高考数学(理数)一轮复习教案：5.3《等比数列及其前n项和》(含详解).doc

第三节　等比数列及其前n项和等比数列(1)理解等比数列的概念．(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等比数列与指数函数的关系．知识点一　等比数列的相关概念公式相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋)或＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋且n≥2)通项公式an＝a1qn－1(n≥2，n∈N＋)前n项和公式Sn＝等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±易误提醒　1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．[自测练习]1．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)A. B.C．－ D.或－解析：由解得或又a1<0，因此q＝－.答案：C2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)A．－24 B．0C．12 D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.答案：A知识点二　等比数列的性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．1．若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N＋.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N＋.2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N＋)．3．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)，也是等比数列．4．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.5．当q≠－1，或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．6．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．7．若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.易误提醒　1．在性质中，当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．2．在运用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系．[自测练习]3．在等比数列{an}中，若a3a5a7＝－3，则a2a8＝(　　)A．3 B.C．9 D．13解析：由a3a5a7＝－3，∴a＝－3，又a2a8＝a＝3.答案：A4．(唐山期末)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)A．2 B.C. D．1或2解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴＝＝，故选B.答案：B考点一　等比数列的基本运算|1．(高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21 B．42C．63 D．84解析：由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.答案：B2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7a1，则数列{an}的公比q的值为(　　)A．2 B．3C．2或－3 D．2或3解析：因为S3＝a1＋a2＋a3＝7a1，所以a2＋a3＝6a1，即a1q＋a1q2＝6a1，q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3，故选C.答案：C3．(唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)A．4n－1 B．4n－1C．2n－1 D．2n－1解析：设{an}的公比为q，∵∴由①②可得＝2，∴q＝，代入①得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1，选D.答案：D解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.　　考点二　等比数列的判定与证明|　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，从而cn≠0，∴＝.所以数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n，又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n.等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝4a1＋2，即a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an＋2－(4an－1＋2)＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)，即bn＝2bn－1(n≥2)，又b1＝3，则bn≠0，∴＝2(n≥2)．从而数列{bn}是以3为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1，即an＋1－2an＝3·2n－1∴－＝3且＝2，∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1，∴an＝(3n－1)·2n－2.考点三　等比数列的性质及应用|　(1)(衡阳联考)若函数f(x)＝log2，在等比数列{an}中，a2·a5·a8＝8，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝(　　)A．－9　　　　　　　　 B．－8C．－7 D．－10[解析]　因为a2·a5·a8＝8，所以a5＝2，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2＝log2＝log22－9＝－9，故选A.[答案]　A(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)A. B．－C. D.[解析]　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6也成等比，即8，－1，S9－S6成等比，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.[答案]　A等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(呼和浩特调研)已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)A. B.C. D．2解析：利用等比数列的性质求出公比，再求解a1.因为{an}是等比数列，所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0，所以q＝，a1＝＝，故选B.答案：B3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.解析：由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.答案：－　　18.分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】　(高考湖南卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.[思路点拨]　(1)利用数列递推关系式，结合an和Sn的关系得出结论；(2)利用分类讨论思想写出数列通项，结合等比数列再进行分类求和．[解]　(1)证明：由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)由(1)知，an≠0，所以＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列，因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝，从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．综上所述，Sn＝[方法点评]　分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．(3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．[跟踪练习]　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则{an}(　　)A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝即an＝当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．答案：CA组　考点能力演练1．(太原一模)已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)A．2 B．4C. D．2解析：设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，q2＝，q＝，所以a1＝＝4，故选B.答案：B2．已知数列{an。