中考数学压轴题剖析.pdf

1 / 43 中考数学压轴题剖析 1（ 9分）（ 2015?云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）与 x轴相交于 A，B两点 ，与 y轴相交于点 C，直线 y=kx+n （k0 ）经过 B，C两点，已知 A（1，0）， C（0，3），且 BC=5 （ 1）分别求直线 BC和抛物线的解析式（关系式）； （ 2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B， C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请 求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 专题：综合题 分析： （ 1）由 C的坐标确定出 OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐 标，把 B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把 A与B坐标代入抛物线解析式求 出 a的值，确定出抛物线解析式即可； （ 2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以 B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分 两种情况考虑：当PCCB时， PBC为直角三角形；当PB BC时， BCP 为直角三角形，分别求出P的坐标即可 解答：解：（ 1） C（ 0，3），即 OC=3，BC=5 ， 在 RtBOC中，根据勾股定理得：OB==4，即 B（4，0）， 把 B与 C坐标代入 y=kx+n 中，得：， 解得： k=，n=3， 直线 BC解析式为 y=x+3； 由 A（ 1，0）， B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x1）（ x4）=ax 25ax+4a， 把 C（ 0，3）代入得： a= ， 则抛物线解析式为y=x2x+3； （ 2）存在 如图所示，分两种情况考虑： 抛物线解析式为y=x2x+3， 2 / 43 其对称轴 x=== 当 PCCB时， PBC为直角三角形， 直线 BC的斜率为， 直线 PC斜率为， 直线 PC解析式为 y 3= x，即 y=x+3， 与抛物线对称轴方程联立得， 解得：， 此时 P（，）； 当 PB BC时， BCP 为直角三角形， 同理得到直线 PB 的斜率为， 直线 PB 方程为 y=（x4） = x， 与抛物线对称轴方程联立得：， 解得：， 此时 P （， 2） 综上所示， P（，）或 P （， 2） 3 / 43 2.如图，正方形ABCD 中，点 A、B的坐标分别为（ 0，10），（ 8，4）， 点 C在第一象限动点P在正方形ABCD 的边上，从点 A出发沿 ABC D匀速运动， 同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当P点到达 D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒 (1) 当 P点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标（长度单位）关 于运动时间 t （秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动 速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标； (3) 在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时P点的坐标； (4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点P沿 ABCD匀速运动时， OP与 PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由 解：（ 1） Q （ 1， 0） 点 P 运动速度每秒钟1 个单位长度 （ 2） 过点 B 作 BFy 轴于点 F ， BE x轴于 点E，则 BF8， 4OFBE 1046AF 在 RtAFB中， 22 8610AB 3分 过点 C 作 CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H 90 ,ABCABBC ABF BCH 6,8BHAFCHBF 8614,8412OGFHCG 所求 C 点的坐标为（ 14，12） 4 分 （ 3） 过点 P作 PMy 轴于点 M，PN x轴于点 N， 则 APM ABF APAMMP ABAFBF 1068 tAMMP A B C D E F G H M N P QOx y 4 / 43 34 55 AMtPMt， 34 10, 55 PNOMtONPMt 设 OPQ的面积为 S（平方单位） 213473 (10)(1)5 251010 Stttt （0 10）5 分 说明 :未注明自变量的取值范围不扣分 3 10 a <0 当 47 47 10 3 6 2() 10 t 时， OPQ的面积最大6 分 此时 P的坐标为（ 94 15 ， 53 10 ） 7 分 （ 4） 当 5 3 t 或 295 13 t 时， OP与 PQ相等 3、直线与坐标轴分别交于两点，动 点同时从点出发，同时到达 5 / 43 点，运动停止点沿线段 运动，速度为每秒1 个单位长度，点 沿路线 运动 6 / 43 （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒， 的面积为，求出 与之间的函数关系式； 7 / 43 （3）当时，求出点的坐标，并直接 写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标 解（ 1）A（8，0）B（ 0，6）1 分 （ 2） 8 / 43 点由到 的时间是（秒） 点的速度是 9 / 43 （单位 /秒） 1 分 当段上运动（或0 ）时， 1 分 10 / 43 当段上运动（或 ）时，, 如图，作于点，由 ，得，1 分 11 / 43 1 分 （自变量取值范围写对给1 分，否则不给分） （ 3）1 分 3 分 4 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 P （0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心， 3 为半径作 P. （1）连结 PA，若 PA=PB ，试判断 P与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k 为何值时，以 P与直线 l 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 12 / 43 解：（ 1） P与 x 轴相切 . 