(含2套高考模拟题）高中数学第一章计数原理1. 2.1 排例（一）.pdf

1.2.1 排例（一）寻预习导学 J挑战自我，点点落实 学习目标1 .理解并掌握排列的概念.2 .理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.知识链接1 .同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素.2 .排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数.预习导引1 .排列的定义一般地，从个不同元素中取出血后用个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从力个不同元素中取出 个元素的一个排列.2 .排列数的定义从个不同元素中取出卬（后）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出0 个元素的排列数，用符号A：表示.3 .排列数公式f IA：=（-1）（一 2）（一 0+1）（，m G N,=.-（一加）！守 课堂讲义 J重点难点，个个击破_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _要点一排列的概念例 1 判断下列问题是否是排列问题（1）从 1 到1 0 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标?(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.(2)因为任何一种从1 0名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.A(1)(3)是排列问题,(2)不是排列问题.规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认.(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题.(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.跟踪演练1下列问题是排列问题吗？并说明理由.(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？从 集 合,2,-9中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程,+5=1?可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程2 5=1?a D a b解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.2 2(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程2+左=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必a b有ab,a,。

的大小关系一定；在双曲线之一与=1中，不 管 还 是 方 程 今 一=1均a b a b表示焦点在X轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.要 点 二 列举法解决排列问题例2 从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.解(1)由题意作树形图，如图.12 3 4/Tx ZN ZTx/N2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3故所有两位数为 1 2,1 3,1 4,2 1,2 3,24,3 1,3 2,3 4,4 1,4 2,4 3,共有 1 2 个.(2)由感意作树形图，如图.故所有的排列为：a b c,a b d,a cb,a cd,a d b,a d c,b a c,b a d,b e a,b ed,b d a,b d c,ca b,ca d,cb a,cb d,ed a,ed b,d a b,d a c,d b a,d b c,d ca,d eb,共有 2 4 个.规 律 方 法“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.跟踪演练2 将 4B,C,四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且4 不排在第一，B不排在第二，C 不排在第三，不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法.解树形图为(如图)：D人A BI IB A由树形图知，所有排法为 BAD C,BCD A,BD AC,CAD B,CD AB,CD BA,D ABQ D CAB,D CBA,共有 9种排法.要点三排列数公式的应用例 3 求解下列问题：用排列数表示(5 5)(5 6 )(6 9)列W N*且水5 5)；(2)计算2 解+7 葭A s -A g(3)解方程：A L+I=1 4 0 A；.解(1)因为 5 5-/7,5 6 n,，6 9-/7 中的最大数为 6 9 n,且共有 6 9 /?(5 5 n)+1 =1 5 (个)，所以(5 5 )(5 6 /?)(6 9 )=A；个 ;/、2&+7 A；A 8 八 92 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4+7 X 8 X 7 X 6 X 58 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 9 X 8 X 7 X 6 X 58X7X6X5X(8+7)8X7X6X5X(24-9)f2x+l04,(3)根据原方程，x 应满足w解得x3,xCN：根据排列数公式，原方程化为(2x+l)2x,(2x1)(2x2)=140%,(%1),(%2).因为 x 0 3,两边同除以 4 x(x-l),得(2x+l)(2 x-l)=3 5(x-2).即 4*35x+69=0,解得 x=3 或 x=5京因为x 为整数，所以应舍去).所以原方程的解为x=3.规 律 方 法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算.跟踪演练3(1)解不等式：A*6A1；证 明 A 雷一A；=A：,并用此结论计算A；+2A；+3内+8A：.(1)解原不等式等价于8 (x+2)!6 X(8 ！/+2W 8 且 xGN,整理得-15%+500,后 6且xCN*.即 5 6XAS,所以原式=2.1 8 X 1 7 X 1 6 X X 9 X 8 =A.A hB.A；,C.A；SD.A：；答 案Dn 3.若 x=#,则 x=A.A：B.A 7：D.A l：答 案B4.与乂 A l不等的是）A.A!O B.81AS C.1 0 A：D.A l?答 案 B5.若篦=2 A：,则 0的值为（）A.5 B.3 C.6 D.7答 案 A6 .若 A：=1 7 X 1 6 X 1 5 X X 5 X 4,则=,答 案 1 7 1 47 .1 0 个人走进只有6 把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解 坐在椅子上的6个人是走进屋子的1 0 个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将 6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从1 0 个元素中取6个元素占据6个不同的位置.显然是从1 0 个元素中任取6 个元素的排列问题.从而，共有荒。

1 5 1 2 0 0 种坐法.二、能力提升8 .将 5 本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A.5 0 B.6 0 C.1 2 0 D.9 0答 案 C解 析 5 本书进行全排列，A；=1 2 0.9 .（2 0 1 3 四川卷）从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到 lg a-lg 6 的不同值的个数是（）A.9 B.1 0 C.1 8 D.2 0答 案 C解 析 首 先 从 1,3,5,7,9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有整=2 0 种排法，3 9 13因 析=示 可=d，所以从1，3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-l g的不同值的个数是2 0-2 =1 8.1 0.有 3名大学毕业生，到 5 家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且 3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有.种不同的招聘方案（用数字作答）.答 案 6 0解析 将 5 家招聘员工的公司看作5 个不同的位置，从中任选3 个位置给3 名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3 个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有屋=5 X 4 X 3=6 0(种).1 1 .某国的篮球职业联赛共有1 6 支球队参加.(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若 1 6 支球队恰好8 支来自北部赛区，8 支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从1 6 支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是媒=1 6 X 1 5=24 0.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是解X 2+1 =8 X 7 X 2+1 =1 1 3.1 2.判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 1 0 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班4 0 名学生在假期相互通信.解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)4 给 5写信与8 给力写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中 (5)(6)属于排列问题.三、探究与创新1 3.一条铁路有个车站，为适应客运需要，新增了 0 个车站，且知R1,客运车票增加了 6 2种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是此种，现有车票的种数是候+加，.A A =6 2,即（+血（+加-1）7 7（7 7 1）=6 2.，勿(2+?-1)=6 2=2X 31,：m 0）的 焦 点 为/，准线为/,A,B是抛物线上的两个动点，且满2兀足NAFB=设线段A B的中点M在/上的投影为N,则 上 修 的最大值是（）3M4【答案】B【解析】【分析】【详解】C.乎口.6B3试题分析：设A 8在直线/上的投影分别是A，4,则|A F|=|A 4,|，忸月=忸4|,又M.1.I w l 1是A B中点，所以|MN|=，（MA|+忸团），则 上3=72At）2内|+照AB 一 2AB在A 4 8尸中|A B|2=|A F|2+BFf-2AFBFco s =AFf+BFf+|A F|B F|=（|A F|+BF）2-|A F|B F|（|A F|+|B F|）2 _（网 +|即）2 =2（|AF|+|B F|）2,所以|A尸|+|四毡 所 以 网 立 故 选B考点：抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A8的中点M到准线的距离首先等于A8两点到准线距离之和的一半，然后转化为A,8两点到焦点尸的距离，从 而 与 弦 长 之 间 可 通 过 余 弦 定 理 建立关系.4.已知椭圆。