陕西六年中考数学第25题解析汇编.pdf
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学习 -好资料 更多精品文档 25 题解析 一、例题赏析 （2013）25.（本题满分12 分） 问题探究 （1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图， M是正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线 必须过点M ），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图， 在四边形ABCD 中，AB CD ，AB+CD=BC， 点 P是 AD的中点 . 如果 AB=a，CD=b， 且ba，那么在边BC 上是否存在一点Q，使 PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相 等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由. M D B C A P D B C A 学习 -好资料 更多精品文档 25（ 2012 陕西省 12 分）如图，正三角形ABC的边长为3+3 （1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及 其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形 EFPN，且使正方形EFPN的 面积最大（不要求写作法）； （2）求（ 1）中作出的正方形EFPN的边长； （3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上， 点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由 【答案】解：（1）如图，正方形EFPN即为所求。
（2）设正方形EFPN的边长为x ABC为正三角形， 3 AE=BF=x 3 2 3 x+x=3+3 3 9+3 3 x= 2 3+3 ，即x=333 学习 -好资料 更多精品文档 （3）如图，连接NE，EP，PN，则 0 NEP=90 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（mn）， 它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n 2222222 PN =NE +PE =2m +2n =2 m +n. 222 1 S=m +n =PN 2 延长PH交ND于点G，则PGND 在Rt PGN中， 22 222 PN =PG +GN = m+n+ mn 33 m+m+n+n=3+3 33 ，即m+n=3. 2 9 S=+ mn 2 当 2 mn=0时，即mn时，S最小 219 S=3 = 22 最小 当 2 mn最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大 m+n=3，由（ 2）知，m=3 33 最大 n=m=33 33 =63 3 最小最大 2 2 11 S=9+ mn=9+ 3 336+3 3=9954 3 22 最大最大最小 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。
【分析】（ 1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答 图所示 （ 2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的边长 （ 3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），求得面积和的表 达式为： 2 9 S=+ mn 2 ，可见S的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值； 当m最大而n最小时，S取得最大值m最大n最小的情形见第（1）（ 2）问 学习 -好资料 更多精品文档 25、（ 2011?陕西）如图，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边 AD（含端点）上， 落点记为 E，这时折痕与边BC 或者边 CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、 F 为顶点的三角形BEF 称为矩形ABCD 的“ 折痕三角形 ” （1）由 “ 折痕三角形 ” 的定义可知，矩形ABCD 的任意一个 “ 折痕 BEF ”是一个等腰三 角形 （2）如图、在矩形ABCD 中， AB=2 ，BC=4 ，当它的 “ 折痕 BEF ”的顶点 E 位于 AD 的中点时，画出这个“ 折痕 BEF ”，并求出点F 的坐标； （3）如图， 在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，该矩形是否存在面积最大的“ 折痕 BEF ”？ 若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？ 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。
专题：数形结合；分类讨论 分析：（ 1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答； （2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出 AB、 AE 的长，判断出四边形ABFE 为正 方形，求得F 点坐标； （3）矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， 当 F 在边 C D 上时， SBEF S 矩形 ABCD ，即当 F 与 C 重合时，面积最大为 4； 当 F 在边 CD 上时，过 F 作 FHBC 交 AB 于点 H，交 BE 于 K，再根据三角形的面积公 式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE 的长，进而求出E 点坐标 解答：解：（ 1）等腰 （2）如图，连接BE，画 BE 的中垂线交BC 与点 F，连接 EF， BEF 是矩形 ABCD 的 一个折痕三角形 折痕垂直平分BE，AB=AE=2 ， 点 A 在 BE 的中垂线上，即折痕经过点A 四边形 ABFE 为正方形 BF=AB=2 ， F（2，0） （3）矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， 理由如下：当F 在边 BC 上时，如图所示 SBEF S矩形ABCD，即当 F 与 C 重合时，面积最大为 4 当 F 在边 CD 上时，如图所示， 过 F 作 FHBC 交 AB 于点 H，交 BE 于 K SEKF= KF?AH HF?AH= S矩形AHFD， 学习 -好资料 更多精品文档 SBKF= KF?BH HF?BH= S矩形BCFH， SBEF S矩形ABCD=4 即当 F 为 CD 中点时， BEF 面积最大为4 下面求面积最大时，点E 的坐标 当 F 与点 C 重合时，如图所示 由折叠可知CE=CB=4 ， 在 RtCDE 中， ED=2 AE=4 2E（42， 2） 当 F 在边 DC 的中点时，点E 与点 A 重合，如图所示 此时 E（0，2） 综上所述，折痕 BEF 的最大面积为4 时，点 E 的坐标为 E（0，2）或 E（42，2） 点评： 本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题 时要利用数形结合的思想进行分类讨论 学习 -好资料 更多精品文档 25 （12 分） （2010?