随机变量的分布及数字特征.docx
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第二章随机变量及其数字特征一、 教学要求1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密 度函数的概念和性质；2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正 态分布、 指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征二、 重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的 分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算§随机变量及其分布一、 随机变量1 .引入随机变量的必要性1） 在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系如：产品检验问题中，抽样中 出现 的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等2） 有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述如：掷硬币问题中，记出现正面时为“ 1”，出现反面时为“ 0”注：这些例子中，试验的结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。
2. 引例先看一个具体的例子：例1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数.我们将3只黑球分别记作1，2,3号，2只白球分别记作1 2，3 1 2,41 2 51 3， 4 ， 1 3,5，1，4 5，3，4 ，2 3,5，2 ，4 53，，4， 5 ，，，4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2, 3•因此，X是一个变量.但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量.X的取值情况可由下表给出:样本点 黑球数X1, 2, 3 |1, 2, 4 2样本点 黑球数X1, 4, 5 12, 3, 4 21, 2, 522, 3, 521, 3 422, 4, 511, 3, 523, 4, 51由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X的一个确定的取值，因此 变量X是样本空间 上的函数：X X我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件•例如:X 2X2表示取出2个黑球这一事件；X 2表示至少取出2个黑球这一事件，等等.3. 定义1 )描述性定义：定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量，常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母 x,y,z等表示。
2)严格定义：设(，，P)为一概率空间， X X (), 是定义在 上的实值函数，若对任一实数x, { :X( ) x}，则称X为随机变量4. 随机变量的例子例2上午8:00 9:00在某路口观察，令：Y :该时间间隔内通过的汽车数.则Y就是一个随机变量.它的取值为 0, 1 ,Y 100表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；50 Y 100表示通过的汽车数大于 50辆但不超过100辆这一随机事件例3观察某生物的寿命(单位：小时)，令：Z :该生物的寿命.则Z就是一个随机变量.它的取值为所有非负实数.Z 1500表示该生物的寿命不超过 1500小时这一随机事件.二、分布函数及其性质1. 分布函数的概念定义设(，，P)为一概率空间，X为定义在其上的随机变量，对任意实数X,称F(x) P(X x)为随机变量X的分布函数，且称X服从F (x),记为X~F (x).有时也可用F* (x)表明 是X的分布函数.2. 例子例4向半径为 一r的圆内随机抛一点 ，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x),并求解事件“ Xx”表示所抛之点落在半径为x(0 x r)的圆内，故由几何概率知F(x) P(Xx)2x2 x2()-从而 P(X>2r 2r 251— 1-)=P(X )=()3.分布函数的性质rr3 3 3 9定理：任一分布函数F(x)都有如下三条基本性质(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(，)上的单调非减函数，即对任意的x七，有 F(x) F(X2)； , 2⑵规范性：F( ) = limF(x) 0 ；xF ( ) = lim F (x) 1。
x(3) 右连续性：F(x)是乂的右连续函数，即对任意的 气，有lim F(x) F(x)，x xo即 F(xo 0) F(Xo)注(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件2) 有了分布函数的定义，可以计算：P(a X b) F(b) F(a)，P(X a) F(a) F(a )，P(X b) 1 F(b )等三、离散随机变量及其分布列1. 离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个， 则称这个随机变量为离散型随机变量讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性， 要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率2. 分布列 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x「x2 ,L xnL，则称X取xj 的概率Pi P(x) P(X Xi),i 1,2 ± n,L为X的概率分布列或简称为分布列，记为 X P.i分布列也可用下列形式表示：x x L x L① 2 n 或p(Xj) p(X2)L p(Xn)LXX1X2KPP1P2K3.分布列的基本性质(1)非负性：p(*) 0,i 1,2 ±；⑵正则性：p(X) 1.ii 1注1 )离散随机变量的分布函数为： F(x) p(X)。
iX X2)设离散型随机变量X的分布函数为F X , 土为其间断点，k =1,2, …，贝叹的分布律为 pk P X Xk F Xk F Xk 0 ,k 1,2,L4.例子例5设离散随机变量X的分布列为1 2 30.25 0.5 0.25 '试求P(X 0.5), P(1.5 X 2.5)，并写出X的分布函数例6从1 10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值.试求 X的分布列.解：X的取值为5, 6, 7, 8, 9, 10.并且C4P X k F k 5, 6, L , 10C10具体写出，即可得X的分布列：X5678910P15153570126252252252252252252例7设随机变量X的分布列为解：由分布列的性质，得1 2, L,试求常数c.，所以c四、连续随机变量及其密度函数F(x),如果存在实数轴上的一个非负可积函数P(x),使1. 连续型随机变量的概念定义设随机变量X的分布函数为得对任意x,有xF(x) p(t)dt ,则称X为连续随机变量，称 p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数2. 密度函数的基本性质(1)非负性：P(x) 0 ； (2)正则性：p(x)dx 1 ；反过来，若已知一个函数 P(x)满足上述性质(1 )和(2),则p(x) 定是某连续型随机变量X的概率密度函数.另外，对连续型随机变量 X的分布，还具有如下性质：b(1) a,b R,( a b), P(a X b) F (b) F (a) p(x)dx。
a更一般的，对一般的区间 B，有P(X B) p(x)dx.B(2) 连续型随机变量X的分布函数F (x)是连续的，但反之不真；(3) 连续型随机变量X取任一确定值的概率为0;即对于任意实数c , P(X c) 0 ；c事实上， h 0,0 P(X c) P(c h X c) p(x)dx.c h L令 h 0 , p(x)dx 0,即得 P(X=c)二0c h注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的， 所以，概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件⑷若P(x)在X处连续，则有F (x) x x p(x))3 •例子Kx2例 8 设 X ~ p(x)Kx3，求:常数K⑵X的分布函数；(3) P(1X f).解(1)由性质X ~ p(x)其它p(x)dx 1，得2Kx2dx3Kxdx2631x2其它(2) X的分布函数为包 t2dt鬲F(x) 2备F(x)t2dtx31tdt223xli4315 ⑶ P(1 X 2) F(2)3 4F(1) (2)2 —1331 31 31831245；P(x)dx§随机变量的数字特征概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是：(1) 在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；(2) 在实际问题中，有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全 面的 变化规律，如测量误差的平均误差，评定射击手的稳定性的离散度等；(3) 对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。
数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反 映随机变量某些方面的重要特征的一些数值解：假设做了 n次游戏，m —得1元次数， n2 —得2元次数，匕一得4元次数,一、随机变量的数学期望1•引例某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数1点2, 3点4, 5, 6 点获得(元)124求：一次游戏平均得多少钱?则n1n2 n3 n,获得:]n12 n24n3每次平均得1 n12 n2 4 n3〔n12匹4匹当n很大时,1 P!2 P24 P3】62. 离散型随机变量的数学期望1)定义3 176百如果P(X.)P(XX. p(X.)X.), i1,2,L n,LE(X)XP(X.)寸 i 1为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望 或均值若级数则称iX.imxj i 1不收敛，则称X的数学期望不存在注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与2)例子X取值顺序无关服从几何分布，P( E = k)二(1- P)k-1 P,(k=1,2,L )，求E .解：k(1P)P k(1k 1\k 1P)由于kxkk(1、kP)例102kk1(k=1,2,…)对应的概率为Px牙，证明E(X)不存在。
k证明Pxk2kk,711但级数设离散随机变量X的分布列为2kkXkPx<所以E(X)不存在。
