等比数列及其前n项和---主要内容+练习附详细答案.doc

教师姓名学生姓名年级学科高中数学课题名称等比数列及其前n项和课型复习教学目标1． 理解等比数列的概念，掌握其通项公式；2． 掌握等比数列的性质及简单应用；3. 掌握等比数列前n项和的公式及推导过程教学重点理解等比数列的概念，熟练运用等比数列前n项和公式，建立分类讨论的思想教学难点等比数列与等差数列的综合应用课题内容讲解一、主要内容（1）等比数列的定义：数列中，若(常数)，，对都成立，则数列叫等比数列，常数q叫等比数列的公比等比数列的通项公式为 通项公式推广：（2）等比数列的简单性质：1、对于任意的正整数n，均有（常数）；2、对于任意的正整数，有3、对于任意的正整数,如果，则（3）等比中项的概念 三数a,b,c成等比，即b是a,c的等比中项 （3）等比数列的前n项和公式： ∴当时， ① 或 ②当q=1时，当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.（4）公式推导 公式的推导方法一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得 ∴当时， ① 或 ②当q=1时， 公式的推导方法二：＝ ＝＝（结论同上）二、 例题讲解 1.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于。

2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 1或- 4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8等于 4 5. 已知为等比数列，，求的通项公式. 解 方法一 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， a ==，a4=a3q=2q，∴+2q=.解得q1=，q2=3.①当q=时，a1=18，∴an=18×()n-1==2×33-n.②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.∴an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n≥2)，求{cn}的通项公式.（1）证明 由a1+S1=1及a1=S1得a1=. 又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得 an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列. （2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1 (n≥2), ∴2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn (n≥2). 又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,即c2=c1.∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列. ∴cn=·()n-1=()n. 方法二 由（1）bn=(-)·()n-1=-()n.∴an=-()n+1.∴cn=-()+1-=-==（n≥2）. 又c1=a1=也适合上式，∴cn=. 7. 在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且++++=2,求a3.解 方法一 设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,∴a=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二 由已知得：++===2.∴a=4.∴a3=±2. 8. 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为：∵∴最快33个小时全球人都知道这个消息。

三、课堂练习与订正1.已知等比数列{an}中，a3=,S3=4,求a1.解 当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,当q≠1时，依题意有,解得q2=,a1=6.综上可得：a1=或a1=6.2.设数列{an}是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,… （t∈N*）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a5,,,…,,…是等比数列，求数列{nt}的通项公式.解 （1）设{an}的公差为d,则由a5=a3+2d,得d==,由ama3=,即3=62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）∵a3=2，a5=6，∴d==2，∴当n≥5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5, ,,…,,…成等比数列，则q===3,=a5·3t,t=1,2,3,…. 又=2-4,∴2-4=a5·3t=6·3t,∴2=2·3t+1+4.即=3t+1+2,t=1,2,3,….3.（1）在等比数列{an}中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列{an}中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).∴a5+a6=4.（2）∵a3a5=a，∴a3a4a5=a=8，∴a4=2，又∵a2a6=a3a5=a，∴a2a3a4a5a6=a=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),∴是以-为首项，为公比的等比数列，则an+1=-n,∵an+1＞50%,∴-n＞,∴n ＜,n＞==3.则当n≥4时，不等式n ＜恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.5.设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：{an+1-2an}是等比数列；（3）求{an}的通项公式.(1)解 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1. ①所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明 由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)·2n-1.存在问题归纳问题解决方案提交时间学科组长审批教学主管审批家庭作业拓展提高模拟题1.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的公比为 ,项数为 .2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an= .3.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1).（1）求a1,a2;（2）证明：数列{an}是等比数列；（3）求an及Sn.4. 数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列， 记bn=a2n-1+a2n (n∈N*).(1) 求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：{bn}是等比数列.5.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （n∈N*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1) (n∈N,n≥2),求证：为等差数列，并求bn.家长评价、建议备注练习答案1. 2 8 2. ·2n-1或-（-2）n-13.（1）解 ∵a1=S1=（a1-1），∴a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),∴a2=.（2）证明 ∵Sn=（an-1），∴Sn+1=（an+1-1），两式相减，得an+1=an+1-an,即an+1=-an,∴数列{an}是首项为-，公比为-的等比数列.（3）解 由（2）得an=-·(-)n-1=(-)n,Sn=.4.（1）解 ∵{anan+1}是公比为3的等比数列∴anan+1=a1a2·3n。