陕西）问题探究： （1）请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2） 如图点 M 是矩形 ABCD 内一点，请你在图中过点M 作一条直线， 使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分 问题解决： （3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用 地示意图，其中DCOB，OB=6 ，CD=BC=4 开发区综合服务管理委员会（其占地面积不 计）设在点P（4，2）处为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计）， 并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线l 是否存 在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由 考点：直角梯形；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质 专题：综合题；压轴题 分析：（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分 （2）连接 AC，BD 中心点位P，过 P 点的直线分矩形为相等的两部分 （3）假如存在，过点D 的直线只要作DAOB 与点 A，求出 P 点的坐标，设直线PH 的表达式为y=kx 解出点 H 的坐标，求出斜率k 和 b若 k 和 b 存在，直线就存在 解答：解： （1）如图 （2）如图连接AC、BD 交于 P则 P 为矩形对称中心作直线MP，直线 MP 即为所求 （3）如图存在直线l， 过点 D 的直线作DA OB 于点 A， 则点 P（4，2）为矩形ABCD 的对称中心， 过点 P的直线只要平分DOA 的面积即可， 易知，在OD 边上必存在点H 使得 PH 将DOA 面积平分 从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积， 即直线 PH 为所求直线l 设直线 PH 的表达式为y=kx+b 且点 P（4，2） ， 2=4k+b 即 b=24k， y=kx+2 4k， 直线 OD 的表达式为y=2x， ，解之 点 H 的坐标为（ x=， y=） 学习 -好资料 更多精品文档 把 x=2 代入直线PH 的解析式y=kx+2 4k，得 y=22k， PH 与线段 AD 的交点 F（2，22k） ， 022k4， 1k1 SDHF= （42+2k） ?（2）= 2 4， 解之，得k= （k=舍去） b=82， 直线 l 的表达式为y= 点评：本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错， 做的时候要认真 25、（ 2009?陕西）问题探究 （1）在图的半径为R 的半圆 O 内（含弧）， 画出一边落在直径MN 上的面积最大的正三 角形，并求出这个正三角形的面积？ （2）在图的半径为R 的半圆 O 内（含弧）， 画出一边落在直径MN 上的面积最大的正方 形，并求出这个正方形的面积？ 问题解决 （3）如图，现有一块半径R=6 的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN 上的面积最大 的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？ 分析：（ 1）如图， ACB 为满足条件的面积最大的正三角形连接OC，则 OCAB ， 根据垂径定理得到AB=2OB ，然后利用含30 的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三 角形的面积公式计算即可； （2） 如图，正方形 ABCD 为满足条件的面积最大的正方形连接 OA 令 OB=a， 则 AB=2a ， 利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可； （3）如图，先作一边落在直径MN 上的矩形ABCD ，使点 A、D 在弧 MN 上，再作半圆 O 及矩形 ABCD 关于直径MN 所在直线的对称图形，A、D 的对称点分别是A 、D 连接 AD、OD，则 AD为 O 的直径在RtAA D 中，当 OA AD时， SAAD 的面积 最大 学习 -好资料 更多精品文档 解答：解：（ 1）如图， ACB 为满足条件的面积最大的正三角形 连接 OC，则 OCAB AB=2OB?tan30 =R， SACB= （2）如图，正方形ABCD 为满足条件的面积最大的正方形 连接 OA 令 OB=a，则 AB=2a 在 RtABO 中， a2+（2a） 2=R2 即 S正方形ABCD=（ 2a） 2= （3）存在 如图，先作一边落在直径MN 上的矩形ABCD ，使点 A、D 在弧 MN 上，再作半圆O 及 矩形 ABCD 关于直径MN 所在直线的对称图形，A、D 的对称点分别是A 、D 连接 AD、OD，则 AD为 O 的直径 S正方形ABCD=AB?AD= =SAAD 在 RtAA D 中，当 OA AD时， SAAD 的面积最大 S矩形ABCD最大= 点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了等边 三角形和正方形的性质以及勾股定理 学习 -好资料 更多精品文档 25、（ 2008 本题满分12 分） 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、 乙两村和一所中学长期存在的饮水 困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图， 甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB 段和 CD 段（村子和公路的宽均 不计），点M 表示这所中学点B 在点 M 的北偏西30的 3km 处，点 A 在点 M 的正西 方向，点 D 在点 M 的南偏西60的2 3km 处 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的 最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD 。