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0）， 与 y 轴交于 B（0， 8）， OA=4，OB=8. 由题意， OP=k， PB=PA=8+k. 在 RtAOP中， k2+42=(8+k)2， k=3， OP等于 P的半径， P与 x 轴相切 . （ 2）设 P与直线 l 交于 C，D 两点，连结PC，PD 当圆心 P段 OB 上 时,作 PE CD于 E. PCD为正三角形，DE= CD= ，PD=3， PE =. AOB=PEB =90 ， ABO= PBE ， 13 / 43 AOB PEB ， ， ， ， 14 / 43 . 当圆心 P段 OB 延长线上时 ,同理可得P(0,8)， k=8， 当 k=8 或 k=8 时，以 P与直线 l 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. 15 / 43 5.如图 1，在等腰梯形中，， 是的中点，过点 作交于 点，. 16 / 43 （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过 作交于 点，过作 17 / 43 交折线于点 ，连结，设 . 当点段上时（如图 2）， 18 / 43 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变，请说明理由； 当点段上时（如图 3），是 否存在点，使为等腰三角形？若存 19 / 43 在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. 20 / 43 解（ 1）如图 1，过点作于点 1 分 为的中点， 21 / 43 在中， 2 分 即点到的距离为 22 / 43 3 分 （2）当点段上运动时， 的形状不发生改变 23 / 43 ， 同理4 分 如图 2，过点作于 24 / 43 ， 25 / 43 则 在中， 的周长 =6 分 当点段上运动时， 26 / 43 的形状发生改变，但恒为等边三角形 当时，如图3，作于 ，则 类似， 27 / 43 7 分 是等边三角形， 此时，8 分 当时，如图4，这时 28 / 43 此时， 当时，如图5， 则又 29 / 43 因此点与重合， 为直角三角形 此时， 30 / 43 综上所述，当或 4 或时， 为等腰三角形10 分 6（ 9 分）（ 2014 年云南省）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别 为 A（3，0）、 B（3，4）、 C（0，4）点 D在 y 轴上，且点D的坐标为（ 0， 5），点 P是直线 AC上 的一动点 （ 1）当点 P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）； （ 2）当点 P沿直线 AC移动时，过点D、P的直线与x 轴交于点M 问在 x 轴的正半轴上是否存在使DOM 与ABC相似的点M ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）当点 P沿直线 AC移动时，以点P为圆心、 R（R0）为半径长画圆得到的圆称为动圆P若设动 圆 P的半径长为，过点 D作动圆 P的两条切线与动圆P分别相切于点E、 F请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF ？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请 说明理由 31 / 43 考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形 的判定与性质 专题：综合题；存在型；分类讨论 分析：（ 1）只需先求出AC中点 P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式 （ 2）由于 DOM与ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长， 即可求出点M的坐标 （ 3）易证 SPED=SPFD从而有S四边形 DEPF=2SPED=DE由 DEP=90 得 DE 2=DP2PE2=DP2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 32 / 43 DP AC时， DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小借助于三角形相似，即可求出 DP AC时 DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值 解答：解：（ 1）过点 P作 PH OA ，交 OC于点 H，如图 1 所示 PH OA ， CHP COA == 点 P是 AC中点， CP=CA HP=OA ，CH=CO A（ 3，0）、 C （ 0，4）， OA=3 ， OC=4 33 / 43 HP=， CH=2 OH=2 PH OA ，COA=90 ， CHP= COA=90 点 P的坐标为（，2） 设直线 DP的解析式为y=kx+b， D（ 0， 5）， P（，2）在直线DP上， 34 / 43 直线 DP的解析式为y=x5 （ 2）若 DOM ABC ，图2（1）所示， DOM ABC ， 35 / 43 = 点 B坐标为（ 3，4），点 D的坐标为（ 0 5）， BC=3 ， AB=4 ，OD=5 = OM= 点 M在 x 轴的正半轴上， 36 / 43 点 M的坐标为（，0） 若 DOM CBA ，如图2（2）所示， DOM CBA ， = BC=3 ， AB=4 ，OD=5 ， = 37 / 43 OM= 点 M在 x 轴的正半轴上， 点 M的坐标为（，0） 综上所述：若 DOM与CBA相似，则点M的坐标为（，0）或 （，0） 38 / 43 （ 3）OA=3 ， OC=4 ，AOC=90 ， AC=5 PE=PF=AC= DE 、 DF都与P 相切， DE=DF ，DEP= DFP=90 SPED=SPFD S 四边形 DEPF=2SPED =2PE?DE =PE?DE =DE DEP=90 ， 39 / 43 DE 2=DP2PE2 =DP 2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 当 DP AC时， DP最短， 此时 DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小 DP AC ， DPC=90 AOC= DPC OCA= PCD ，AOC= DPC ， AOC DPC = A。