高等代数【北大版】（52）.ppt

§4 最大公因式,§5 因式分解,§6 重因式,§10 多元多项式,§11 对称多项式,§3 整除的概念,§2 一元多项式,§1 数域,§7 多项式函数,§9 有理系数多项式,§8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、公因式 最大公式,二、最大公因式的存在性与求法,§1.4 最大公因式,三、互素,四、多个多项式的最大公因式,i),1．公因式:,若,满足:,且,2．最大公因式:,若,满足：,ii) 若 ， 且 ，则,则称 为 的最大公因式．,则称 为 的公因式．,一、公因式 最大公因式,① 的首项系数为1的最大公因式记作:,注：,② ， 是 与零多项式0的最,大公因式．,③ 两个零多项式的最大公因式为0．,④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大,公因式是唯一的.,若 为,的最大公因式，则 ，c为非零常数．,若 不全为零，则,,二、最大公因式的存在性与求法,,定理2 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ．,若 有一为0，如 ，则,就是一个最大公因式．且,考虑一般情形：,用 除 得：,其中 或 .,若 ，用 除 ，得：,证：,若 ，用 除 ，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为0．设,其中 或 ．,即,于是我们有一串等式,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,说明:,① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为,辗转相除法．,② 定理２中最大公因式,中的 不唯一.,③ 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式.,,如: ，则,取 ，有,取 ，也有,取 ,也有,成立．,事实上,若 则对 ，,④ 若 ，且,则 为 的最公因式．,设 为 的任一公因式，则,证：,从而,即,∴ 为 的最大公因式．,例1,求 ，并求 使,,,,,,,,解:,且由,得,例2. 设,求 ，并求 使,因式，即,就可以)，这是因为 和 具有完全相同的,若仅求 ，为了避免辗转相除时出现,注:,分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始,为非零常数．,则称 为互素的(或互质的)．,1．定义:,三、互素,若,互素,除去零次多项式外无,说明:,由定义，,其它公因式．,,定理3 互素 ，使,2．互素的判定与性质,证：,显然．,设 为 的任一公因式，则,从而,又,故,,定理4 若 ，且 ， 则,证：,使,于是有,又,推论 若 ，且,又,，则,证:,，使,于是 ，使,而,由定理4有,从而,,若 满足:,定义,i),则称 为 的最大公因式．,ii),若,则,四、多个多项式的最大公因式,注：,表示首1最大公因式．,② ，使,③,的最大公因式一定存在．,④ 互素 使,附:,最小公倍式,设 ，若,i),ii) 对 的任一公倍式 ，都有,则称 为 的最小公倍式．,注: 的首项系数为1的最小公倍式记作:,。