtADBBi 中,BBf tan 30五，又•，孰-如冷，即】例4.异,解得:X卑74（米）.【解析】解：过点A作AE丄CD于点E,过点B作BF丄CD于点F, VAB/7CD, ・・・ZAEF二ZEFB二ZABF二90° ,二四边形 ABFE 为矩形. ・・・AB=EF, AE=BF.由题意可知：AE=BF=100米,CD二500米.・・・2分在 RtAAEC 中，ZC=60° , AE=100 米.ACE=_ （米）. ・・・4 分tan60 V3 3 y在 RtABFD 中，ZBDF=45° , BF=100. ・・.DF—" 100 （米）.・・・6 分tan45 1严600 -丄平X 1. 73=600 - 57. 67~542. 3 （米）.・・・8 分。

答：岛屿两端A. B的距离为542.3米.•••AB二EF二CD+DF - CE二500+100 -例5•解：过点/作AML CD于财在Rt'BCD利CDtan a 二 /. CXBC • tan a =m tan aBC在 Rt'AMD 中，tan^=^- :.D^AM ・ tan 5AMtan 0 •: AB CD - D由！n( tan a - tan 0)(例5)可分别在直角三角形中利用正切值表示出 可建立关于h“ h2的方程组，解这个方程例6.解析：设太婆尖高h】米，老君岭高b米 水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米,组求得两山峰高度解：设太婆尖高山米，老君岭高b米，依题意，有tan 30’tan 45°h.〔tan 45°tan 60= 100=>= 100100tan 60 - tan 45=50(73 +1) = 50(1.732 + 1) = 136.6 -137 (米), 100 100hy — = l〜tan 45' - tan 30° V31 3 =5073(73 +1) = 50(3 + V3) = 50(3 +1.732) = 236.6 = 237 (米) 答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。

例&【解析】如图所示，由题意可知ZAPB=90° .且AP二20, PB=60X-=40.3例 7. BC=50X0. 5=25 海里；由方位角得,ZBCD二30° , ZACB=ZBCD+ZACD=30° +60° =90° ；十（1 PA 20 1以 tan z^ABP= =—=—PB 40 2例9.【解析】过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差利用RtAABII和Rt △BCH求线段AH、CH的长，利用AH-CH确定AC的长答案】BC=40X — =10.在 RtAADB 中，sinZDAB=—, sin53. 2° =0.8所以 AB=60 AB———— =20.如图，过点B作BH丄AC,交AC的延长线于H在Rt AAHB中，sinZDAB 0.8BH BHZBAH=ZDAC- ZDAB=6。